徐淑琴 周龍虎

【摘 要】為達(dá)到既定的教學(xué)和教育目的，教師需要對(duì)教學(xué)過程進(jìn)行優(yōu)化，使學(xué)生積極的學(xué)習(xí)態(tài)度成為教學(xué)過程的有機(jī)部分。數(shù)學(xué)講邏輯、重推理，但數(shù)學(xué)思考與探究需要感性指引，才能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美。研究者通過對(duì)“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用”課例的開發(fā)、實(shí)踐與反思，詮釋“從感性出發(fā)，將理性引向深處”的內(nèi)涵，旨在達(dá)成有價(jià)值的“教”與有效的“學(xué)”。

【關(guān)鍵詞】感性課堂;理性精神;獨(dú)立性檢驗(yàn)

【作者簡(jiǎn)介】徐淑琴，一級(jí)教師，主要從事數(shù)學(xué)教育研究;周龍虎，一級(jí)教師，華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院在讀博士研究生，新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論指出，基于原有基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)才是有意義的學(xué)習(xí)，對(duì)知識(shí)的建構(gòu)理解是在與社會(huì)文化互動(dòng)中完成的，因而創(chuàng)設(shè)與學(xué)科內(nèi)容相符的情境就顯得尤為重要。關(guān)于問題情境是否一定是真實(shí)性情境，還是要與數(shù)學(xué)的內(nèi)部知識(shí)演化相關(guān)的問題，成為大家爭(zhēng)論的焦點(diǎn)。特別是在中學(xué)數(shù)學(xué)教育和小學(xué)數(shù)學(xué)教育的問題上，鄭毓信先生也指出這是一種不應(yīng)有的“兩極分化”：中學(xué)的數(shù)學(xué)教育常常被認(rèn)為附屬于數(shù)學(xué)（傾向后者），小學(xué)的數(shù)學(xué)教育則更明顯地表現(xiàn)出受到一般教育學(xué)與心理學(xué)的影響（傾向前者）。殊不知，我們無論是采用支架式教學(xué)模式，還是拋錨式或隨機(jī)進(jìn)入，都依賴于情境的作用。情境是一個(gè)促進(jìn)知識(shí)理解、遷移的手段，若都可以達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)，我們希望花費(fèi)在對(duì)情境的翻譯與轉(zhuǎn)化上的功夫要小一些，畢竟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)不能也不應(yīng)總是數(shù)學(xué)化的過程。眾多數(shù)學(xué)教育家疾呼“不指望更多的人愛上數(shù)學(xué)，但至少不能生厭”，或者“盡管他們未必是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的失敗者，但卻仍然不喜歡數(shù)學(xué)”，可見一味苛求學(xué)生“耐心、服從、韌性和承受挫折”會(huì)給學(xué)生的成長(zhǎng)帶來負(fù)面影響。教師的工作應(yīng)有所創(chuàng)新，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式才能有所改善。數(shù)學(xué)可以用數(shù)學(xué)的方式以“意”會(huì)“理”，于感性處培養(yǎng)理性精神，而不是一味的以理講理。筆者以“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談?wù)勔恍┫敕ā?/p>

一、教學(xué)內(nèi)容解析

“獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用”是人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-3》第三章“統(tǒng)計(jì)案例”第二小節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課上承必修模塊的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)，以對(duì)典型案例的分析再次強(qiáng)化課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的隨機(jī)性教學(xué)思想，并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用;下啟概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的假設(shè)檢驗(yàn)理論，從假設(shè)檢驗(yàn)的特殊典范——“獨(dú)立性檢驗(yàn)”的基本思想、方法和初步應(yīng)用到一般假設(shè)檢驗(yàn)的理論與方法的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的完美對(duì)接。

