彭翕成 曹洪洋

【摘 要】基于使用工具的不同，文章將初等數(shù)學(xué)研究劃分為“石器時(shí)代”“農(nóng)業(yè)時(shí)代”“智能時(shí)代”三個(gè)階段，智能時(shí)代需要智能工具，智能工具的產(chǎn)生取決于數(shù)學(xué)現(xiàn)代化的實(shí)現(xiàn)，其中數(shù)學(xué)機(jī)械化研究是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化的關(guān)鍵?；谀壳暗臄?shù)學(xué)機(jī)械化研究成果，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際需求，文章列舉了豐富的實(shí)例，涉及平面幾何、不等式、三角函數(shù)等內(nèi)容，充分展示人工智能在探索數(shù)學(xué)結(jié)論、自動(dòng)命題等方面的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】人工智能;初等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)機(jī)械化;自動(dòng)命題

【作者簡介】彭翕成，博士，數(shù)學(xué)科普作家，主要從事數(shù)學(xué)文化傳播和數(shù)學(xué)教育技術(shù)的普及;曹洪洋，主要從事計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)探索研究。

一、研究背景

1950年，圖靈在論文《計(jì)算機(jī)器與智能》中提出“機(jī)器能否像人一樣思考？”的問題[1]，引起較大反響。1956年，麥卡錫、香農(nóng)、明斯基等科學(xué)家在美國發(fā)起舉行達(dá)特茅斯會(huì)議，首次提出“人工智能”，希望能模仿或擴(kuò)展人類學(xué)習(xí)以及其他方面的智能，發(fā)展類人智能機(jī)器，標(biāo)志著一門新興學(xué)科正式誕生[2]。之后幾十年，人工智能發(fā)展起起落落[3]，有過發(fā)展繁榮，也曾遭遇瓶頸，但最終于近年大放異彩。繼1997年超級(jí)計(jì)算機(jī)深藍(lán)戰(zhàn)勝國際象棋世界冠軍之后，2016年，阿爾法圍棋（AlphaGo）擊敗人類圍棋世界冠軍，人機(jī)博弈舉世矚目。因此，有專家稱，人工智能時(shí)代已經(jīng)到來。

2017年至2019年，人工智能連續(xù)三年被寫入我國《政府工作報(bào)告》。為抓住人工智能發(fā)展機(jī)遇，國務(wù)院印發(fā)《新一代人工智能發(fā)展規(guī)劃》，系統(tǒng)部署了我國人工智能發(fā)展的總體思路、戰(zhàn)略目標(biāo)、主要任務(wù)及保障措施，在2030年搶占人工智能全球制高點(diǎn)。不僅在中國，美國、英國、日本、德國、韓國等國家也將人工智能上升為國家戰(zhàn)略，出臺(tái)了相關(guān)戰(zhàn)略、計(jì)劃[4-5]。

人工智能包含但不限于以下課題：自然語言理解、數(shù)據(jù)庫的智能檢索、博弈、機(jī)器人學(xué)、自動(dòng)程序設(shè)計(jì)、智能解答等。本文研究屬于智能解答領(lǐng)域的分支，主要研究利用計(jì)算機(jī)自動(dòng)命題以及解題。

解題研究是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分。現(xiàn)在的考試繁多，題目需求量大，而且要求試題要有新意，對(duì)命題人要求很高，如果用計(jì)算機(jī)自動(dòng)命題，可不受已有題目的干擾，創(chuàng)新性強(qiáng)。用計(jì)算機(jī)解題還可以與已有題庫網(wǎng)站形成互補(bǔ)，能解決題庫中沒有的題目。對(duì)于題庫已有的題目，計(jì)算機(jī)解答系統(tǒng)也可生成解答，通過對(duì)照檢驗(yàn)，檢測(cè)原有解答是否正確，還可以給學(xué)習(xí)者提供多種解答思路。這一研究成果如果能應(yīng)用推廣，必將為教師教學(xué)提供有效的幫助，同時(shí)也為智能批改、學(xué)習(xí)診斷等研究打好基礎(chǔ)。

