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        多維關(guān)聯(lián)啟發(fā),應(yīng)用替換突破

        2021-10-02 12:43:43謝永
        高考·上 2021年8期
        關(guān)鍵詞:不等式教學(xué)案例高中數(shù)學(xué)

        謝永

        摘 要:為了能夠最大限度提升高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)實效性,本文通過對高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)案例進行分析,充分發(fā)揮多維關(guān)聯(lián)啟發(fā)的作用,讓學(xué)生的思維能夠在應(yīng)用替換的過程中得到突破,有效提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

        關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);不等式;教學(xué)案例

        在高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容選取合理的教學(xué)方法,充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的興趣,引導(dǎo)學(xué)生打破常規(guī)的教學(xué)思想,全面踐行新課程深化改革的要求,從而達到強化高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)實效性的目的。

        一、明確課程改革標(biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確把握三維目標(biāo)

        不等式的教學(xué)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的重要組成部分,所以強化高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)具有重要的意義。其中,因為不等式教學(xué)中所涉及的證明法具有靈活多變性,需要學(xué)生在掌握的過程中準(zhǔn)確把握相關(guān)的技巧性,所以導(dǎo)致部分學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中無法將掌握的技巧應(yīng)用到解題過程中。為了能夠更好地解決這個問題,教師便可以在日常的教學(xué)過程中明確課程改革標(biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確把握三維目標(biāo),將不等式內(nèi)容所具備的“淡化特殊技巧,強調(diào)通式通法”的特點充分凸顯出來,合理的設(shè)計一些具有較強技巧性的不等式恒等變性的案例,有效拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思路,促使學(xué)生準(zhǔn)確把握不等式的實際應(yīng)用價值,讓學(xué)生明白不等式與我們實際生活的聯(lián)系,從而為強化學(xué)生的數(shù)學(xué)水平奠定堅實的基礎(chǔ)。

        二、尊重學(xué)生的主體地位,加強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

        當(dāng)前高中數(shù)學(xué)新課程深化改革背景下積極倡導(dǎo)學(xué)生主動、勇于探索的學(xué)習(xí),讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力在自主探究的過程中得到提升,有效增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。因此,在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中,教師應(yīng)該積極轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)方法,充分凸顯出教師“導(dǎo)課”的精準(zhǔn)性,更好地體現(xiàn)出學(xué)生“學(xué)”的顯效性,從而最終實現(xiàn)教學(xué)相長的目的。同時,由于高中數(shù)學(xué)既是基礎(chǔ)教育的重要組成部分,又是引導(dǎo)學(xué)生向高等教育學(xué)習(xí)過渡的重要階段,所以課程教學(xué)內(nèi)容在設(shè)置的過程中必須充分展現(xiàn)出教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和發(fā)展性。例如:在“兩個正數(shù)的均值不等式”這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程中,教師可引導(dǎo)學(xué)生采取類比分類的方法進行歸納,自主猜想三個證書的均值不等式和n個正數(shù)的均值不等式主要表達的形式是怎么樣的呢?通過采取設(shè)問的方式來引導(dǎo)學(xué)生主動投入到數(shù)學(xué)課堂中,充分凸顯出學(xué)生在數(shù)學(xué)不等式課堂學(xué)習(xí)中的主體地位,有效增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。這種方法在應(yīng)用的過程中不但能夠降低教師的教學(xué)負(fù)擔(dān),而且還能夠讓學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力得到提升,促使學(xué)生深入感受到數(shù)學(xué)知識點的魅力。尤其是部分在數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)過程中感覺困難的學(xué)生,教師便可以指導(dǎo)他們在數(shù)學(xué)課堂中積極思考:“我能在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)習(xí)到所需要的數(shù)學(xué)知識嗎?我的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是否能夠通過數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)得到發(fā)展呢?數(shù)學(xué)對于我們的實際生活是否有價值呢?”老師在選取教學(xué)內(nèi)容的過程中需盡量為學(xué)生構(gòu)建共同的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),適當(dāng)在課堂教學(xué)中留白,讓學(xué)生能夠根據(jù)自己的實際情況去選取數(shù)學(xué)知識進行探究,為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平創(chuàng)造良好的條件。

        三、指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察,大膽進行假設(shè)

