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        分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用分析

        2021-10-16 20:39:44朱曉芬
        小作家報·教研博覽 2021年34期
        關(guān)鍵詞:分類討論思想解題教學(xué)運(yùn)用分析

        朱曉芬

        摘要:分類討論思想指的是在數(shù)學(xué)解題過程中,由于問題的特殊性和數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在規(guī)律,答案不具有唯一性,這時就應(yīng)該采用分類討論思想,對于每一種符合題目要求的情況逐一分析,通過分類討論,可以有效地將數(shù)學(xué)問題“化繁為簡”,利用分類思想將困難的問題轉(zhuǎn)化為各個簡單的小問題,不僅能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,還能鍛煉學(xué)生舉一反三的思維能力。

        關(guān)鍵詞:分類討論思想;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué);運(yùn)用分析

        中圖分類號:A 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:(2021)-34-477

        引言

        數(shù)學(xué)學(xué)科的解題方式比較靈活,同一道題可能有多種解題思路,不同題目的解題思路也有可能相同,所以要想采取最合適的方法解決數(shù)學(xué)問題,就要在平時學(xué)習(xí)過程中,注重數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用。分類討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想,在生活和學(xué)習(xí)中的應(yīng)用非常廣泛,能夠幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的體系,對提高學(xué)生思維能力和邏輯能力具有重要意義。分類討論思想可以輔助學(xué)生對知識點(diǎn)的整理,并能夠探索其內(nèi)在規(guī)律,簡化難題,真正做到舉一反三。

        一、利用分類討論思想解決三角幾何問題

        三角形問題也是學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常遇到題型,因?yàn)閹缀沃R的抽象性和邏輯性,學(xué)生在解決這類問題時存在一定的難度。而且因?yàn)閷W(xué)生的空間想象力不足,難以準(zhǔn)確理解此類問題的具體意思,解題思路自然存在偏差。因此,教師在教學(xué)時,需要有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,鍛煉學(xué)生的空間想象力。將分類討論思想方法運(yùn)用到幾何問題解決中,有效幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技能,確保學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率,增強(qiáng)學(xué)生的解題信心。

        例2如圖所示,已知兩條直線l1和l2,以及一條線段AB,兩條直線相交,假設(shè)兩條線段上存在一點(diǎn)P,在什么情況下,能夠滿足△PAB為等腰三角形?解析學(xué)生在求解上述數(shù)幾何問題時,因?yàn)槿狈^強(qiáng)的想象力,在解決問題上存在一定的難度,如果學(xué)生繼續(xù)運(yùn)用傳統(tǒng)的解題方法,可能會導(dǎo)致答案錯誤。因此,教師需要指導(dǎo)學(xué)生正確解決上述問題,首先,教師需要幫助學(xué)生回憶有關(guān)等腰三角形的定義和相關(guān)知識,然后指導(dǎo)學(xué)生利用課堂所學(xué)知識進(jìn)行求解,正確運(yùn)用分類討論思想方法,已知AB為等腰三角形的一條邊,現(xiàn)在需要進(jìn)行分類。首先,假設(shè)AB為等腰三角形的底邊,在此條件下,作線段AB的中垂線,分別與直線l1和l2相交于點(diǎn)P2和P1,此時滿足要求,即△PAB為等腰三角形。繼續(xù)假設(shè),當(dāng)線段AB為等腰三角形的腰時,又需要進(jìn)行分類。首先假設(shè)當(dāng)∠A為頂角時,教師引導(dǎo)學(xué)生利用課堂中與等腰三角形的定義知識,指導(dǎo)學(xué)生作圖.以點(diǎn)A為圓心,線段AB為半徑畫一個圓,和直線l1和l2相交于點(diǎn)P3、P4、P5和P6,即滿足上述題目的要求。當(dāng)∠B為頂角時,同理,以點(diǎn)B為圓心,線段AB為半徑作圓,可得到和直線l1和l2的交點(diǎn)P7、P8、P9和P10,滿足數(shù)學(xué)題目要求,△PAB為等腰三角形。由此可見,學(xué)生在解決初中數(shù)學(xué)三角問題時,應(yīng)當(dāng)正確指導(dǎo)學(xué)生利用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率,確保初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量。