獨(dú)立性檢驗(yàn)與回歸分析，均是適合學(xué)生知識(shí)背景的統(tǒng)計(jì)方法，但獨(dú)立性檢驗(yàn)—相關(guān)分析的目的是檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的共變趨勢(shì)（即共同變化的程度），故適用的范圍更廣一些，現(xiàn)實(shí)意義也更大一些，即找到了一種實(shí)際生活中不確定問題的科學(xué)化處理方式，并提供可信的解釋依據(jù)。對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的理解和領(lǐng)悟能培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維、批判精神，并進(jìn)一步提升學(xué)生的理性精神[1]。

由于獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想內(nèi)隱于其基本步驟中，從而教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)放在獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理的理解上，只有掌握基本步驟的操作性、規(guī)則性的知識(shí)才能自然“產(chǎn)出”。做獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)的收集整理及分析基于概率的視角、統(tǒng)計(jì)的方法及推理的邏輯，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理及數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)有較大的幫助。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)指出，學(xué)生通過學(xué)習(xí)應(yīng)初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值，逐步形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，從而進(jìn)一步樹立辯證唯物主義世界觀。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》關(guān)于“統(tǒng)計(jì)”部分的教學(xué)也給出了說明與建議：統(tǒng)計(jì)教學(xué)必須通過案例來進(jìn)行。在教學(xué)中，教師應(yīng)通過對(duì)一些典型案例的處理，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)（如統(tǒng)計(jì)推斷可能犯錯(cuò)誤，估計(jì)結(jié)果的隨機(jī)性），體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性，并在此過程中學(xué)習(xí)一些數(shù)據(jù)處理的方法，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、方法去解決實(shí)際問題。人教A版和B版的高中數(shù)學(xué)教材中都舉了“隱私問題調(diào)查”的例子，很好地體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)的思想——提取信息[2]。選修模塊更是濃墨重彩的用一個(gè)章節(jié)對(duì)體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)思想的典例案例進(jìn)行討論，揭示了實(shí)際生活中經(jīng)常會(huì)面臨的預(yù)測(cè)與推斷的問題：在探索更好的統(tǒng)計(jì)方法的過程中雖然能給出合理的解釋，但終究都會(huì)承擔(dān)犯錯(cuò)誤的風(fēng)險(xiǎn)，這是統(tǒng)計(jì)的本質(zhì)。通過對(duì)生活中新聞案例的探究，激發(fā)學(xué)生使用科學(xué)化的研究手段分析問題、解決問題的興趣;通過對(duì)典型案例的探究，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受兩分類變量可能具有相關(guān)性，會(huì)自覺運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法整理數(shù)據(jù)（嘗試多種數(shù)據(jù)直觀化呈現(xiàn)方法，如制2×2列聯(lián)表或畫等高條形圖法），理解構(gòu)造隨機(jī)變量K2的必要性，掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般方法（提出假設(shè)檢驗(yàn)問題—選擇檢驗(yàn)的指標(biāo)—比較指標(biāo)觀測(cè)值與臨界值的大小關(guān)系—給出推斷結(jié)果及解釋），并能初步應(yīng)用其解決生活中需要判斷兩個(gè)分類變量間關(guān)系強(qiáng)弱的問題，加深對(duì)統(tǒng)計(jì)方法的有效性、局限性及可優(yōu)化性的認(rèn)識(shí)。但囿于教材事先沒有介紹假設(shè)檢驗(yàn)知識(shí)，故獨(dú)立性檢驗(yàn)基本思想的完美呈現(xiàn)將會(huì)是一個(gè)挑戰(zhàn)[3]。

