摘? 要：教材例、習(xí)題的改編是創(chuàng)造性使用教材的一個(gè)重要方面，也是中考命題的常用方法之一. 同時(shí)，教材改編題命題背景公平、教學(xué)導(dǎo)向正確，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體和有力支撐. 文章擬從一道改編于教材的中考試題分析和解法探討入手，談一談命題實(shí)踐方面的啟發(fā).

關(guān)鍵詞：教材改編題;解法探討;命題啟發(fā)

綜觀近幾年浙江省各地的中考數(shù)學(xué)試卷，其中出現(xiàn)了很多改編自教材的試題. 這些試題基于課程標(biāo)準(zhǔn)，源于教材，又高于教材，既實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生“四基”“四能”的考查，又對(duì)一線教學(xué)起到了示范和引領(lǐng)作用.

我們常說(shuō)，課程標(biāo)準(zhǔn)是綱，教材是本;課程標(biāo)準(zhǔn)是方向，教材是載體. 但教師往往很少深入研究課程標(biāo)準(zhǔn)，領(lǐng)悟課程標(biāo)準(zhǔn)，參悟教材，吃透教材. 這極大地影響了數(shù)學(xué)教學(xué)效果. 葉圣陶先生曾說(shuō)：教材是教課的依據(jù)，要想教得好，使學(xué)生受益，還得靠教師的善于運(yùn)用. 言下之意，我們的教學(xué)和評(píng)價(jià)都要重視教材、研究教材. 而基于教材例、習(xí)題的改編作為中考命題的常態(tài)化方法，正是創(chuàng)造性使用教材的一個(gè)縮影. 同時(shí)，教材改編題命題背景公平、教學(xué)導(dǎo)向正確，既有親切感，又有挑戰(zhàn)性，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體和有力支撐.

本文擬從一道改編于教材的中考試題分析入手，探討解法，并且嘗試用這種改編方法命制新題，為命題實(shí)踐提供一些思路.

一、試題呈現(xiàn)

題目 （2019年浙江·嘉興卷）小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問(wèn)題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展.

（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，若BC = 6，AD = 4，求正方形PQMN的邊長(zhǎng).

（2）操作：能畫(huà)出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫(huà)△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P′，畫(huà)正方形P′Q′M′N(xiāo)′，使Q′，M′在邊BC上，N′在△ABC內(nèi)，連接BN′并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，畫(huà)NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN. 小波把線段BN稱為“波利亞線”.

（3）推理：證明圖2中的四邊形PQMN是正方形.

（4）拓展：在（2）的條件下，于波利亞線BN上截取NE = NM，連接EQ，EM（如圖3）. 當(dāng)tan ∠NBM=3/4時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明.

試幫助小波解決“溫故”“推理”“拓展”中的問(wèn)題.

二、改編評(píng)析

1. 母題簡(jiǎn)析

立足教材進(jìn)行試題改編，既是當(dāng)下的命題導(dǎo)向，也是教學(xué)導(dǎo)向，旨在引領(lǐng)教師利用好教材、研究好教材，對(duì)教材例、習(xí)題的講解重過(guò)程、抓本質(zhì)、講方法、養(yǎng)思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)類比、加工、改造、延伸、拓展，達(dá)到“異中求同，同中尋變”的效果.

上述中考試題改編自浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第149頁(yè)的作業(yè)題5.

母題? 如圖4，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC = 120 mm，高線AD = 80 mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上. 問(wèn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)為多少毫米？

這是一道經(jīng)典的三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題，圖中已知條件較多，線段位置關(guān)系明顯，有多對(duì)“A”型相似，又涉及三角形和正方形的高，故此題全面覆蓋三角形相似的性質(zhì)等核心知識(shí). 圖形簡(jiǎn)而不凡，意蘊(yùn)深厚，思維含量較高，拓展空間較大，受到廣大命題者的青睞. 近幾年，以此習(xí)題為母題，改編成相關(guān)三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題的中考試題比比皆是.

