羅鋼
摘要:《從百分?jǐn)?shù)想開去》一課,在學(xué)生已經(jīng)掌握百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,嘗試挖掘更多的百分?jǐn)?shù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的素材,從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,開闊數(shù)學(xué)視野,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,發(fā)展理性精神。在教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生理解恩格爾系數(shù),判斷“是作家,還是司機(jī)”,理解“37%規(guī)則”,發(fā)現(xiàn)“辛普森悖論”,從而感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值,發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念,感悟算法思維以及算法價(jià)值,提升懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)。
關(guān)鍵詞:百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用;理性精神;數(shù)據(jù)分析觀念;算法思維;懷疑精神
“百分?jǐn)?shù)”是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,主要包含百分?jǐn)?shù)的意義和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用等內(nèi)容。近期,義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長(zhǎng)史寧中教授在公開講座中明確指出,即將頒布的新版課標(biāo)對(duì)百分?jǐn)?shù)內(nèi)容做了非常大的調(diào)整:將其從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整到了“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域。在此背景下,筆者嘗試深入解讀百分?jǐn)?shù)內(nèi)容并思考如何展開相應(yīng)的教學(xué)。
最近,筆者開設(shè)了一節(jié)公開課《從百分?jǐn)?shù)想開去》,在學(xué)生已經(jīng)掌握百分?jǐn)?shù)相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上,嘗試挖掘更多的百分?jǐn)?shù)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用的素材,從而引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,開闊數(shù)學(xué)視野,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,發(fā)展理性精神。
一、理解恩格爾系數(shù),感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值
經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域,有很多重要的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)以百分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)。這些數(shù)據(jù)的獲得是大量調(diào)查的結(jié)果,體現(xiàn)了實(shí)證精神。通過這些數(shù)據(jù),很容易了解一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)或社會(huì)某個(gè)方面的情況,為政府或公司的政治或商業(yè)決策提供重要的參考。在眾多經(jīng)濟(jì)和社會(huì)領(lǐng)域的百分?jǐn)?shù)形式的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中,筆者選擇了“恩格爾系數(shù)”作為教學(xué)素材,因?yàn)槠鋵?shí)際意義貼近學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn),其推理結(jié)論同樣基于生活經(jīng)驗(yàn),并具具有一定的思維含量。在教學(xué)中,筆者讓學(xué)生在理解恩格爾系數(shù)意義的基礎(chǔ)上,思考具體數(shù)據(jù)的獲得及其作用,從而感受實(shí)證精神以及數(shù)據(jù)價(jià)值。教學(xué)片段如下:
師(PPT出示:2019年我國(guó)居民家庭的恩格爾系數(shù)是28.2%)這個(gè)百分?jǐn)?shù)表示什么意義呢?
(學(xué)生搖頭。)
師你知道什么是恩格爾系數(shù)嗎?
生不知道。
師怎么辦?
生查資料、百度……
師老師查到恩格爾系數(shù)的含義:恩格爾系數(shù)表示食品支出總額占消費(fèi)支出總額的百分比。那么,這里的28.2%表示什么?
生表示2019年我國(guó)居民家庭食品支出總額占消費(fèi)支出總額的28.2%。
師你知道這個(gè)數(shù)據(jù)是怎么來的嗎?
生用食品支出總額除以消費(fèi)支出總額算出來的。
師那么,食品支出總額和消費(fèi)支出總額又是怎么得到的呢?
生調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到的。
師很好!為什么要調(diào)查統(tǒng)計(jì)?能不能大概估計(jì)一下或者干脆編一個(gè)?
生不能!那樣就不準(zhǔn)確、不真實(shí)了!
師很好!具有現(xiàn)實(shí)意義的數(shù)據(jù)一定要準(zhǔn)確、真實(shí),否則就沒有用了。為了得到我國(guó)城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù),統(tǒng)計(jì)部門的工作人員有大量的工作要做。(稍停)那么,得到這個(gè)恩格爾系數(shù)到底有什么用呢?
(學(xué)生面露難色。)
師這個(gè)問題確實(shí)有點(diǎn)兒難,讓我們來舉一個(gè)例子。(PPT呈現(xiàn)表1,“恩格爾系數(shù)”一欄由學(xué)生口算答出)現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)?
生B國(guó)家的人民更富裕,恩格爾系數(shù)更低。
生食品支出占比越低,其他支出占比就越高,說明生活就越富裕。
師很好!你能進(jìn)一步說明為什么恩格爾系數(shù)越低,生活就越富裕嗎?
生我覺得是因?yàn)椋徽撃阌卸嗌馘X,總是要吃東西的,而吃東西花的錢都差不多;如果你很有錢,那么吃了東西后還有很多錢可以花在其他地方;如果你的錢不多,那么吃了東西后就沒什么錢可以花在其他地方了。
師同學(xué)們聽明白他的意思了嗎?