        在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中,教師可合理的使用教學(xué)語言來引導(dǎo)學(xué)生表達情緒,促使學(xué)生將注意力快速集中到數(shù)學(xué)課堂中,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)情緒在釋放時能夠與教師的教學(xué)內(nèi)容形成共鳴,以此調(diào)動起學(xué)生學(xué)習(xí)不等式內(nèi)容的積極性和主動性。同時,教師通過指導(dǎo)學(xué)生進行典型例題分析,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察題干所設(shè)計的條件和問題,讓學(xué)生大膽的進行猜測,以便能夠找到不等式內(nèi)容的解答思路。

        例如:已知,請學(xué)生們通過證明是否存在。

        例題解析:這道例題在解答過程中的難點并不是不等號左側(cè)第三項,可根據(jù)題干的條件,明確了解和均大于0,而第三項大于0.因此,在解答的過程中只需要證明前兩項的和大于第三項絕對值,便能夠得出答案。

        因此,可將的證明替換為,并采取通分、化簡、消除分母的形式演變?yōu)樽C明。當(dāng)證明到這一步的時候,學(xué)生便能夠輕松的開展下面的證明過程。根據(jù)這個題型的解答過程,能夠清晰地發(fā)現(xiàn)仔細(xì)觀察各項之間的關(guān)系,便能夠在原有不等式較為復(fù)雜的情況下采取簡單化的方式進行原本復(fù)雜的論證,并通過結(jié)果替換來進行更加容易理解的證明關(guān)系,從而得出解答結(jié)果。

        四、立足于基本不等式,指導(dǎo)學(xué)生掌握解答技巧

        在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中,其基本不等式的內(nèi)容較容易出現(xiàn),這也是當(dāng)前高考中主要涉及的知識,如定義域、值域、面積等。因此,高中學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過程中必須準(zhǔn)確掌握基本不等式的特點,這樣才能夠避免在解題的過程中出現(xiàn)問題。例如:在解答基本不等式,已知實數(shù),則的最大值為多少?我們應(yīng)該令得,。

        所以

        當(dāng)且僅當(dāng)即a=b時取等號。所以最大值為。

        通常學(xué)生在解答上述不等式案例的過程中存在著一定的難度性,其主要原因是這個練習(xí)題的重要就是讓學(xué)生學(xué)會處理齊次分式的處理方式,以及基本不等式在解決最值問題中對于核心之一“積定和有最小值;和定積有最大值”的理解及構(gòu)造轉(zhuǎn)化。因此,學(xué)生在解答這個題目的過程中,可通過分析題干中的條件將分母進行整體的代換、拆分,從而構(gòu)造出積定的形式求出最大值。其中,整體代換(換元)是這種類型練習(xí)題解答過程中較為常見的方法,一是引導(dǎo)學(xué)生思考齊次分式的結(jié)構(gòu)形式可以進行如何的改變,再以此作為基礎(chǔ)實現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式的變化得到積定的形式;二是設(shè)置目標(biāo)函數(shù)的最值的求解基于基本不等式,讓練習(xí)題的針對性和探索性的特點能夠充分凸顯出來,并在解答的過程中以分式的相關(guān)知識點作為主要的切入口,明確基本不等式在解決最值問題中的基本結(jié)構(gòu),這樣便能夠非??焖俚牡贸鼋Y(jié)果。

        五、合理應(yīng)用計算公式,對應(yīng)采取換元策略

        在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中,當(dāng)教師在進行上一個題型的總結(jié)之后,便可以靈活的采取教學(xué)語言來回顧固定的公式,尤其是自變量或者是因變量存在的約束條件的公式,讓已學(xué)內(nèi)容能夠與現(xiàn)學(xué)的內(nèi)容之間建立起一定的關(guān)聯(lián)性。同時,教師還可以緊密結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況引出經(jīng)典的例題,指導(dǎo)學(xué)生深入分析一些公式存在的相似之處,再進行對應(yīng)換元,便能夠幫助學(xué)生更好地掌握這種類型題目的解答方法。

        例如:已知有實數(shù)x,y,存在,如果x+y+m>0這個不等式恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍。

        針對這個例題在解析的過程中,學(xué)生可通過題干的條件明確m值的取值范圍,再準(zhǔn)確進行x和y的取值范圍,并通過掌握x,y之間的關(guān)系,這樣如果直接進行求解的難度性較大。因此,當(dāng)暫時無法找到對應(yīng)的公式時,則可以適當(dāng)?shù)貙⑸鲜龅墓竭M行變形:

