羅鋼

摘要：《從百分?jǐn)?shù)想開(kāi)去》一課，在學(xué)生已經(jīng)掌握百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試挖掘更多的百分?jǐn)?shù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的素材，從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，發(fā)展理性精神。在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生理解恩格爾系數(shù)，判斷“是作家，還是司機(jī)”，理解“37%規(guī)則”，發(fā)現(xiàn)“辛普森悖論”，從而感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感悟算法思維以及算法價(jià)值，提升懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)。

關(guān)鍵詞：百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用;理性精神;數(shù)據(jù)分析觀念;算法思維;懷疑精神

“百分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，主要包含百分?jǐn)?shù)的意義和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用等內(nèi)容。近期，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)史寧中教授在公開(kāi)講座中明確指出，即將頒布的新版課標(biāo)對(duì)百分?jǐn)?shù)內(nèi)容做了非常大的調(diào)整：將其從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到了“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。在此背景下，筆者嘗試深入解讀百分?jǐn)?shù)內(nèi)容并思考如何展開(kāi)相應(yīng)的教學(xué)。

最近，筆者開(kāi)設(shè)了一節(jié)公開(kāi)課《從百分?jǐn)?shù)想開(kāi)去》，在學(xué)生已經(jīng)掌握百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，嘗試挖掘更多的百分?jǐn)?shù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的素材，從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，開(kāi)闊數(shù)學(xué)視野，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，發(fā)展理性精神。

一、理解恩格爾系數(shù)，感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值

經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域，有很多重要的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以百分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)。這些數(shù)據(jù)的獲得是大量調(diào)查的結(jié)果，體現(xiàn)了實(shí)證精神。通過(guò)這些數(shù)據(jù)，很容易了解一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)或社會(huì)某個(gè)方面的情況，為政府或公司的政治或商業(yè)決策提供重要的參考。在眾多經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域的百分?jǐn)?shù)形式的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中，筆者選擇了“恩格爾系數(shù)”作為教學(xué)素材，因?yàn)槠鋵?shí)際意義貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，其推理結(jié)論同樣基于生活經(jīng)驗(yàn)，并具具有一定的思維含量。在教學(xué)中，筆者讓學(xué)生在理解恩格爾系數(shù)意義的基礎(chǔ)上，思考具體數(shù)據(jù)的獲得及其作用，從而感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值。教學(xué)片段如下：

師（PPT出示：2019年我國(guó)居民家庭的恩格爾系數(shù)是28.2%）這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意義呢？

（學(xué)生搖頭。）

師你知道什么是恩格爾系數(shù)嗎？

生不知道。

師怎么辦？

生查資料、百度……

師老師查到恩格爾系數(shù)的含義：恩格爾系數(shù)表示食品支出總額占消費(fèi)支出總額的百分比。那么，這里的28.2%表示什么？

生表示2019年我國(guó)居民家庭食品支出總額占消費(fèi)支出總額的28.2%。

師你知道這個(gè)數(shù)據(jù)是怎么來(lái)的嗎？

生用食品支出總額除以消費(fèi)支出總額算出來(lái)的。

師那么，食品支出總額和消費(fèi)支出總額又是怎么得到的呢？

生調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到的。

師很好！為什么要調(diào)查統(tǒng)計(jì)？能不能大概估計(jì)一下或者干脆編一個(gè)？

生不能！那樣就不準(zhǔn)確、不真實(shí)了！

師很好！具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)據(jù)一定要準(zhǔn)確、真實(shí)，否則就沒(méi)有用了。為了得到我國(guó)城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)，統(tǒng)計(jì)部門(mén)的工作人員有大量的工作要做。（稍停）那么，得到這個(gè)恩格爾系數(shù)到底有什么用呢？

（學(xué)生面露難色。）

師這個(gè)問(wèn)題確實(shí)有點(diǎn)兒難，讓我們來(lái)舉一個(gè)例子。（PPT呈現(xiàn)表1，“恩格爾系數(shù)”一欄由學(xué)生口算答出）現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