生明白了。
師是??!當(dāng)你很有錢的時(shí)候,你才能花較多的錢在吃以外的方面;當(dāng)你沒什么錢的時(shí)候,你只能把錢主要用在吃上。所以,恩格爾系數(shù)越低,說明生活就越富裕。所以,恩格爾系數(shù)是一個(gè)國(guó)家重要的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù),能反映國(guó)民的富裕程度。(稍停)那么,2019年我國(guó)居民家庭的恩格爾系數(shù)是28.2%,它是高還是低呢?
生那需要知道其他年份或其他國(guó)家的恩格爾系數(shù)是多少,然后進(jìn)行比較。
師很好!這個(gè)事情就留給同學(xué)們課后完成:查找其他年份和其他國(guó)家的恩格爾系數(shù),看看現(xiàn)在我國(guó)人民的生活是貧窮還是富裕。
二、判斷“是作家,還是司機(jī)”,發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念
數(shù)據(jù)分析觀念(或者說統(tǒng)計(jì)思維、數(shù)據(jù)思維)既包括采集多維數(shù)據(jù)反映事物屬性,也包括靈活分析數(shù)據(jù)作出結(jié)論判斷,即利用數(shù)據(jù)解決問題?,F(xiàn)實(shí)中,可以利用數(shù)據(jù)解決的問題非常多。筆者選擇了一個(gè)判斷“是作家,還是司機(jī)”的問題作為教學(xué)素材。對(duì)這個(gè)問題,基于直覺(感性)很容易作出錯(cuò)誤判斷,而依托數(shù)據(jù)分析(理性)才能作出正確判斷,因而,可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念,同時(shí)滲透“敢于不精確,不能太離譜”的估算意識(shí)和方法。教學(xué)片段如下:
師有這么一個(gè)人,他善于觀察,又多愁善感,在大街上看到一片落葉,就感嘆時(shí)光飛逝、青春不再;他熱愛生活,又內(nèi)向沉默,只有特別熟了之后,才能真正跟他聊起來。問題來了:你覺得他更有可能是一位作家,還是一位司機(jī)?認(rèn)為他更有可能是作家的請(qǐng)舉手。
(超過一半的學(xué)生舉手。)
師你們?yōu)槭裁凑J(rèn)為他更有可能是作家?
生因?yàn)樽骷抑卸喑钌聘械谋容^多。
師你認(rèn)為作家中多愁善感的約占多少?司機(jī)呢?
生不知道。
師大膽估計(jì)一下,不太離譜就行。
生作家中約占80%,司機(jī)中約占30%。
師好的。僅憑這兩個(gè)數(shù)據(jù),就能得出“他更有可能是作家”這個(gè)結(jié)論嗎?有不同的想法嗎?
生這兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的單位“1”不同,所以無法比較。
師那你覺得還需要哪些數(shù)據(jù)?
生作家的人數(shù)和司機(jī)的人數(shù)。
師作家的人數(shù)和司機(jī)的人數(shù)我們都不知道,怎么辦?
生可以去調(diào)查一下。
師是的,調(diào)查是獲得準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的重要方法,但是操作起來比較麻煩。對(duì)“判斷他更有可能是作家,還是司機(jī)”這個(gè)問題,我們不需要那么精確的數(shù)據(jù),而可以像剛才那樣大膽地做一個(gè)不太離譜的估計(jì)。假設(shè)作家人數(shù)是1份,根據(jù)我們的生活經(jīng)驗(yàn),司機(jī)人數(shù)用幾份來表示比較合理?
生滿大街都是司機(jī),司機(jī)人數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過作家人數(shù),估計(jì)司機(jī)人數(shù)是100份。
師好的。假設(shè)某城市的作家人數(shù)是100人,那么司機(jī)人數(shù)是10000人。由此,我們就可以計(jì)算了。請(qǐng)你來計(jì)算一下多愁善感、沉默內(nèi)向的作家和司機(jī)各有多少人。
(教師根據(jù)學(xué)生的計(jì)算結(jié)果板書,內(nèi)容如圖1。)
師看來,真實(shí)的情況是:他更有可能是司機(jī)。用數(shù)據(jù)來說話,這就是數(shù)據(jù)分析觀念,或者說數(shù)據(jù)思維。運(yùn)用數(shù)據(jù)思維可以讓我們跳出直覺誤區(qū),作出更加理性的判斷。當(dāng)然,要想得到更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐袛啵覀冞€需要更加準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。
三、理解“37%規(guī)則”,感悟算法思維以及算法價(jià)值
大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著規(guī)律。百分?jǐn)?shù)除了作為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出現(xiàn),還可能作為規(guī)律要素出現(xiàn)。這時(shí),蘊(yùn)含百分?jǐn)?shù)的規(guī)律往往能體現(xiàn)出算法思維。算法思維的一種比較膚淺的理解是以(廣義的)計(jì)算的方式解決問題,而本質(zhì)上則是計(jì)算機(jī)思維(或者說人工智能思維)。作為一種理性思維,它的基本特點(diǎn)是程序化、可操作性,最終指向是能夠利用計(jì)算機(jī)(人工智能)完成。通過解方程解決算術(shù)問題、通過解析幾何方法解決平面幾何問題便是算法思維的體現(xiàn)。小學(xué)生真正理解算法思維是比較困難的,筆者選擇了比較好懂又很有用的“37%規(guī)則”作為教學(xué)素材,讓學(xué)生體會(huì)到生活中的很多問題都可以通過算法幫助解決,初步感悟算法思維以及算法價(jià)值。教學(xué)片段如下:
師生活中,我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題,那就是做一些重要的決策。如買房時(shí),什么情況下最該出手?一看見好的就出手是比較草率的,但是遲遲不做決定也會(huì)錯(cuò)失良機(jī)。怎么辦?