2. 改編簡(jiǎn)析

前述中考試題就是在上述母題的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變問(wèn)題形態(tài)、增加幾何元素、擴(kuò)充定義類型、改變?cè)O(shè)問(wèn)方式、提升思維含量等方法，直達(dá)改編的新境界，改編形式靈動(dòng)而巧妙，改編方法大膽而有新意，改編后的中考試題屬于閱讀學(xué)習(xí)型問(wèn)題，也是近幾年的高頻中考試題類型，內(nèi)容豐富、構(gòu)思新穎，以培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)能力和高階思維養(yǎng)成為目的. 試題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、自主探究能力、分析推理能力和知識(shí)遷移能力，此類學(xué)習(xí)型試題的一般架構(gòu)以“給出材料—類比探究—遷移運(yùn)用”為模式展開(kāi)，而此題由“溫故”“操作”“推理”“拓展”四部分循序推進(jìn)，在母題的基礎(chǔ)上，逐步引申、追問(wèn)、強(qiáng)化、升華. 第（1）小題“溫故”，即為母題原題，只改變數(shù)據(jù)，入口淺、難度小;第（2）小題“操作”，通過(guò)畫(huà)輔助正方形衍生一個(gè)新正方形和一條新線段，引出新定義“波利亞線”，考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力和觀察閱讀能力;第（3）小題“推理”，要求說(shuō)明新正方形由來(lái)的依據(jù)，考查學(xué)生的即時(shí)學(xué)習(xí)能力和分析推理能力;第（4）小題“拓展”，是此題的精華部分，也是試題的壓分點(diǎn)，添加兩條線段，增加設(shè)問(wèn)，提升難度，體現(xiàn)中考試題的甄別功能，考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力和創(chuàng)新運(yùn)用能力.

三、解法探討

限于篇幅，本文主要對(duì)試題第（4）小題的解題思路進(jìn)行梳理.

思路1：巧設(shè)線段用相似.

由已知，設(shè)MN = 3k，BM = 4k，則BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 通過(guò)證明△BQE ∽ △BEM，易得∠QEM = 90°.

思路2：添加垂線證全等.

如圖5，作NF⊥EM于點(diǎn)F. 同思路1，可知△BQE ∽ △BEM. 再證△MQE ≌ △NMF（ASA）. 可得∠QEM = ∠MFN = 90°.

思路3：構(gòu)造垂直證直角.

如圖6，作EF⊥BC于點(diǎn)F. 同思路1，設(shè)NM = 3k，BM = 4k，則MQ = NE = NM = 3k，BE = 2k，BQ = k. 由△BEF ∽ △BNM，可得EF，BF，QF，MF等相關(guān)線段長(zhǎng). 進(jìn)而證得△EFQ ∽ △EFM. 所以∠QEM = ∠QEF + ∠FEM=∠QEF+∠EQF=90°.或進(jìn)一步求出[QE=3√5/5k，EM=6√5/5k，?利用勾股定理逆定理，可得∠QEM = 90°.

思路4：借雙等腰推直角.

如圖7，延長(zhǎng)ME交PQ于點(diǎn)H，BE交PQ于點(diǎn)G. 設(shè)MN = 3k，BM = 4k，則BN = 5k，BQ = k，BE = 2k. 可得GQ=3/4k，BG=5/4k.?所以GE=3/4k.?所以△GQE和△GHE為等腰三角形. 由此可得∠HEG + ∠GEQ = 90°，即∠QEM = 90°.

思路5：建系轉(zhuǎn)化求直線.

如圖8，以點(diǎn)Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，QP所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 設(shè)NM = 3k，易得Q（0，0），E（0.6k，1.2k），]M（3k，0）. 可得直線QE和直線EM的解析式分別為y = 2x和y = -0.5x + 1.5. 所以QE⊥EM，即∠QEM = 90°.

思路6：三角函數(shù)結(jié)合勾股定理.

此題解法多變、構(gòu)圖多樣、思路廣進(jìn)，可以直接證明直角，可以證明兩個(gè)銳角互余，可以逆用勾股定理，也可以用解析法證明兩直線垂直. 試題的本質(zhì)是由邊的關(guān)系探究角的關(guān)系，綜合運(yùn)用了直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等或相似、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、三角函數(shù)、直線解析式求法等知識(shí). 比較分析發(fā)現(xiàn)，上述思路可以分兩類：一是構(gòu)造三角形，證明相似或全等;二是證明角為90°或兩條線段的夾角等于90°.

我們提倡試題的一題多解，給試題的命制或改編提供了方向，也是試題命制或改編所追求的目標(biāo)，試題的第（4）小題解法豐富、百花齊放，充分顯示了它特有的教育價(jià)值：可以鞏固所學(xué)知識(shí)和方法;可以訓(xùn)練思維的靈活性和發(fā)散性;可以從多解中尋求聯(lián)系，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì);有助于培養(yǎng)學(xué)生的求異、求新思維，促使學(xué)生形成科學(xué)的學(xué)科認(rèn)識(shí)與學(xué)習(xí)品質(zhì)，從而直指核心素養(yǎng)的落地.