生B國(guó)家的人民更富裕，恩格爾系數(shù)更低。

生食品支出占比越低，其他支出占比就越高，說(shuō)明生活就越富裕。

師很好！你能進(jìn)一步說(shuō)明為什么恩格爾系數(shù)越低，生活就越富裕嗎？

生我覺(jué)得是因?yàn)椋徽撃阌卸嗌馘X(qián)，總是要吃東西的，而吃東西花的錢(qián)都差不多;如果你很有錢(qián)，那么吃了東西后還有很多錢(qián)可以花在其他地方;如果你的錢(qián)不多，那么吃了東西后就沒(méi)什么錢(qián)可以花在其他地方了。

師同學(xué)們聽(tīng)明白他的意思了嗎？

生明白了。

師是??！當(dāng)你很有錢(qián)的時(shí)候，你才能花較多的錢(qián)在吃以外的方面;當(dāng)你沒(méi)什么錢(qián)的時(shí)候，你只能把錢(qián)主要用在吃上。所以，恩格爾系數(shù)越低，說(shuō)明生活就越富裕。所以，恩格爾系數(shù)是一個(gè)國(guó)家重要的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，能反映國(guó)民的富裕程度。（稍停）那么，2019年我國(guó)居民家庭的恩格爾系數(shù)是28.2%，它是高還是低呢？

生那需要知道其他年份或其他國(guó)家的恩格爾系數(shù)是多少，然后進(jìn)行比較。

師很好！這個(gè)事情就留給同學(xué)們課后完成：查找其他年份和其他國(guó)家的恩格爾系數(shù)，看看現(xiàn)在我國(guó)人民的生活是貧窮還是富裕。

二、判斷“是作家，還是司機(jī)”，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念

數(shù)據(jù)分析觀念（或者說(shuō)統(tǒng)計(jì)思維、數(shù)據(jù)思維）既包括采集多維數(shù)據(jù)反映事物屬性，也包括靈活分析數(shù)據(jù)作出結(jié)論判斷，即利用數(shù)據(jù)解決問(wèn)題?，F(xiàn)實(shí)中，可以利用數(shù)據(jù)解決的問(wèn)題非常多。筆者選擇了一個(gè)判斷“是作家，還是司機(jī)”的問(wèn)題作為教學(xué)素材。對(duì)這個(gè)問(wèn)題，基于直覺(jué)（感性）很容易作出錯(cuò)誤判斷，而依托數(shù)據(jù)分析（理性）才能作出正確判斷，因而，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，同時(shí)滲透“敢于不精確，不能太離譜”的估算意識(shí)和方法。教學(xué)片段如下：

師有這么一個(gè)人，他善于觀察，又多愁善感，在大街上看到一片落葉，就感嘆時(shí)光飛逝、青春不再;他熱愛(ài)生活，又內(nèi)向沉默，只有特別熟了之后，才能真正跟他聊起來(lái)。問(wèn)題來(lái)了：你覺(jué)得他更有可能是一位作家，還是一位司機(jī)？認(rèn)為他更有可能是作家的請(qǐng)舉手。

