從建華 王芳

摘 要：概念教學(xué)其實(shí)就是學(xué)生了解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的起步階段，就好比在生活中我們新認(rèn)識(shí)一位朋友，首先我們需要對(duì)這位朋友的基本情況進(jìn)行了解，譬如性格特點(diǎn)、家庭情況等，這樣才能使我們對(duì)這位朋友進(jìn)行合理的判斷。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)也與之相同，因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念知識(shí)教學(xué)不僅是教學(xué)內(nèi)容中的重要組成部分，也是開展課堂教學(xué)的主要內(nèi)容。學(xué)生只有真正了解及掌握概念知識(shí)后，才能更深層地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)及形成數(shù)學(xué)技能。

關(guān)鍵詞：APOS理論;數(shù)學(xué)概念教學(xué);教學(xué)策略

函數(shù)知識(shí)在高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中不僅是重要教學(xué)內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要教學(xué)依據(jù)。但是，由于函數(shù)概念知識(shí)的抽象、深?yuàn)W，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到種種困難，并且也不能較好地理解函數(shù)相關(guān)知識(shí)。“指數(shù)函數(shù)”在高中階段是學(xué)生接觸函數(shù)的第一步，為在起步階段就為學(xué)生奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，為后續(xù)函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)提供方法和思路。教師和學(xué)生都應(yīng)當(dāng)高度重視，但是實(shí)際情況卻并不理想。學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)系數(shù)、指數(shù)、概念、圖像等知識(shí)不能深刻理解的問題，基于以上情況，就可以應(yīng)用美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基創(chuàng)立的APOS理論為高中指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)提供新的理論支持，以及為教師提供全新的教學(xué)策略。

一、APOS理論概述

APOS理論是由美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基創(chuàng)立的，在APOS理論中其主要分為四個(gè)階段，并且理論組成是由四個(gè)階段的首字母組合形成的。第一個(gè)階段是操作階段（action），第二個(gè)階段是過程階段（process），第三個(gè)階段是對(duì)象階段（object），第四個(gè)階段是圖式階段（schema）。雖然，APOS理論是以上四個(gè)階段整合形成的，但構(gòu)建這四個(gè)階段是需要具有一定思維基礎(chǔ)的。此時(shí)，就可聯(lián)想到皮亞杰的反抽象思維能力，反抽象思維方式與我們現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)思維方式屬于對(duì)立面，并且實(shí)際獲得途徑和來源也并不相同。通常情況下人們?cè)趨⑴c課堂學(xué)習(xí)、實(shí)踐活動(dòng)等，都會(huì)根據(jù)活動(dòng)中呈現(xiàn)的事物或參與收獲經(jīng)驗(yàn)進(jìn)而形成抽象思維，但反抽象思維卻與之相反，它主要是由人們參與活動(dòng)并對(duì)實(shí)際參與情況、任務(wù)、目的等方面結(jié)合于一體后進(jìn)行反思后形成的一種抽象思維方式。

將APOS理論與其他教學(xué)理論對(duì)比分析顯示，其在教學(xué)方式方面存在一定區(qū)別，它其實(shí)是為了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)而創(chuàng)造的理論，因數(shù)學(xué)這門課程具有一定神秘性和深?yuàn)W性，自然數(shù)學(xué)中的大部分概念知識(shí)也都是抽象、深?yuàn)W的。在實(shí)際課堂教學(xué)過程中若直接呈現(xiàn)教材中的數(shù)學(xué)概念知識(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來確實(shí)非常困難，且學(xué)生參與學(xué)習(xí)的興趣也并不高?；跀?shù)學(xué)概念的三個(gè)特點(diǎn)——發(fā)展過程、呈現(xiàn)方式、概念理解等抽象性特點(diǎn)，使得高中數(shù)學(xué)函數(shù)概念課堂教學(xué)效率和效果一直呈下滑趨勢(shì)發(fā)展。而將APOS理論應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)課堂，就可針對(duì)性解決這一問題。

二、基于APOS理論下指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)原則與思路

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)原則

根據(jù)指數(shù)函數(shù)概念這部分知識(shí)的特點(diǎn)，以及綜合各方面的因素在實(shí)施APOS理論時(shí)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)需要以下三方面為主要核心：“教學(xué)設(shè)計(jì)要具有整體性、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)要具有明確性、教學(xué)設(shè)計(jì)要注重培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)?！笔紫龋笖?shù)函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)具有整體性，因APOS理論將教學(xué)設(shè)計(jì)分為四個(gè)階段，但是這四個(gè)階段卻不是互相關(guān)聯(lián)的[1]。這四個(gè)階段知識(shí)會(huì)在教學(xué)設(shè)計(jì)初期根據(jù)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行合理劃分，指數(shù)函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)、應(yīng)用等，然后在具體教學(xué)過程中仍然會(huì)依照知識(shí)本身的發(fā)展順序和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律進(jìn)行授課，同時(shí)也要注意各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的有機(jī)結(jié)合與統(tǒng)一。由此可見，教學(xué)設(shè)計(jì)過程對(duì)于整節(jié)課堂教學(xué)過程的完整性具有重要作用。其次，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要將本節(jié)新知內(nèi)容與APOS理論的四個(gè)階段進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，并根據(jù)實(shí)際內(nèi)容及學(xué)生學(xué)習(xí)情況明確制訂教學(xué)目標(biāo)及任務(wù)，進(jìn)而有效改善學(xué)生學(xué)習(xí)概念性知識(shí)比較困難的情況。最后，在指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)這節(jié)課中，不僅要注重傳授知識(shí)和提高課堂教學(xué)效率和質(zhì)量，還要注重凸顯學(xué)生課堂主體地位，并對(duì)學(xué)生自主探究能力方面進(jìn)行培養(yǎng)與增強(qiáng)，使學(xué)生在參與學(xué)習(xí)過程中可在原有知識(shí)基礎(chǔ)上收獲更多。此外，因指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)具有一定抽象特點(diǎn)，在設(shè)置教學(xué)例題時(shí)還要從易到難進(jìn)行合理過渡。