(學(xué)生面露難色。)
師別急,數(shù)學(xué)家已經(jīng)幫我們解決了這個(gè)問題?!吨笇?dǎo)生活的算法——人類決策中的計(jì)算機(jī)科學(xué)》一書告訴我們,數(shù)學(xué)家經(jīng)過一系列復(fù)雜算法,把決策問題變成了隨機(jī)選擇優(yōu)化問題,并利用“37%規(guī)則”解決了它。以買房為例,“37%規(guī)則”把決策過程分為兩個(gè)階段,第一個(gè)階段只看不買,同時(shí)記住最好的; 第二個(gè)階段遇到更好的或類似的,就毫不猶豫地買下來?!?7%規(guī)則”不能保證你買到最好的,但能讓你在足夠少的時(shí)間內(nèi)買到足夠好的房子。你是如何理解“37%規(guī)則”的?
生37%是指考慮的時(shí)間占總時(shí)間的37%。
師如果總時(shí)間是100天,怎么解釋37%?
生也就是,前37天考察比較,從第38天起看到更好的或類似的,就毫不猶豫地買下來。
師課前,同學(xué)們都思考或調(diào)查了自己或家人、朋友近期需要作出的比較重要的決策以及完成這個(gè)決策最長(zhǎng)的期限?,F(xiàn)在,讓我們一起來運(yùn)用“37%規(guī)則”給自己或家人、朋友做一個(gè)最優(yōu)化的決策:計(jì)算從大約從什么時(shí)候開始作出決策。
(學(xué)生計(jì)算,然后教師組織匯報(bào)、交流。)
師看來,我們?cè)趯W(xué)習(xí)、工作、生活中,不是只能憑感覺作出一些決策,還能運(yùn)用算法思維作出更好的決策。
四、發(fā)現(xiàn)“辛普森悖論”,提升懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)
百分?jǐn)?shù)是一個(gè)“率”,如果忽視其中相比的兩個(gè)更基本的“量”的大小,而只考慮這個(gè)算出來的“率”的大小,則很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤的判斷。學(xué)生認(rèn)識(shí)到直覺不可靠,而數(shù)據(jù)分析更可靠后,筆者選擇了“辛普森悖論”作為教學(xué)素材,讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)據(jù)分析—得出結(jié)論—提出質(zhì)疑—再次分析—推翻結(jié)論”的過程,感受到數(shù)據(jù)的“欺騙性”,從而培養(yǎng)懷疑精神和嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng),進(jìn)一步提升理性精神。教學(xué)片段如下:
師A同學(xué)和B同學(xué)進(jìn)行了三次投籃比賽,誰(shuí)的成績(jī)更好呢?還缺什么?
生數(shù)據(jù)。
師(PPT呈現(xiàn)表2)有了這些數(shù)據(jù),你們認(rèn)為誰(shuí)的成績(jī)更好?你是怎么想的?
生我認(rèn)為A同學(xué)的成績(jī)更好。我算過了,A同學(xué)三次比賽的命中率分別為91.7%、75%、58.3%,B同學(xué)三次比賽的命中率分別為83.3%、66.7%、33.3%。三次比賽,A同學(xué)的命中率都比B同學(xué)高。
師三場(chǎng)比賽,A同學(xué)的命中率都比B同學(xué)高,就可以得出A同學(xué)的總體成績(jī)比B同學(xué)好嗎?你們確定嗎?還有沒有別的算法?
(學(xué)生開始重新思考并計(jì)算。)
生我換了一種方法計(jì)算,A同學(xué)三次比賽的總命中率為(11+9+7)÷(12+12+12)=75%,B同學(xué)三次比賽的總命中率為(40+8+1)÷(48+12+3)≈77.8%。雖然單次的命中率都是A同學(xué)更高,但總命中率卻是B同學(xué)更高。
師是啊!這說明B同學(xué)的投籃成績(jī)更勝一籌。這個(gè)現(xiàn)象是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家愛德華·辛普森首次發(fā)現(xiàn)的,所以叫作“辛普森悖論”。這個(gè)悖論說明百分?jǐn)?shù)有一定的“欺騙性”,會(huì)干擾我們的判斷。同學(xué)們想破解謎題,摸清“辛普森悖論”背后的原因嗎?看來今天數(shù)學(xué)課后,同學(xué)們有了一個(gè)新的研究方向。
參考文獻(xiàn):
[1] 吳軍.數(shù)學(xué)之美(第二版)[M].北京:人民郵電出版社,2014.
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