四、命題啟發(fā)

基于上述母題，從2019年浙江嘉興卷中考試題的改編思路中獲得一定啟發(fā)，嘗試從以下三個(gè)方面對(duì)三角形內(nèi)接矩形問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步探索和改編.

1. 改進(jìn)問(wèn)題條件，關(guān)注幾何聯(lián)想

改編題1：如圖9，在△ABC中，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在邊AB，AC上，作PE⊥AB交MN點(diǎn)E.

（1）證明：BQ = EN;

（2）若在線段QM上存在點(diǎn)D，使得QD + NE = DP，證明PE為∠NPD的平分線.

【命題解析】三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題以解答題形式呈現(xiàn)的居多，或者賦予問(wèn)題現(xiàn)實(shí)情境，要求學(xué)生解決生活中的問(wèn)題. 大部分是利用相似三角形的性質(zhì)或判定列出比例式求解問(wèn)題. 此改編題著眼于幾何聯(lián)想，保持三角形中內(nèi)接矩形的大背景不變，將直角三角形的全等判定、等腰三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)，考查學(xué)生的知識(shí)綜合能力、幾何聯(lián)想能力、邏輯思維能力，以及基本幾何圖形運(yùn)用能力.

解：（1）易證△BPQ ≌ △EPN（ASA），

所以BQ = EN.

（2）由（1），得△BPQ ≌ △EPN.

所以∠B = ∠NEP，∠BPQ = ∠EPN，BQ = EN.

由QD + NE = DP，

可證得△DBP為等腰三角形，

易得∠EPN = ∠DPE.

所以PE為∠NPD的平分線.

2. 改變問(wèn)題形態(tài)，變更題型結(jié)論

改編題2：如圖10，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在邊AB，AC上.

【命題解析】此改編題的命題思路源自相似三角形中的“A”型相似，故圖形與母題基本雷同，數(shù)據(jù)有微調(diào)，題型改變，有計(jì)算，側(cè)重幾何推理. 考查目標(biāo)定位于相似三角形判定與性質(zhì)的運(yùn)用. 例如，相似三角形中的相似基本圖形、相似比等于高之比，以及面積之比等于相似比的平方等性質(zhì). 此題屬于三角形內(nèi)接正方形問(wèn)題的拓展延伸，滲透轉(zhuǎn)化思想和方程思想，旨在對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力、推理能力和運(yùn)算能力等進(jìn)行考查.

3. 改變問(wèn)題類別，增設(shè)新定義型

改編題3：如圖12，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D分別作線段AC，AB的垂線，垂足為點(diǎn)E，F(xiàn). 如果DE/DF=sin∠CAB，那么我們把AD叫做△ABC關(guān)于∠CAB的正平分線. 已知AB=120，邊AB上的高為80.

【命題解析】此改編題改變母題的題型和呈現(xiàn)方式，保留三角形和內(nèi)接正方形大背景，以“新定義”問(wèn)題類型出現(xiàn)，令人耳目一新，備受關(guān)注. 此題聚焦的知識(shí)點(diǎn)有三角形、矩形、相似三角形、三角函數(shù)等，主要考查學(xué)生的閱讀理解和分析推理能力，旨在培養(yǎng)學(xué)生的深度思考習(xí)慣和創(chuàng)新變通意識(shí).

五、結(jié)束語(yǔ)

中考數(shù)學(xué)試題的命制方法有很多，基于教材經(jīng)典例、習(xí)題的改編長(zhǎng)盛不衰，這是對(duì)“回歸教材，堅(jiān)守課程標(biāo)準(zhǔn)”理念的傳承. 命題者只有重視挖掘教材中例、習(xí)題的潛能，方能在對(duì)例、習(xí)題進(jìn)行拓展變式時(shí)游刃有余. 波利亞認(rèn)為，變化問(wèn)題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的想法，產(chǎn)生了和我們問(wèn)題有關(guān)元素接觸的新的可能性. 這就需要命題者以獨(dú)特的視角看待教材中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)背景和數(shù)學(xué)素材，別出心裁地命制與時(shí)俱進(jìn)的試題，從而使“老題”發(fā)出“新芽”、長(zhǎng)出“新枝”、結(jié)出“新果”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]李云萍，徐偉建. 借“題”發(fā)揮，提高教學(xué)實(shí)效性：基于教材例、習(xí)題的再設(shè)計(jì)研究[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版），2019（7 / 8）：114-117，123.