基于以上幾點(diǎn)原則，教師還可為學(xué)生設(shè)置促進(jìn)提高創(chuàng)新思維和創(chuàng)造性的瞬間活動(dòng)，來提升學(xué)生的創(chuàng)造性和創(chuàng)新思維能力。同時(shí)，活動(dòng)設(shè)置也要貼近日常實(shí)際生活，這樣既有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以幫助學(xué)生在日常生活中進(jìn)行實(shí)踐應(yīng)用。

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)思路

例如：教師在講解“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”這部分內(nèi)容時(shí)，教師首先需要對(duì)學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行了解分析，然后根據(jù)教材內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)與學(xué)生實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)比分析，再進(jìn)行有機(jī)整合教學(xué)設(shè)計(jì)。根據(jù)APOS理論這部分知識(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)會(huì)分為四個(gè)階段：第一階段自然是操作階段，教師依照教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生設(shè)計(jì)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生在情境中實(shí)現(xiàn)操作。情境創(chuàng)設(shè)時(shí)要注重與日常生活實(shí)際進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，這樣既可以簡(jiǎn)化教學(xué)語言的神秘性，也可增進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活的緊密聯(lián)系。這一階段的主要教學(xué)目標(biāo)是根據(jù)學(xué)生參與實(shí)踐應(yīng)用可以寫出函數(shù)關(guān)系式，以及通過對(duì)問題的分析與思考學(xué)生掌握定義域相關(guān)知識(shí)。第二階段，當(dāng)學(xué)生在參與操作階段后仍然保持著較高的學(xué)習(xí)興趣，教師可通過引導(dǎo)的方式讓學(xué)生將指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行抽象處理，進(jìn)而可以根據(jù)所學(xué)知識(shí)來區(qū)分指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)和函數(shù)概念知識(shí)。第三階段，主要是引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)函數(shù)的圖形和性質(zhì)作為對(duì)象進(jìn)行學(xué)習(xí)及掌握，在這一階段教師需要借助信息技術(shù)與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。教師在教會(huì)學(xué)生自己去描繪函數(shù)圖像的同時(shí)，還要利用指數(shù)函數(shù)圖像來進(jìn)行比較大小，為學(xué)生講解指數(shù)函數(shù)定義域相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生在進(jìn)行此部分知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，大部分學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)無法理解的情況，根據(jù)學(xué)生的問題教師就可引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)看作獨(dú)立的對(duì)象，然后再對(duì)指數(shù)函數(shù)圖形與性質(zhì)進(jìn)行探究分析，繼而使學(xué)生在探究分析過后真正理解定義域和值域這部分知識(shí)[2]。第四階段，這一階段也是指數(shù)函數(shù)教學(xué)的整體把控階段。主要教學(xué)重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，將其應(yīng)用于日常生活中便于解決實(shí)際生活中存在的數(shù)學(xué)函數(shù)問題。其次，是學(xué)生在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)這部分知識(shí)后，還可以為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)概念知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、基于APOS理論視角下的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)策

（一）活動(dòng)階段

首先，在參與活動(dòng)過程中要積極引導(dǎo)學(xué)生參與，熟悉具體操作步驟，深刻體會(huì)整個(gè)發(fā)展過程，進(jìn)而對(duì)學(xué)生探究分析和抽象概括能力方面進(jìn)行培養(yǎng)，以指數(shù)函數(shù)的概念為實(shí)例，教師可借助日常生活實(shí)際案例，通過折紙的方式將一張面積為1正方形的紙進(jìn)行平分，并根據(jù)折紙情況提出問題，面積與折紙次數(shù)之間有聯(lián)系嗎？教師設(shè)置此類活動(dòng)，會(huì)促進(jìn)學(xué)生理解在日常實(shí)際生活中到處都是函數(shù)知識(shí)，同時(shí)也會(huì)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和求知欲進(jìn)行有效激發(fā)。

（二）過程階段

在參與實(shí)踐過程這一階段，也可以說是學(xué)生實(shí)操階段。在學(xué)生參與活動(dòng)時(shí)教師可根據(jù)實(shí)操情況設(shè)置相應(yīng)問題，來促進(jìn)學(xué)生及時(shí)根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行反思總結(jié)，這樣也有助于學(xué)生深刻理解概念的精髓所在[3]。進(jìn)而，促使學(xué)生通過實(shí)踐反思后，也可將反思抽象性思維方法應(yīng)用于函數(shù)概念學(xué)習(xí)中。