目前人工智能的研究力量主要來自高校、科研院所及一些大的計(jì)算機(jī)企業(yè)，而初等數(shù)學(xué)的研究力量主要是中學(xué)數(shù)學(xué)教師，這兩者交集較少，因此有必要在這兩者之間搭建溝通的橋梁，使得先進(jìn)成果得到更好的應(yīng)用。

二、初等數(shù)學(xué)研究的三個(gè)時(shí)代

初等數(shù)學(xué)研究歷史漫長，但從研究手段來說，卻沒有太大變化。隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，特別是近年來智能技術(shù)的發(fā)展，研究手段也得到了很大的發(fā)展。根據(jù)研究手段的變化，筆者認(rèn)為，可將初等數(shù)學(xué)研究的歷史分為三個(gè)時(shí)代，或者是三個(gè)階段。

（一）赤手空拳的“石器時(shí)代”

在很長的一段時(shí)間，數(shù)學(xué)研究被認(rèn)為只需一張紙、一支筆就夠了，能不能做出有用的科研成果，關(guān)鍵取決于研究者下了多少功夫。由于使用的工具十分有限，因此創(chuàng)新極不容易。這一階段我們稱為 “石器時(shí)代”，其特點(diǎn)是幾乎沒有工具輔助。

（二）機(jī)器輔助的“農(nóng)業(yè)時(shí)代”

計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后，自然被用于數(shù)學(xué)研究。在初等數(shù)學(xué)研究中，幾何畫板、超級(jí)畫板、網(wǎng)絡(luò)畫板、Geogebra等工具的應(yīng)用越來越普遍。繪制幾何圖形是這些軟件的基本功能之一，其通過繪制圖形測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，拖動(dòng)點(diǎn)或參數(shù)發(fā)現(xiàn)變化中的不變量，從而得出結(jié)論。實(shí)踐表明，類似動(dòng)態(tài)幾何軟件的出現(xiàn)，較之前的研究效率得到很大的提高，發(fā)現(xiàn)一些新結(jié)論也比以前更容易[6]。這一階段我們稱為 “農(nóng)業(yè)時(shí)代”，其特點(diǎn)是應(yīng)用了一些輔助工具幫助人們進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，但研究的效率還不是很高，成果出產(chǎn)較慢。

（三）批量生產(chǎn)的“智能時(shí)代”

科技的發(fā)展日新月異，特別是以阿爾法圍棋（AlphaGo）為代表的智能技術(shù)舉世矚目[7]。能不能將這些新技術(shù)應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)研究成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。這一新的階段我們稱為“智能時(shí)代”，其特點(diǎn)是使用智能工具，提高了研究效率，擴(kuò)展了研究深度和廣度。而要真正實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，智能工具只是負(fù)責(zé)具體執(zhí)行，根本原動(dòng)力在于努力實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化。

三、數(shù)學(xué)機(jī)械化或算法數(shù)學(xué)

什么是數(shù)學(xué)現(xiàn)代化，怎樣實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)代化，這是每個(gè)數(shù)學(xué)工作者應(yīng)該關(guān)注的問題。數(shù)學(xué)家吳文俊院士曾提出一個(gè)令人深思的問題：農(nóng)業(yè)和工業(yè)這樣的體力勞動(dòng)能機(jī)械化，數(shù)學(xué)研究這樣的腦力勞動(dòng)，能否機(jī)械化？[8]所謂機(jī)械化，吳文俊院士認(rèn)為無非就是刻板化和規(guī)格化。由于簡單刻板，因而可以讓機(jī)器來實(shí)現(xiàn)，又由于往往需要反復(fù)千百萬次，超出了人力的可能，因而又必須借助機(jī)器來實(shí)現(xiàn)。

吳文俊院士進(jìn)一步指出，數(shù)學(xué)機(jī)械化在中小學(xué)課堂就接觸過，在小學(xué)用紙筆進(jìn)行的加減乘除四則運(yùn)算，就完全是機(jī)械化的，正因?yàn)槿绱?，才有可能?7世紀(jì)巴斯喀利用齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)制造成加法機(jī)器，之后萊布尼茨又把它改進(jìn)成乘法機(jī)器。而到現(xiàn)代，四則運(yùn)算已可以在電子計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。如果沒有小學(xué)那種已經(jīng)成為機(jī)械化的算法，這些都是不可能實(shí)現(xiàn)的。又如幾何定理證明，添加輔助線往往是一種很高超的藝術(shù)，但出現(xiàn)了解析幾何，證明定理就有些機(jī)械化而容易入手。雖然這些都還算不上真正的機(jī)械化或半機(jī)械化，但提高了機(jī)械化的程度，在機(jī)械化的道路上邁進(jìn)了一大步，在歷史上成為數(shù)學(xué)進(jìn)展的劃時(shí)代標(biāo)志[8]。