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)、變量回歸分析等基礎(chǔ)知識(shí)，具備一定的“重直觀、重操作、重優(yōu)化”基本經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)。盡管筆者所教授的班級(jí)學(xué)生具有較強(qiáng)的直觀想象、邏輯推理及數(shù)據(jù)分析的能力，但他們對(duì)統(tǒng)計(jì)思想特別是統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的區(qū)別的理解依然是不透徹的，對(duì)參與統(tǒng)計(jì)全過程的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)是欠缺的，因而對(duì)典型案例（包括教師選取的、學(xué)生自主提出的）的討論就顯得尤為重要。如何引入并建構(gòu)K2的結(jié)構(gòu)，怎樣準(zhǔn)確理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及背后的理據(jù)，給出判定時(shí)為什么要說明“在犯錯(cuò)誤的概率不超過××的前提下”或“有超過××的把握認(rèn)為”等一系列問題都是學(xué)生可能會(huì)感到困惑的[4]。根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)確定為理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，了解隨機(jī)變量K2的含義。

四、教學(xué)策略分析

本節(jié)課以問題解決為導(dǎo)向，按照“建構(gòu)概念—制定規(guī)則—實(shí)施操作—精致思想—加強(qiáng)應(yīng)用”遞進(jìn)式的研究思路展開，通過對(duì)實(shí)例的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步明確獨(dú)立性檢驗(yàn)的功用、適用范圍及背后的統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，提升隨機(jī)性思想的意識(shí)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用。數(shù)學(xué)源于生活并與之密切相關(guān)，為了落實(shí)這一課標(biāo)理念，本節(jié)課通過新聞情景的引入，激發(fā)學(xué)生的探索欲望，讓學(xué)生體會(huì)到所學(xué)知識(shí)的研究意義與應(yīng)用價(jià)值。為遵循學(xué)生由感性到理性，由模糊到精確的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，本節(jié)課采用從衡量?jī)勺兞筷P(guān)系的隨機(jī)變量的直觀猜想到合乎情理的科學(xué)化論證的研究路徑。本節(jié)課通過激活直觀經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生呈現(xiàn)一系列與獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)的“小概率反證法”生活實(shí)例，自然地引導(dǎo)學(xué)生做出兩變量無關(guān)的原假設(shè)?！澳芊癜l(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)拒絕或接受原假設(shè)”的質(zhì)疑突顯制訂判定規(guī)則的必要性，進(jìn)而概括提煉出獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟及思想。

五、教學(xué)媒體支持

考慮到本節(jié)課的教學(xué)容量較大及圖表、文字等內(nèi)容較豐富，使用PPT演示文稿輔助教學(xué)非常有必要。為直觀體現(xiàn)“吸煙”與“患肺癌”的關(guān)聯(lián)性，教師需要演示用EXCEL軟件制作等高條形圖的步驟。教師在引導(dǎo)學(xué)生梳理獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟后，為促使他們進(jìn)一步理解其基本思想與背后理據(jù)，可以通過SPSS統(tǒng)計(jì)軟件演示獨(dú)立性檢驗(yàn)的整個(gè)過程，并請(qǐng)學(xué)生操作該軟件，讓學(xué)生真正做到“做中學(xué)”“學(xué)中悟”。

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

據(jù)新聞報(bào)道，美國佛羅里達(dá)州一名煙民遺孀將美國一煙草公司告上法庭。原告Cynthia Robinson的丈夫Michael Johnson在1996年因肺癌去世，死時(shí)年僅36歲。Robinson的律師表示，Johnson從13歲起就每天抽一至三支煙，抽了20多年，“他根本戒不掉，到臨死的那天還在抽”。你認(rèn)為Robinson能勝訴嗎？[5]