（三）對(duì)象階段

APOS理論中的對(duì)象階段，這一階段主要引導(dǎo)學(xué)生將某一概念性知識(shí)從心理層面進(jìn)行合理內(nèi)化，將其視為心理對(duì)象繼而進(jìn)行整體操作。比如：在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)時(shí)主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)辨別哪些是指數(shù)函數(shù)，需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)單調(diào)性，最大（?。┲?、奇偶性等進(jìn)行合理區(qū)分，以及求知與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。

（四）圖式階段

在圖式階段，大部分學(xué)生都已經(jīng)對(duì)函數(shù)概念知識(shí)形成一個(gè)整體學(xué)習(xí)框架，對(duì)概念知識(shí)的形成、發(fā)展、運(yùn)用及應(yīng)用過程與其他概念知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別，大致都具有基本范圍。如在指數(shù)函數(shù)概念這部分知識(shí)講解時(shí)，大部分學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的相關(guān)定義、圖像、性質(zhì)等都有一定了解，但是在學(xué)習(xí)圖式階段卻需要一定的時(shí)間，此時(shí)就需要學(xué)生在日后學(xué)習(xí)過程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深入的理解。

四、基于APOS理論下指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)結(jié)果分析

經(jīng)過實(shí)踐論證表明，在APOS理論下進(jìn)行指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)不僅可有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也能提高學(xué)生參與課堂活動(dòng)的積極性，以及對(duì)學(xué)生自主探究能力方面進(jìn)行強(qiáng)化等。

從學(xué)生在操作階段實(shí)際學(xué)習(xí)情況分析來看，學(xué)生一直保持著積極活躍的學(xué)習(xí)狀態(tài)，且在學(xué)習(xí)過程中學(xué)習(xí)知識(shí)都具有濃厚的學(xué)習(xí)興趣。大部分學(xué)生的知識(shí)接受情況比較好，但是因?qū)W生之間存在各種能力差異情況，當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從日常實(shí)際生活建立數(shù)學(xué)模型這方面時(shí)就出現(xiàn)了較大差異。根據(jù)這一情況在日后教學(xué)過程中，若在設(shè)計(jì)指數(shù)函數(shù)模型相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可鼓勵(lì)學(xué)生到實(shí)際生活中進(jìn)行探索發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)。

在過程階段教學(xué)中，學(xué)生已經(jīng)對(duì)概念性知識(shí)有初步了解，但是并沒有完全理解和掌握[4]。因此，教師會(huì)依照學(xué)生實(shí)際情況來為學(xué)生講解辨析指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)，同時(shí)還要合理對(duì)指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)進(jìn)行合理延伸，只有這樣才能為學(xué)生提供既清晰又直觀的內(nèi)容。此外，在日后教學(xué)設(shè)計(jì)鞏固復(fù)習(xí)階段，還需要增加學(xué)生反抽象思維的練習(xí)活動(dòng)，進(jìn)而夯實(shí)學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念產(chǎn)生更深入的理解。

第三階段，對(duì)象階段，主要是對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，并根據(jù)所學(xué)知識(shí)繪制指數(shù)函數(shù)圖像等。若學(xué)生知識(shí)掌握并不扎實(shí)，在學(xué)生進(jìn)行指數(shù)函數(shù)標(biāo)點(diǎn)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)問題，為了避免這一情況出現(xiàn)在教學(xué)中還要增多鞏固練習(xí)，使學(xué)生真正在理解和掌握的基礎(chǔ)上對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行處理。

第四階段，也是學(xué)生最不容易達(dá)到的階段，因?yàn)槌晒Φ谋澈蠖际切枰冻鲂量嗯Φ?，圖式階段也是如此。因此在日后教學(xué)過程中教師可通過梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)的方式，幫助學(xué)生完成圖式階段的建構(gòu)，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力。

結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)學(xué)科指數(shù)函數(shù)概念教學(xué)過程中，將APOS理論作為教學(xué)實(shí)施的核心依托，主要會(huì)將整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)分為四個(gè)階段進(jìn)行。基于此，在將其落實(shí)到具體課堂教學(xué)中是以活動(dòng)階段為導(dǎo)入環(huán)節(jié);然后通過鼓勵(lì)學(xué)生參與活動(dòng)過程進(jìn)而根據(jù)自身感官現(xiàn)象理解進(jìn)行思考分析，當(dāng)學(xué)生在教師多次引導(dǎo)下就會(huì)根據(jù)自身經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)習(xí)和掌握的概念知識(shí)形成各個(gè)階段的不同思考范式。使學(xué)生在不同階段中既可以學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，也可以對(duì)自身思維能力與水平進(jìn)行升華。最終在圖式階段完成指數(shù)函數(shù)概念知識(shí)的學(xué)習(xí)，進(jìn)而促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率和質(zhì)量呈上升趨勢(shì)發(fā)展。

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