        上述的式子在通過變形之后便能夠得出兩個數(shù)的平方的和等于1,便能夠?qū)⒙?lián)合起來,再設(shè)。這樣便能夠根據(jù)正弦值、余弦值的取值范圍為[-1,1],從而求出x,y的取值范圍。

        本題的解答過程非常明確,即學(xué)生通過對問題進行觀察分析,建立靈活的思維方式,再無法從以往公式的關(guān)系中找出對應(yīng)的公式時,則需要將對應(yīng)的公式進行變形。同時,還需要充分利用公式對變量的約束條件來進行題干求解,讓整個數(shù)學(xué)的求解過程能夠更加的簡化,以此幫助學(xué)生在正確解題的過程中掌握不等式的相關(guān)知識點。

        六、巧妙引入不等式求解數(shù)學(xué)思想,增強學(xué)生的解題能力

        在高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中,函數(shù)、不等式、數(shù)列、集合都是非常重要的組成部分,而數(shù)學(xué)思想則主要涉及分類討論、函數(shù)和方程思想等內(nèi)容;數(shù)學(xué)方法則主要包括了換元法、歸納法和反證法等內(nèi)容。當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)過程中,在初步理解了相關(guān)數(shù)學(xué)知識點之后,再根據(jù)解題的實際需求選取合理的數(shù)學(xué)思想和方法,這樣便能夠讓學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題。

        例如:假設(shè)函數(shù),當(dāng)a>0時,試求:。

        解析:,也就是,計算得出:,,這時常數(shù)a>0,便可以將原不等式轉(zhuǎn)變一下形式,得出:

        ∴當(dāng)0

        得出:,當(dāng)a≥1是,其解集為{X|X≥0}

        通過對這個數(shù)學(xué)問題的題干進行分析之后,當(dāng)學(xué)生理解了題意時,便可以根據(jù)解題需要選取合適的數(shù)學(xué)思想和方法,有效提升高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的實效性。尤其是現(xiàn)代信息教育技術(shù)快速發(fā)展的背景下,通過立足于不等式求解的數(shù)學(xué)思想進行解答,便能夠有效增強學(xué)生的不等式知識的運用能力。

        七、采取數(shù)形結(jié)合的方法,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

        將數(shù)形結(jié)合的方法與傳統(tǒng)課堂教學(xué)方法相比較,更能夠吸引學(xué)生將注意力快速投入到課堂的學(xué)習(xí)過程中,對拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維具有重要的意義,能夠為學(xué)生后期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識奠定堅實的基礎(chǔ)。其中,當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)習(xí)題的解答過程中遇到問題或者是不會解答的題目時,可直接放棄或者是跳過,再采取數(shù)形結(jié)合的思維來進行數(shù)學(xué)問題審視,以便學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確的掌握數(shù)學(xué)知識,并在不斷學(xué)習(xí)的過程中逐步建立起完整的數(shù)學(xué)知識體系。

        例題:在求解x2-x-2>0(x<0)時,其一元二次不等式x2-x-2>0(x<0)所對應(yīng)的一元二次方程x2-x-2=0,這樣方程式通過求解,便能夠得出x1=-1、x2=2。其中,一元二次方程式x2-x-2=0所對應(yīng)的二次函數(shù)x2-x-2>0(x<0)的圖象與x軸之間存在著兩個交點,即P1=(-1,0),P2=(-2,0)。這樣一元二次方程x2-x-2=0的方程根所對應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸之間的交點橫坐標(biāo)。這樣在解答的過程中便可以根據(jù)函數(shù)y=x2-x-2的圖,而函數(shù)y=x2-x-2的圖像上的點M(x,y)的性質(zhì)如下:

        根據(jù)解答之后,得出不等式x2-x-2>0(x<0)的解集為()

        通過采取數(shù)形結(jié)合的方法,能夠讓學(xué)生更加快速的得出答案,促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到拓展,從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        結(jié)束語

        在高中數(shù)學(xué)不等式內(nèi)容的教學(xué)過程中,通過指導(dǎo)學(xué)生建立多維度的解題思路,找到準(zhǔn)確、簡便的解答方法,總結(jié)和歸納不等式知識的解題方法和替換技巧,有利于提升高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)實效性,有效增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        參考文獻

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