姜華

摘要：對(duì)于“倍拼法”求三角形的面積，學(xué)生的心中有很多問(wèn)號(hào)。如果將教材的編排直接作為教學(xué)的流程，則少了思維的曲折和碰撞，把學(xué)生一下帶到了思維的終點(diǎn)。對(duì)此，重構(gòu)《三角形的面積》一課教學(xué)：立足學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的史料融入教學(xué)，讓學(xué)生在古今思維的碰撞中產(chǎn)生共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，讓思維得以豐盈。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;“倍拼法”;“以盈補(bǔ)缺”;《三角形的面積》

一、學(xué)情分析及史料拓展

“三角形的面積”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)中的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了“面積”，知道了三角形的特征以及長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形的面積計(jì)算方法，為本課的學(xué)習(xí)儲(chǔ)備了相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)。如圖1所示，教材主要通過(guò)“倍拼法”引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的面積公式，即“全等拼接，折半求積”，也就是將兩個(gè)全等的三角形拼成平行四邊形，所以一個(gè)三角形的面積是所在平行四邊形面積的一半，公式為S=ah÷2。這一方法通過(guò)建立三角形面積與平行四邊形面積的關(guān)系來(lái)解釋公式，與歐幾里得在《幾何原本》中的思路是一致的。“倍拼法”簡(jiǎn)單、直觀，緊密聯(lián)系了學(xué)生前一節(jié)課學(xué)過(guò)的“平行四邊形的面積”，具有普適性。

而在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很難自主想到“倍拼法”的策略，幾乎都是在教材或者教師指導(dǎo)下被動(dòng)操作。為什么教材的編寫(xiě)邏輯與學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不一致呢？翻閱“認(rèn)識(shí)面積”以及“平行四邊形的面積”相關(guān)的教材內(nèi)容，能發(fā)現(xiàn)些許端倪：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過(guò)程中具備了面積守恒的意識(shí)，知道將一個(gè)圖形切割、重組后面積不變;受平行四邊形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程的影響，學(xué)生比較容易想到運(yùn)用“等積轉(zhuǎn)化”，把一個(gè)三角形“割補(bǔ)”成長(zhǎng)方形進(jìn)行公式推導(dǎo)。

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的史料，能給學(xué)生這樣的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)注入歷史的厚重感。《九章算術(shù)》的“方田章”中介紹了直線型圖形的面積計(jì)算公式和實(shí)際運(yùn)用問(wèn)題。其中，第25題為：“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問(wèn)為田幾何？術(shù)曰：半廣以乘正從?！惫纾垂缧?，指三角形;“廣”指三角形的底邊長(zhǎng);“正從”指三角形底邊上的高。也就是用三角形底的一半乘三角形的高。著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“以盈補(bǔ)虛”的原理注釋了三角形面積公式的這種推導(dǎo)方法，蘇教版教材在《你知道嗎》欄目（見(jiàn)圖2）也有所提及?！耙杂a(bǔ)虛”實(shí)則就是“割補(bǔ)法”，即把一個(gè)平面圖形經(jīng)過(guò)分割、移補(bǔ)，使其面積保持不變，來(lái)計(jì)算它們的面積，體現(xiàn)的還是轉(zhuǎn)化的思想。

二、教學(xué)重構(gòu)：讓數(shù)學(xué)史料豐盈學(xué)生思維

對(duì)于教材的拼法，“為什么這樣拼？又是怎么想到這樣的拼法的？還有其他解決問(wèn)題的路徑嗎？……”學(xué)生的心中有很多問(wèn)號(hào)。如果將教材的編排直接作為教學(xué)的流程，則少了思維的曲折和碰撞，把學(xué)生一下帶到了思維的終點(diǎn)——方格對(duì)三角形和平行四邊形的量性特征進(jìn)行了刻畫(huà)，學(xué)生只需要數(shù)一數(shù)、算一算即可獲知涂色三角形的面積。這樣的教學(xué)，心中有書(shū)，但“目中無(wú)人”。美國(guó)數(shù)學(xué)史家卡約黎認(rèn)為，一門(mén)學(xué)科的歷史是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”。為此，我們需要立足學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的史料融入教學(xué)，讓學(xué)生在古今思維的碰撞中產(chǎn)生共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，讓思維得以豐盈?；谏鲜鏊伎?，筆者重新建構(gòu)了本課教學(xué)，過(guò)程如下——

（課前，教師發(fā)放習(xí)題紙，要求學(xué)生在習(xí)題紙上的圖3中畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，然后算出三角形的面積。）

師你們是怎么算出這個(gè)三角形的面積的？

生我認(rèn)為，要算出三角形的面積，其實(shí)就是要數(shù)清三角形內(nèi)有多少個(gè)1平方厘米的正方形。雖然有些格子不是整格的，但是可以通過(guò)切拼的方法，湊成整格的。（展示方法，如圖4）將①號(hào)、②號(hào)三角形切割，旋轉(zhuǎn)后和上面空缺的地方拼補(bǔ)起來(lái)，這樣就拼成了長(zhǎng)方形，長(zhǎng)6厘米，寬3厘米，面積就是18平方厘米。

師這樣切拼轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形與原來(lái)的三角形有什么聯(lián)系呢？

生面積相等，而且長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與三角形的一條高長(zhǎng)度相等。

生三角形最下面這條底邊的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形寬的長(zhǎng)度之間有倍數(shù)關(guān)系。兩次分割，將三角形底邊的6厘米分成三段，兩端的線段分別屬于①號(hào)和②號(hào)三角形，中間一段就是長(zhǎng)方形的寬。①號(hào)和②號(hào)的兩段拼起來(lái)后也等于長(zhǎng)方形的寬。所以說(shuō)三角形最下面這條底的長(zhǎng)度是長(zhǎng)方形寬的長(zhǎng)度的2倍。