吳文俊院士認(rèn)為，貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩個(gè)中心思想，一是公理化思想，另一是機(jī)械化思想[8]。著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也有類似的觀點(diǎn)，他認(rèn)為，對(duì)于數(shù)學(xué)教育說來，數(shù)學(xué)可分為思辨數(shù)學(xué)和算法數(shù)學(xué)。算法中有思辨，思辨中有算法，但兩者又各有特點(diǎn)和不同。在算法數(shù)學(xué)中，問題解決有較明確的步驟和法則可循;而在思辨數(shù)學(xué)中，解決問題只能根據(jù)一般的邏輯法則對(duì)問題中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系與空間形式的特點(diǎn)去做具體的分析。例如用算術(shù)方法解四則應(yīng)用題是思辨數(shù)學(xué)，而用列方程解四則應(yīng)用題是算法數(shù)學(xué);用綜合法解平面幾何是思辨數(shù)學(xué)，而解析幾何與向量幾何是算法數(shù)學(xué)。思辨數(shù)學(xué)更富有技巧，學(xué)習(xí)它需要更高的機(jī)智，從而也培養(yǎng)機(jī)智;算法數(shù)學(xué)是思辨數(shù)學(xué)的結(jié)晶，是從反復(fù)的技巧使用中凝成的法則（這種凝成，往往是一種高超的數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)物），使用這些法則可以少花腦力，因而也容易為更多的人所掌握，同時(shí)解決問題更具有普遍性。一般地說，算法數(shù)學(xué)一旦形成，相關(guān)的思辨數(shù)學(xué)便被拋棄。例如一個(gè)人一旦掌握了代數(shù)法解應(yīng)用題的方法后，相應(yīng)的算術(shù)法自然被拋棄[9]。目前，數(shù)學(xué)機(jī)械化的研究已經(jīng)取得一些成果，上文提到的超級(jí)畫板便是其中的成果之一。下面筆者通過例子說明智能技術(shù)在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

四、智能技術(shù)在初等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

初等數(shù)學(xué)分支很多，下文將從平面幾何、代數(shù)恒等式（含不等式）、三角幾何公式、三角不等式等方面分別舉例介紹智能技術(shù)的應(yīng)用。具體來說，就是面對(duì)若干已知條件，如何深入挖掘信息，推理出更深層的結(jié)論;或者面對(duì)已有命題，能否仿照其形式，構(gòu)造出更多類似結(jié)論，再從中選取正確命題輸出。

（一）深入挖掘已有條件得出新結(jié)論

例1 （2002年四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖1，圓O是△ABC的外接圓，過A的切線與直線BC交于P，過A作AD⊥PO于D。求證：BD·CP=BP·CD。

該題難度不大，圖形也簡單，可看作是兩個(gè)常見基本模型的組合：直角三角形斜邊高線模型、切割線模型。但組合起來內(nèi)涵豐富，遠(yuǎn)不是兩個(gè)基本模型性質(zhì)的簡單相加。

如果將BD·CP=BP·CD看成一條線段比例信息，排除AD·OA=AD·OB（化簡后是OA=OB，此類信息應(yīng)歸于線段相等信息），那么圖中大概有多少條比例信息？估計(jì)很少有人會(huì)選擇20條以上。

需要指出的是，超級(jí)畫板具備智能解答功能，只不過知道的人不多，應(yīng)用較少。而網(wǎng)絡(luò)畫板、Geogebra等工具也在不斷地增加智能推理功能。在吳文俊、張景中兩位院士的帶領(lǐng)下，我國在幾何定理機(jī)器證明領(lǐng)域處于世界領(lǐng)先位置。筆者在廣泛吸收已有成果的基礎(chǔ)上，開發(fā)了一款能夠自動(dòng)發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論的軟件——幾何神算。使用幾何神算搜索，不到一秒鐘就能得到幾十條信息，列舉如下。