問題1：根據(jù)你的分析，你認(rèn)為Robinson能勝訴嗎？

生1：我認(rèn)為能勝訴，因?yàn)槲鼰熡泻】担鼰煏?huì)減少人的壽命，長(zhǎng)期吸煙會(huì)增加患肺癌的概率。

師：有道理和醫(yī)學(xué)根據(jù)，但愛抽雪茄的英國前首相丘吉爾在醫(yī)療水平尚不發(fā)達(dá)的年代還能活到90多歲呢。

生2：樣本容量太小，也不具備隨機(jī)性，沒有說服力。

師：的確，個(gè)案往往不能代表整體，說明你有很好的統(tǒng)計(jì)意識(shí)。

生3：不一定勝訴。吸煙雖有害健康，但得肺癌的因素很多，不一定是吸煙引起的。

師：事實(shí)勝于雄辯，我們需要用數(shù)據(jù)說話。為了使調(diào)查數(shù)據(jù)更形象直觀，我們常通過什么方式呈現(xiàn)呢？

生：列表格。

【設(shè)計(jì)意圖】以現(xiàn)實(shí)生活問題開啟探究之旅，寄寓理性的探究往往源自感性的認(rèn)識(shí)，且是感性的升華。有效的數(shù)學(xué)課堂問題情境創(chuàng)設(shè)有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的專注力，使學(xué)生保持積極的思維狀態(tài)，進(jìn)而可以有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力。同時(shí)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受使用統(tǒng)計(jì)方法研究的必要性。

（二）操作確認(rèn)，直觀驗(yàn)證

問題2：假如我們想通過調(diào)查，考察吸煙是否與患肺癌有關(guān)，那我們需要用到什么樣的數(shù)據(jù)？

生：我們需要患肺癌人群中吸煙人群的比例與不患肺癌人群中吸煙人群的比例，并研究它們之間的差距。

師：不錯(cuò)，我們要收集必要的特征數(shù)據(jù)，像這樣是否吸煙、是否患肺癌能有不同的“取值”，如吸煙與不吸煙、患肺癌與不患肺癌，我們稱之為分類變量，兩變量間的相關(guān)關(guān)系是我們所要研究的。如數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與否與物理成績(jī)優(yōu)秀與否的相關(guān)關(guān)系等。

問題3：為研究吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)調(diào)查了9 965人，得到如下結(jié)果（見表1），那么吸煙是否對(duì)患肺癌有影響？

師：類似于表1，我們稱分類變量的匯總統(tǒng)計(jì)表為列聯(lián)表，一般我們研究?jī)蓚€(gè)分類變量只取兩個(gè)值，這樣的列聯(lián)表稱作2×2列聯(lián)表。

生：列聯(lián)表可以粗略地估計(jì)出，在不吸煙樣本中，有0.54患肺癌;在吸煙樣本中，有2.28患肺癌。因此，直觀感知，吸煙對(duì)患肺癌可能有影響。

問題4：為了更直觀地反映兩者間是否相互影響，我們可以用一些特殊圖形如三維柱狀圖、等高條形圖法來展示，如圖1。（教師演示用EXCEL軟件作圖過程。）

【設(shè)計(jì)意圖】直觀形象的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)為觀察數(shù)據(jù)特征帶來便利，用多種統(tǒng)計(jì)圖激發(fā)學(xué)生的直觀感知力，為選用更具科學(xué)性的統(tǒng)計(jì)手段研究?jī)蓚€(gè)分類變量的相關(guān)關(guān)系做好鋪墊。

（三）啟發(fā)引導(dǎo)，理性構(gòu)建

師：但事實(shí)真如我們的圖象所示嗎？為了使問題的討論更具一般性，我們使用初一學(xué)習(xí)過的“以字母代數(shù)”，得出2×2的列聯(lián)表（見表2），具體應(yīng)如何討論呢？

生1：就是要看ba+b-dc+d的大小，該值越大，則說明吸煙與患肺癌關(guān)系越強(qiáng)，反之越弱。

生2：也可以看aa+b-cc+d的大小。

師：不錯(cuò)，最終都是轉(zhuǎn)化為討論|ad-bc|的大小。實(shí)質(zhì)上我們所說的“有多大的把握認(rèn)為‘吸煙與患肺癌有關(guān)”是數(shù)學(xué)中的什么問題？

生：概率問題。

師：那好，我們不妨設(shè)事件“吸煙”為A，事件“患肺癌”為B，我們認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)，即事件A與事件B有關(guān)，那么問題的另一面是什么？