（全班自發(fā)鼓掌。）

師你們是怎么評(píng)價(jià)這種切割之后再拼補(bǔ)的“割補(bǔ)法”的？

生“割補(bǔ)法”將三角形轉(zhuǎn)化成了等面積的長(zhǎng)方形，將原來(lái)三角形內(nèi)不好計(jì)數(shù)的非整格拼成了整格，就回到了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算。

師“退”是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略?！案钛a(bǔ)法”在銳角三角形中成功了，那在鈍角三角形和直角三角形中也能應(yīng)用嗎？我們不妨來(lái)試一試。

（學(xué)生通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)，鈍角三角形和直角三角形也可以用“割補(bǔ)法”轉(zhuǎn)化成等面積的長(zhǎng)方形。）

師如果用第一位同學(xué)的方法，（出示圖5）在△ABC上割下①號(hào)和②號(hào)，你覺(jué)得應(yīng)該從哪里開(kāi)始割？怎么割？自己動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，也可以動(dòng)手剪一剪，拼一拼。

（學(xué)生操作后交流。）

生（邊解說(shuō)邊操作，過(guò)程如圖6）我們發(fā)現(xiàn)要從AB和AC的中點(diǎn)向BC邊作垂線，然后沿著垂線剪開(kāi)，這樣就有了4個(gè)直角。找中點(diǎn)，是因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)①號(hào)直角三角形的斜邊必須找一條和它一樣長(zhǎng)的線段拼到一起，所以要將AB平均分成兩段。

師雖然方格紙沒(méi)有了，但是我們的思考卻更深入了?！案钛a(bǔ)法”在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中就有記載，著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補(bǔ)虛”的方法做了說(shuō)明。古人概括三角形的面積的計(jì)算方法是“半廣以乘正從”，（出示圖7）你能結(jié)合圖來(lái)解釋一下這種計(jì)算方法嗎？

生“半廣”是長(zhǎng)方形的寬，也就是三角形底邊長(zhǎng)度的一半。“從”是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，也是三角形的高。所以三角形的面積=半廣×從，用現(xiàn)在的話(huà)說(shuō)就是：S△=底÷2×高。

生我覺(jué)著第一位同學(xué)的割補(bǔ)方法有些麻煩，（展示做法，如圖8）我將原三角形沿高分成兩個(gè)直角三角形，①號(hào)、②號(hào)分別是它們所在長(zhǎng)方形面積的一半，所以①號(hào)、②號(hào)的面積分別是12平方厘米、6平方厘米。所以三角形的總面積是18平方厘米。

師從他的圖中，能看出三角形和大長(zhǎng)方形的關(guān)系嗎？

生三角形的底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，三角形的高等于長(zhǎng)方形的寬。三角形的面積是它所在的大長(zhǎng)方形面積的一半。

生所以我們又可以有一種新的求三角形面積的方法了，S△=S長(zhǎng)方形÷2=底×高÷2。

師這兩種轉(zhuǎn)化方法都是將三角形和長(zhǎng)方形建立聯(lián)系：第一種方法，“割補(bǔ)法”，“以盈補(bǔ)虛”，得到的長(zhǎng)方形的面積等于三角形的面積;第二種方法，“倍拼法”，得到的長(zhǎng)方形的面積是三角形面積的2倍。雖然每一種算法里都有“÷2”，但背后的思路卻不一樣。深入思考會(huì)給我們帶來(lái)不一樣的收獲。

生其實(shí)還有一個(gè)證明三角形的面積是長(zhǎng)方形面積一半的方法。（展示做法，如圖9）將倍拼后的①號(hào)向右平移6格之后，可以和倍拼后的②號(hào)拼成一個(gè)三角形，這個(gè)三角形和原來(lái)的三角形都只包含①號(hào)、②號(hào)兩部分，所以它們的面積是相等的。也就是說(shuō)三角形的面積是長(zhǎng)方形面積的一半。

生我突然發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)大三角形就拼成了一個(gè)平行四邊形，而且三角形的面積也是平行四邊形面積的一半。

生這樣，整體思路又可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化了：兩個(gè)完全一樣的三角形就可以拼成一個(gè)平行四邊形，三角形的面積是所在平行四邊形面積的一半。

生那我們又能得到求三角形面積的新方法了：因?yàn)槿切蔚牡缀推叫兴倪呅蔚牡紫嗟?，三角形底邊上的高也就是平行四邊形?duì)應(yīng)底邊上的高，所以S△=S平行四邊形÷2=底×高÷2。

師雖然兩次都得到了S△=底×高÷2，但是思路上又有了變化，我們可以從多個(gè)角度來(lái)理解這里的“底×高”。

……

雖然學(xué)生最終推導(dǎo)出的三角形的面積公式都是S△=底×高÷2，但是每一次推導(dǎo)的思維路徑卻是不一樣的，無(wú)論是“底×高”還是“÷2”，在每一次的推導(dǎo)中的意義是不同的，因此也對(duì)應(yīng)著不同的詮釋。學(xué)生對(duì)原先冷冰冰的三角形面積公式多了一份火熱的思考，對(duì)圖形之間的關(guān)系進(jìn)行了多向度的溝通和轉(zhuǎn)化，達(dá)成了更為靈活和精妙的推理，形成了多角度的理解。

從歷史出發(fā)，觀照現(xiàn)在，能夠更好地捕捉知識(shí)的核心價(jià)值;數(shù)學(xué)史的鏈接和融入，能夠給教學(xué)帶來(lái)新的方向，使學(xué)生的思維愈加豐盈。

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