線段比例信息：

DOAO=BDBP=ADAP=AOOP=CDCP，

BDAD=ADCD=ABAC=BPAP=APCP，DOCD=BDDP=AOCP，

DOAD=ADDP=AOAP，

DOBD=AOBP=CDDP，

BDAO=BPOP=DPCP，

AOCD=BPDP=OPCP，

ADAO=DPAP=APOP。

角度相等信息：

∠DPB=∠DCO=∠DBO，

∠OCA=∠CAO，

∠OAD=∠APD，

∠DCA=∠DAB，

∠BOD=∠BCD，

∠CAD=∠ABD，

∠ODC=∠OBC=∠BDP=∠BCO，

∠OAB=∠ABO，

∠BCA=∠BAP，

∠DOA=∠DAP，

90°=∠PDA=∠OAP=∠ADO，

∠PBA=∠CAP，

∠COB=∠CDB，

∠BDA=∠ADC，

∠PBD=∠COD，

∠PBO=∠ODB=∠CDP。

三角形相似信息：

△ADB∽△CDA，

△BAP∽△ACP，

△OAD∽△APD∽△OPA，

△OCP∽△ODC∽△BDP，

△CDP∽△OBP∽△ODB。

該題中的結(jié)論，例如線段比例、角度相等、三角形相似信息數(shù)量之多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的想象。因此，這是一道較好的開放題，教師可讓學(xué)生自己探索。特別是近年來，考試題型提倡多選題、多空題，由于受到思維的限制，有時(shí)候人們很難對(duì)問題有全面的認(rèn)識(shí)，因此有必要借助智能技術(shù)進(jìn)行教學(xué)和學(xué)習(xí)。該題簡略分析如下。

由OC2=OA2=OD·OP，即OCOD=OPOC，∠DOC=∠COP，于是△DOC∽△COP，∠OCD=∠OPC。

由PB·PC=PA2=PD·PO，得B、C、O、D四點(diǎn)共圓，于是△PBD∽△POC;

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，結(jié)合∠OCD=∠BPD，于是△DBP∽△DOC，得DBDO=DPDC，即DB·DC=DO·DP=AD2，ADDB=DCAD。

由△PBD∽△POC，得∠DBP=∠DOC，∠BDA=∠ADC，結(jié)合ADDB=DCAD，于是△ADB∽△CDA。

由∠POB=∠BOD，∠OPB=∠OBD，得△OPB∽△OBD。

根據(jù)以上所得的相似關(guān)系，以及角度相等、相等比例線段，不難得出△BAP∽△ACP，△OAD∽△APD∽△OPA，△OCP∽△ODC∽△BDP，△CDP∽△OBP∽△ODB。根據(jù)相似關(guān)系，可寫出大量線段成比例。

例1是基于已有條件生成結(jié)論。幾何題如此，代數(shù)題能否實(shí)行？下面筆者通過例2繼續(xù)進(jìn)行研究。

例2 已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，你能探索出哪些結(jié)論？

分析：不妨設(shè)abc=k1，ab+ac+bc=k2，a3+b3+c3=k3，a4+b4+c4=k4，a5+b5+c5=k5，a6+b6+c6=k6，a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）=k7，a3b2+b3c2+c3a2=k8，使用符號(hào)計(jì)算中的消元算法，能得到以下結(jié)論。

{k2，-5k4+4k5+1，k4+4k8-1，4k3-3k4-1，4k1-k4+1，3k8-k7，3k1+k7，

3k5+5k7-3，-3k12-6k1+k6-1，-3k1+k3-1，3k4+4k7-3}=0。

其中k2=0，意味著ab+ac+bc=0，以此類推。

計(jì)算機(jī)得出這些結(jié)論之后，還能進(jìn)一步給出以下解釋。

2（ab+bc+ca）+（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（1+a+b+c）=0（1），

2[4abc-（a4+b4+c4）+1]-（-2-a-a2-b-b2-2c+ac+bc）（a2+b2+c2-1）-（a+b+c-1）（a-a3+b+2ab+a2b+ab2-b3+2c+2ac+2bc-2abc+ac2+bc2-2c3）=0……（2），