生：事件A與事件B無關(guān)，也就是事件A與事件B相互獨(dú)立。

師：我們就可以得到一系列的相互獨(dú)立事件的概率公式，如P（AB）=P（A）·P（B）;P（A—B）=P（A—）·P（B）;

P（AB—）=P（A）·P（B—）;P（AB）=P（A—）·P（B—）。因此，我們就可以通過概率知識(shí)來討論“吸煙”與“患肺癌”兩事件的關(guān)聯(lián)性。

生：以事件的頻率代替概率，看四個(gè)概率公式的左右兩邊的差距的大小。若差距都很大，說明吸煙與患肺癌關(guān)系越強(qiáng);若差距都很小，則說明關(guān)系越弱。

師：不錯(cuò)，確切地，我們應(yīng)判定哪個(gè)代數(shù)式的大小呢？

生：跟刻畫數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的方差公式一樣，求四個(gè)差距的平方和，化簡(jiǎn)整理后是n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。與之前的式子里都有相同的結(jié)構(gòu)式|ad-bc|。

師：為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，我們構(gòu)造出了隨機(jī)變量：K2=n（ad-bc）2（a+b）（a+c）（c+d）（b+d），（n=a+b+c+d）。

【設(shè)計(jì)意圖】在教師引導(dǎo)下學(xué)生嘗試用多種方法推導(dǎo)刻畫兩分類變量關(guān)系強(qiáng)弱的隨機(jī)變量，加深了對(duì)其中相同結(jié)構(gòu)“|ad-bc|”的理解，并借用反證法的思維模式實(shí)現(xiàn)了概率視角下事件獨(dú)立性與兩分類變量獨(dú)立的問題轉(zhuǎn)化，為辨析獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的基本思想做鋪墊。從對(duì)兩變量相關(guān)性的感性猜想到這一環(huán)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)縝密的理性推演的思維互動(dòng)歷程，彰顯了數(shù)學(xué)思維的全面性。

（四）科學(xué)探究，歸納概括

問題5：若不清楚兩分類變量是否有關(guān)，但事件相互獨(dú)立的情形我們是可以研究的。不妨假設(shè)兩分類變量是否無關(guān)（相互獨(dú)立），看是否推出矛盾，即先假設(shè)H0：吸煙與患肺癌無關(guān)。用頻率近似代替概率，在H0成立的條件下，K2應(yīng)該越大越好還是越小越好？為什么？

生：越小越好。

師：不錯(cuò)。也就是K2越大，就拒絕原假設(shè)H0，也就是認(rèn)為它們有關(guān)。那究竟多大才能認(rèn)為它們有關(guān)，多小才能認(rèn)為它們無關(guān)呢？

（學(xué)生沉默沒有回答。）

師：因此，這就需要一個(gè)臨界值，需要一個(gè)規(guī)則，臨界值在什么范圍內(nèi)就認(rèn)為它們關(guān)系強(qiáng)，在什么范圍內(nèi)它們關(guān)系就弱，類似于這樣的臨界值，我們研究過嗎？

生（搶答）：這就是二分法，給出一個(gè)精確度，才是一個(gè)算法，否則可能無限做下去。

【設(shè)計(jì)意圖】建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的主要方式是順應(yīng)和同化。數(shù)學(xué)中的規(guī)定、統(tǒng)計(jì)學(xué)上的部分結(jié)論都是在內(nèi)部發(fā)展中自然催生的，揭示其共性（或異性）特征及背后的規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。

師：計(jì)算出隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k，并給定一個(gè)臨界值k0，就建立一個(gè)判斷H0是否成立的規(guī)則。若k≥k0，則判定H0不成立，即認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”;若k