（超過(guò)一半的學(xué)生舉手。）

師你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為他更有可能是作家？

生因?yàn)樽骷抑卸喑钌聘械谋容^多。

師你認(rèn)為作家中多愁善感的約占多少？司機(jī)呢？

生不知道。

師大膽估計(jì)一下，不太離譜就行。

生作家中約占80%，司機(jī)中約占30%。

師好的。僅憑這兩個(gè)數(shù)據(jù)，就能得出“他更有可能是作家”這個(gè)結(jié)論嗎？有不同的想法嗎？

生這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的單位“1”不同，所以無(wú)法比較。

師那你覺(jué)得還需要哪些數(shù)據(jù)？

生作家的人數(shù)和司機(jī)的人數(shù)。

師作家的人數(shù)和司機(jī)的人數(shù)我們都不知道，怎么辦？

生可以去調(diào)查一下。

師是的，調(diào)查是獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的重要方法，但是操作起來(lái)比較麻煩。對(duì)“判斷他更有可能是作家，還是司機(jī)”這個(gè)問(wèn)題，我們不需要那么精確的數(shù)據(jù)，而可以像剛才那樣大膽地做一個(gè)不太離譜的估計(jì)。假設(shè)作家人數(shù)是1份，根據(jù)我們的生活經(jīng)驗(yàn)，司機(jī)人數(shù)用幾份來(lái)表示比較合理？

生滿大街都是司機(jī)，司機(jī)人數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)作家人數(shù)，估計(jì)司機(jī)人數(shù)是100份。

師好的。假設(shè)某城市的作家人數(shù)是100人，那么司機(jī)人數(shù)是10000人。由此，我們就可以計(jì)算了。請(qǐng)你來(lái)計(jì)算一下多愁善感、沉默內(nèi)向的作家和司機(jī)各有多少人。

（教師根據(jù)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果板書(shū)，內(nèi)容如圖1。）

師看來(lái)，真實(shí)的情況是：他更有可能是司機(jī)。用數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)話，這就是數(shù)據(jù)分析觀念，或者說(shuō)數(shù)據(jù)思維。運(yùn)用數(shù)據(jù)思維可以讓我們跳出直覺(jué)誤區(qū)，作出更加理性的判斷。當(dāng)然，要想得到更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛?，我們還需要更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

三、理解“37%規(guī)則”，感悟算法思維以及算法價(jià)值

大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著規(guī)律。百分?jǐn)?shù)除了作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn)，還可能作為規(guī)律要素出現(xiàn)。這時(shí)，蘊(yùn)含百分?jǐn)?shù)的規(guī)律往往能體現(xiàn)出算法思維。算法思維的一種比較膚淺的理解是以（廣義的）計(jì)算的方式解決問(wèn)題，而本質(zhì)上則是計(jì)算機(jī)思維（或者說(shuō)人工智能思維）。作為一種理性思維，它的基本特點(diǎn)是程序化、可操作性，最終指向是能夠利用計(jì)算機(jī)（人工智能）完成。通過(guò)解方程解決算術(shù)問(wèn)題、通過(guò)解析幾何方法解決平面幾何問(wèn)題便是算法思維的體現(xiàn)。小學(xué)生真正理解算法思維是比較困難的，筆者選擇了比較好懂又很有用的“37%規(guī)則”作為教學(xué)素材，讓學(xué)生體會(huì)到生活中的很多問(wèn)題都可以通過(guò)算法幫助解決，初步感悟算法思維以及算法價(jià)值。教學(xué)片段如下：

師生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，那就是做一些重要的決策。如買(mǎi)房時(shí)，什么情況下最該出手？一看見(jiàn)好的就出手是比較草率的，但是遲遲不做決定也會(huì)錯(cuò)失良機(jī)。怎么辦？

（學(xué)生面露難色。）

師別急，數(shù)學(xué)家已經(jīng)幫我們解決了這個(gè)問(wèn)題?！吨笇?dǎo)生活的算法——人類(lèi)決策中的計(jì)算機(jī)科學(xué)》一書(shū)告訴我們，數(shù)學(xué)家經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜算法，把決策問(wèn)題變成了隨機(jī)選擇優(yōu)化問(wèn)題，并利用“37%規(guī)則”解決了它。以買(mǎi)房為例，“37%規(guī)則”把決策過(guò)程分為兩個(gè)階段，第一個(gè)階段只看不買(mǎi)，同時(shí)記住最好的; 第二個(gè)階段遇到更好的或類(lèi)似的，就毫不猶豫地買(mǎi)下來(lái)。“37%規(guī)則”不能保證你買(mǎi)到最好的，但能讓你在足夠少的時(shí)間內(nèi)買(mǎi)到足夠好的房子。你是如何理解“37%規(guī)則”的？