        二、分類討論與圓

        根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的數(shù)量關(guān)系將其劃分為:直線與圓相離、相切、相交這三種位置關(guān)系。這就是使用分類討論思想進(jìn)行幾何知識教學(xué)最常見的例子,通過分類討論,可以較容易的解答與圓相關(guān)的數(shù)學(xué)題。

        例如,在直角坐標(biāo)系中,直線y=(槡3/3)x上有一個圓,半徑為1,圓心P的坐標(biāo)為(2槡3,m),然后,讓圓P沿著直線向斜下方移動,速度為每秒1個單位,問經(jīng)過多少秒后圓P與x軸相切。我們已經(jīng)知道什么是相切了,即直線與圓有且僅有唯一的一個公共點(diǎn).題目說到讓圓P向斜下方移動,那么圓P經(jīng)過移動后,會同x軸相切,此時圓P在第一象限,這是第一種情況,大多數(shù)學(xué)生都能考慮到,但是還有第二種情況,即圓P同x軸相交后,還可以接著向斜下方移動,移動到第三象限時同樣會同x軸相切,以上是教師通過運(yùn)用分類討論思維對題目進(jìn)行的一個綜合分析,接下來就可以給學(xué)生講解具體的解題步驟。題干已經(jīng)給了我們坐標(biāo)和解析式,下一步應(yīng)該將坐標(biāo)代入到解析式中,這樣就得到了m的數(shù)值為2,接下來過點(diǎn)P做一條垂直于x軸的線段,設(shè)這條線段與x軸的焦點(diǎn)為D,那么線段PD的數(shù)值就是m的數(shù)值,為2。將原點(diǎn)O,圓心P以及垂足D相連,我們得到的是一個直角三角形,根據(jù)勾股定理,可以得出線段OP的數(shù)值,角POD為30度,根據(jù)這些信息,可以依次算出兩種情況下的答案,即2秒或者6秒。由于本文并非為習(xí)題參考答案且篇幅有限,具體解題步驟就不再一一贅述。

        在解決初中數(shù)學(xué)中的幾何問題時,教師還可以在分類討論的基礎(chǔ)上,疊加數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式來進(jìn)行教學(xué),這樣就可以將抽象的數(shù)學(xué)理論具象化,增加學(xué)生對知識的理解,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

        三、在函數(shù)解題中的應(yīng)用

        初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,函數(shù)問題占據(jù)著很大一個比例,也是考試難點(diǎn)之一.但學(xué)生在分類討論時,經(jīng)常會考慮不周。例如求解有關(guān)x的函數(shù)問題:y=ax2+2x+3,若a為常數(shù),則保證函數(shù)圖像和x軸存在一個交點(diǎn)時,a的取值是多少.其實(shí)這道題的本質(zhì)考察的就是分類討論思想,由于對二次函數(shù)概念理解的不準(zhǔn)確,很多學(xué)生看到這種題就會走入一個誤區(qū),直接將該函數(shù)看做二次函數(shù),但二次函數(shù)的定義必須保證a不為0,所以這道題目的難點(diǎn)就在于a是否為零。

        作為比較經(jīng)典的題目,可以在初步講授分類思想時,當(dāng)作例題講給學(xué)生聽,首先要讓學(xué)生準(zhǔn)確的對課本概念進(jìn)行記憶,明白一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別,其次就是觀察參數(shù)所在的位置,當(dāng)參數(shù)處在比較特殊的位置時,一定要特別注意,最后通過分類討論的思想,對題目進(jìn)行分類討論,主要需要考慮的有兩類,參數(shù)a為0和不為0的情況,通過詳細(xì)的分析就能快速準(zhǔn)確的將題目解答出來。

        結(jié)束語

        綜上所述,分類討論思想作為重要的解題思路,不是通過幾節(jié)課的講述就掌握的,這需要教師在日常教學(xué)過程中,不斷進(jìn)行指導(dǎo),使這種思想逐漸滲透到學(xué)生的解題過程。所以,初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須加強(qiáng)分類討論思想的灌輸,并不斷培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和解題的周密性,為討論過程打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,從而提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。

        參考文獻(xiàn)

        [1]王曉玲.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].理科愛好者(教育教學(xué)),2020(03):99+101.

        [2]但雪蓮.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].新課程(中學(xué)),2019(05):63.

        [3]朱華梅.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的運(yùn)用探究[J].考試周刊,2018(95):101.

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