師：請(qǐng)問統(tǒng)計(jì)值是怎么得來的？比如說6.635。

（學(xué)生陷入思考。）

師：好比正態(tài)分布中，若有一個(gè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1），根據(jù)3σ原則，則落在區(qū)間（-3，3）外取值的概率的概率只有0.0026，這里的臨界值-3與3就是一樣的含義。一般地，如果K2≥6.635，就判定不成立，這種判斷出錯(cuò)的可能性有多大？

生：出錯(cuò)的可能性不會(huì)超過1。

師：像這種隨著隨機(jī)變量的卡方值來判斷在多大程度上認(rèn)為兩個(gè)分類變量有關(guān)的方法叫作“獨(dú)立性檢驗(yàn)”。通過以上研究，同學(xué)們能否總結(jié)出獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟？

生：（1）提出假設(shè)：事件A與事件B無關(guān)（假設(shè)事件獨(dú)立）;（2）根據(jù)列聯(lián)表與公式計(jì)算卡方值;

（3）對(duì)照臨界值表，下結(jié)論。

【設(shè)計(jì)意圖】理解隨機(jī)變量K2是本節(jié)課的難點(diǎn)之一，利用概率知識(shí)解讀卡方臨界值表中數(shù)據(jù)的意義，有助于學(xué)生理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想。

（五）辨析對(duì)比，深化認(rèn)識(shí)

問題6：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與數(shù)學(xué)中哪種方法類似？

生：反證法。

師：是的，小概率的反證法?！奥愤吙嗬睢本褪沁\(yùn)用反證法的典型例子。

（教師用課件展示“路邊苦李”的故事。）

師：那這兩種方式是否完全一樣呢？

生：數(shù)學(xué)中的反證法是證明命題正確的嚴(yán)格方法，而獨(dú)立性檢驗(yàn)依賴于調(diào)查樣本數(shù)據(jù)，做出的判斷有可能是假的，就好比是頻率分布直方圖中的三數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）也不一定是準(zhǔn)確的。

（教師展示表4，并請(qǐng)學(xué)生完成。）

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的目標(biāo)、理據(jù)及操作步驟進(jìn)行對(duì)比與辨析，有效地溝通新知與舊知，使學(xué)生進(jìn)一步理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，并學(xué)會(huì)用聯(lián)系的視角看待事物。

（六）學(xué)以致用，總結(jié)提升

師：讓我們回到課前的官司，煙民的遺孀能勝訴嗎？

生：能，計(jì)算出K2的觀測(cè)值k≈56.632，觀察臨界值表知P（K2≥6.635）≈0.01，故在犯錯(cuò)不超過0.01的情形下認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。

師：依我看，數(shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué)往往數(shù)學(xué)歸納整理得也好，也就是說它們是有關(guān)的，你同意這種說法嗎？怎樣用剛學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行研究？

生：我們認(rèn)為應(yīng)該從調(diào)查研究開始，分別統(tǒng)計(jì)樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)好與數(shù)學(xué)成績(jī)不太好的同學(xué)中數(shù)學(xué)歸納整理做得好與不太好的人數(shù)。

師：很好，同學(xué)們能用統(tǒng)計(jì)思想解決生活中的實(shí)際問題。為便于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們應(yīng)首先從調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)做起，其次才是分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)，真正撬開“數(shù)據(jù)的嘴巴”。

【設(shè)計(jì)意圖】首尾呼應(yīng)，利用習(xí)得的知識(shí)解決課前提出的問題，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)在決策中的作用，并構(gòu)畫出“以情入理、由理入情、情理相融”的課堂探究藍(lán)圖。

師：看來大家對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想已經(jīng)掌握得不錯(cuò)了，接下來我們?cè)倏戳硪粋€(gè)具體的問題。

例1 某高?！敖y(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選修該課程的一些學(xué)生的情況，具體數(shù)據(jù)見表5，請(qǐng)問是否有97.5以上的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)？

生：為了檢驗(yàn)主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，得到K2=50×（13×20-10×7）223×27×20×30≈4.844<5.024，所以沒有97.5以上的把握認(rèn)為主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系。