基于上述恒等式，得出ab+bc+ca=0，4abc-（a4+b4+c4）+1=0。如果說（2）式太長，人們難以理解，那么（1）式可以幫助我們更好地理解。

例3 （2017年全國高考文科試題）已知a>0，b>0，a3+b3=2，證明：a+b≤2。

分析：因?yàn)椋╝+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab·（a+b）≤2+3（a+b）24（a+b）=2+3（a+b）34，所以（a+b）3≤8，a+b≤2。

機(jī)器生成恒等式：3（2-a-b）=（a-1）2（2+a）+（b-1）2（2+b）+（2-a3-b3）。

因?yàn)?（2-a-b）表示為若干非負(fù)項(xiàng)相加，所以所得結(jié)果必為非負(fù)，命題得證。恒等式證明簡便快捷，為該題的解答帶來新的啟發(fā)。事實(shí)上，當(dāng)學(xué)生給出恒等式證明時(shí)，其已經(jīng)不自覺地運(yùn)用了“多項(xiàng)式理想”“零點(diǎn)集”這些知識(shí)點(diǎn)，而不是簡單地運(yùn)用代數(shù)變形或者套用不等式定理。

（二）模仿已有命題得出新結(jié)論

S=12absinC是我們熟悉的三角形面積公式。該公式可看成由三個(gè)部分組成：系數(shù)12，線段的二次方ab，角度的函數(shù)sinC。能不能讓計(jì)算機(jī)根據(jù)這些特征，嘗試生成另外的三角形面積公式？經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，這完全可以實(shí)現(xiàn)。憑借計(jì)算機(jī)高速的計(jì)算能力，在一兩分鐘內(nèi)可嘗試百萬次，計(jì)算機(jī)輸出結(jié)果如下。其中設(shè)△ABC的面積為S，三邊長為a、b、c，三個(gè)角為A、B、C，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r。

（1）S=ab+bc+ca2（1sinA+1sinB+1sinC）;

（2）S=（a+b+c2）2tanA2tanB2tanC2;

（3）S=2ab+2bc+2ca-a2-b2-c24（tanA2+tanB2+tanC2）;

（4）S=a2+b2+c24（cotA+cotB+cotC）;

（5）S=a（b+c）sinBsinC2（sinB+sinC）;

（6）S=14（b2sin2A+a2sin2B）;

（7）S=18（a+b-c）（a-b+c）（-1+cotA4）（1+cotA4）tanA4;

（8）S=14（a+b-c）（a-b+c）cotA2;

（9）S=-14（a2-b2-c2）tanA;

（10）S=12（a+b+c）r（cot2Acot2B+cot2Bcot2C+cot2Ccot2A）;

（11）S=R（acosA+bcosB-ccosAcosB）;

（12）S=rR（sinA+sinB+sinC）;

（13）S=12R2（sin2A+sin2B+sin2C）;

（14）S=r2cotA2cotB2cotC2;

（15）S=r2（cotA2+cotB2+cotC2）。

以上關(guān)系式的證明并不難，但要是在沒有提示的情況下，讓學(xué)生獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，也不容易。即便能發(fā)現(xiàn)一兩個(gè)關(guān)系式，也很難發(fā)現(xiàn)這么多。也就是說，在不借助計(jì)算機(jī)的情況下，一次性得到這么多式子是不容易的。在這些面積關(guān)系式中，還有其他關(guān)系，譬如結(jié)合第（14）和（15）式子，可得cotA2cotB2cotC2=cotA2+cotB2+cotC2。

能仿寫得到等式，能否仿寫得到不等式？以下通過例4進(jìn)行研究。

例4（《數(shù)學(xué)通訊》2020年第8期問題征解459）在△ABC中，證明：sinA2cosB-C2+sinB2cosC-A2+sinC2cosA-B2≥32。