生37%是指考慮的時(shí)間占總時(shí)間的37%。

師如果總時(shí)間是100天，怎么解釋37%？

生也就是，前37天考察比較，從第38天起看到更好的或類(lèi)似的，就毫不猶豫地買(mǎi)下來(lái)。

師課前，同學(xué)們都思考或調(diào)查了自己或家人、朋友近期需要作出的比較重要的決策以及完成這個(gè)決策最長(zhǎng)的期限?，F(xiàn)在，讓我們一起來(lái)運(yùn)用“37%規(guī)則”給自己或家人、朋友做一個(gè)最優(yōu)化的決策：計(jì)算從大約從什么時(shí)候開(kāi)始作出決策。

（學(xué)生計(jì)算，然后教師組織匯報(bào)、交流。）

師看來(lái)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)、工作、生活中，不是只能憑感覺(jué)作出一些決策，還能運(yùn)用算法思維作出更好的決策。

四、發(fā)現(xiàn)“辛普森悖論”，提升懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)

百分?jǐn)?shù)是一個(gè)“率”，如果忽視其中相比的兩個(gè)更基本的“量”的大小，而只考慮這個(gè)算出來(lái)的“率”的大小，則很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷。學(xué)生認(rèn)識(shí)到直覺(jué)不可靠，而數(shù)據(jù)分析更可靠后，筆者選擇了“辛普森悖論”作為教學(xué)素材，讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)據(jù)分析—得出結(jié)論—提出質(zhì)疑—再次分析—推翻結(jié)論”的過(guò)程，感受到數(shù)據(jù)的“欺騙性”，從而培養(yǎng)懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)，進(jìn)一步提升理性精神。教學(xué)片段如下：

師A同學(xué)和B同學(xué)進(jìn)行了三次投籃比賽，誰(shuí)的成績(jī)更好呢？還缺什么？

生數(shù)據(jù)。

師（PPT呈現(xiàn)表2）有了這些數(shù)據(jù)，你們認(rèn)為誰(shuí)的成績(jī)更好？你是怎么想的？

生我認(rèn)為A同學(xué)的成績(jī)更好。我算過(guò)了，A同學(xué)三次比賽的命中率分別為91.7%、75%、58.3%，B同學(xué)三次比賽的命中率分別為83.3%、66.7%、33.3%。三次比賽，A同學(xué)的命中率都比B同學(xué)高。

師三場(chǎng)比賽，A同學(xué)的命中率都比B同學(xué)高，就可以得出A同學(xué)的總體成績(jī)比B同學(xué)好嗎？你們確定嗎？還有沒(méi)有別的算法？

（學(xué)生開(kāi)始重新思考并計(jì)算。）

生我換了一種方法計(jì)算，A同學(xué)三次比賽的總命中率為（11+9+7）÷（12+12+12）=75%，B同學(xué)三次比賽的總命中率為（40+8+1）÷（48+12+3）≈77.8%。雖然單次的命中率都是A同學(xué)更高，但總命中率卻是B同學(xué)更高。

師是??！這說(shuō)明B同學(xué)的投籃成績(jī)更勝一籌。這個(gè)現(xiàn)象是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家愛(ài)德華·辛普森首次發(fā)現(xiàn)的，所以叫作“辛普森悖論”。這個(gè)悖論說(shuō)明百分?jǐn)?shù)有一定的“欺騙性”，會(huì)干擾我們的判斷。同學(xué)們想破解謎題，摸清“辛普森悖論”背后的原因嗎？看來(lái)今天數(shù)學(xué)課后，同學(xué)們有了一個(gè)新的研究方向。

參考文獻(xiàn)：

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