計(jì)算機(jī)模仿題目可自動(dòng)生成若干表達(dá)式，并從中選取11個(gè)表達(dá)式，分別設(shè)為ti，并根據(jù)大小生成如圖2所示的關(guān)系圖。圖中的箭頭是表示較小者指向較大者（含相等），譬如例4就是32→t4≤sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5。其中，

sinA2tanB-C2+sinB2tanC-A2+sinC2tanA-B2→t1，

tanA2tanB-C2+tanA-B2tanC2+tanB2tanC-A2→t2，

0→t3，

32→t4，

sinA2secB-C2+sinB2secC-A2+sinC2secA-B2→t5，

2→t6，

cosA2tanB-C2+cosB2tanC-A2+cosC2tanA-B2→t7，

tanA2secB-C2+tanB2secC-A2+tanC2secA-B2→t8，

cosA2secB-C2+cosB2secC-A2+cosC2secA-B2→t9，

cotA2tanB-C2+cotB2tanC-A2+cotC2tanA-B2→t10，

cotA2secB-C2+cotB2secC-A2+cotC2secA-B2→t11。

五、結(jié)語

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人工智能在某些領(lǐng)域產(chǎn)生了深刻的影響。但人工智能應(yīng)用于中小學(xué)教育，仍處于起步階段，有待于進(jìn)一步探索。

從宏觀上來說，隨著教育部相關(guān)課程標(biāo)準(zhǔn)的制定，全國各地也出版了人工智能與教育應(yīng)用的教材，其內(nèi)容五花八門。在中小學(xué)階段，進(jìn)行人工智能相關(guān)研究，有助于學(xué)生應(yīng)對(duì)智能時(shí)代的變革和挑戰(zhàn)，也是國家培養(yǎng)高科技人才的迫切需要。筆者認(rèn)為，對(duì)于條件比較好的學(xué)校，可以嘗試開設(shè)機(jī)器人、無人機(jī)等課程。而對(duì)于條件一般的學(xué)校，考慮到師資力量、學(xué)生課時(shí)、升學(xué)壓力等因素，建議學(xué)校可將人工智能的研究與具體的中小學(xué)學(xué)科教學(xué)研究結(jié)合起來，譬如嘗試與數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)合起來，有助于培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維，這樣花費(fèi)的時(shí)間少，但取得的效果可能更加明顯。

從微觀上說，人工智能教育應(yīng)用的時(shí)代還沒有真正來臨。雖然人工智能已經(jīng)有一些研究，也有希望應(yīng)用于教學(xué)，但離實(shí)際落地還有一定距離。以應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)研究而言，本文所述只是眾多應(yīng)用中的幾個(gè)小案例而已，所述智能技術(shù)只是統(tǒng)稱，目前大多數(shù)還是以算法形式散落在學(xué)術(shù)期刊，并沒有形成可直接使用的軟件。要將這些算法一個(gè)個(gè)編程實(shí)現(xiàn)，開發(fā)為可供中小學(xué)老師簡單操作的軟件，還有很長的路要走。如果能將人工智能數(shù)學(xué)應(yīng)用做成

典型，加強(qiáng)科學(xué)規(guī)范管理，形成體系化、結(jié)構(gòu)化的案例集和資源庫，然后以點(diǎn)帶面，帶動(dòng)其他學(xué)科，將有助于推進(jìn)人工智能在中小學(xué)教育應(yīng)用和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]TURING A M. Computing machinery and intelligence[J].Mind，1950（236）：433-460.

[2]吳軍.智能時(shí)代：大數(shù)據(jù)與智能革命重新定義未來[M].北京：中信出版社，2016.

[3]陳宗周.AI傳奇：人工智能通俗史[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2018.

[4]馬玉慧，柏茂林，周政.智慧教育時(shí)代我國人工智能教育應(yīng)用的發(fā)展路徑探究：美國《規(guī)劃未來，迎接人工智能時(shí)代》報(bào)告解讀及啟示[J].電化教育研究，2017（3）：123-128.

[5]吳砥，饒景陽，王美倩.智能教育：人工智能時(shí)代的教育變革[J].人工智能，2019 （3）：119-124.

[6]張景中，彭翕成.數(shù)學(xué)教育技術(shù)[M].北京：高等教育出版社，2009.

[7]張景中，彭翕成.自動(dòng)推理及其在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2008（4）：1-5.

[8]吳文俊.吳文俊論數(shù)學(xué)機(jī)械化[M].濟(jì)南：山東教育出版社，1996.

[9]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等譯.上海：上海教育出版社，1995.

（責(zé)任編輯：陸順演）