鄧任群

摘 要：數(shù)學概念課獲取知識清楚數(shù)學概念的前世今生懂應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：概念素材;概念形成;概念本質(zhì);概念外延;應(yīng)用

歷經(jīng)高三復習的洗禮，有部分學生的數(shù)學水平仍達不到應(yīng)有的高度。其原因錯綜復雜，主因是高一、高二的概念教學急功近利，概念教學變成知識教學，題型教學，死記硬背代替理解，缺失概念的生成過程，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)被扼殺于搖籃之中。數(shù)學概念是數(shù)學理論的核心和精華，理解和掌握數(shù)學概念是提高教學質(zhì)量和教學水平的關(guān)鍵。數(shù)學概念課是數(shù)學教學的核心，新教材高度重視對概念的編寫。新教材的數(shù)學概念課，體現(xiàn)“概念素材—概念形成—概念本質(zhì)—概念外延—強化應(yīng)用方向”的學習過程。

一、合理應(yīng)用新教材的概念素材提高概念課效率

有些教師講概念課單刀直入;有些教師濫用情景;最終學生只獲取知識點，數(shù)學素養(yǎng)缺失。概念課選取的素材要貼近學生實際水平，通過閱讀教師所給的概念素材，獨立思考之后能明白概念的由來。我們選取的素材要與所教概念密切相關(guān)且學生熟悉。通過看這些親切易懂的素材，引發(fā)學生“探究”的沖動，然后“情不自禁”的投入學習中，探討概念的生成過程。新教材中的素材就是很好的材料，我們老師要認真閱讀新教材，選取合理的切入點，恰當補充，組織合適的語言，設(shè)計合理有效的提問。新教材的概念素材大概分為三類：

（一）全新的概念

全新概念的界定：與已學知識關(guān)聯(lián)很少或沒有關(guān)聯(lián)的概念，表現(xiàn)為公理型或定義型的概念。新教材對于全新的概念一般都從“為什么要學習這個知識點？”的角度出發(fā)，再通過類比素材感受到學習概念的必要性和合理性，然后直接給出概念，讓學生留下清晰深刻準確的第一印象。如：新教材引入弧度制的概念素材：“度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制度，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同的單位制。不同的單位制能給解決問題帶來方便。角的度量是否也能用不同的單位制呢？”這樣的素材讓學生很自然的接受“弧度制”。

（二）初高中一體化的概念

我們站在數(shù)學知識連貫性的角度去看，初高中一體化的概念是指用初中已學知識能類比、歸納概括推導出高中的知識。對于這類型的概念我們要給的素材是提供初中與新學概念密切相關(guān)的知識作為概念素材，讓學生去回顧、觀察、交流，概括出新的知識。如：一元二次不等式的解，我們要解決這個概念，給學生提供初中的一元一次函數(shù)和一元一次不等式的解的關(guān)系，畫一元二次函數(shù)圖像，求一元二次方程的根。根據(jù)以上素材，類比一元一次函數(shù)與一元一次不等式的解的關(guān)系，學生很自然的推理出一元二次不等式的解。還讓學生體會到用函數(shù)的觀點去統(tǒng)一方程與不等式的數(shù)學思想方法。

（三）同章節(jié)一體化的概念

同一章節(jié)的概念大多具有前后關(guān)聯(lián)的嚴密邏輯推理關(guān)系。重視問題導向，積累豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗，增強學生發(fā)現(xiàn)問題及主動解決問題的能力。在章頭的概念已經(jīng)學習的基礎(chǔ)之上，設(shè)置富有啟發(fā)性的問題作為概念的素材，讓學生根據(jù)提問去自然的探索未知的概念。這樣的素材能學習到新的知識還可以深刻的領(lǐng)悟概念所在的知識體系。如新教材三角函數(shù)這一章書，在學習完三角函數(shù)的定義后，直接拋出問題“根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義，將三種函數(shù)值在各個象限的符號填入圖中的括號”，通過閱讀分析已學的定義，獨立思考就能解決問題。構(gòu)建整章研究思路，層層推進，接下來的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等類推得到。

二、不同類型的概念采用不同的生成側(cè)重點提高概念課效率

數(shù)學概念的教學要獲取概念知識，要獲取概念背后的思維、方法。數(shù)學六大核心素養(yǎng)是在概念的形成過程中自然而然的落地生根。不同類型的概念有不同的側(cè)重點，采用符合概念公式認識特征規(guī)律的教學方式，方能提高課堂效率。

（一）全新的概念類比、感知概念引入的合理性

公理型和定義型的概念，是一種直接承認或接受的知識。如何讓學生樂意接受并得到準確的認識概念是解決這種類型概念的核心？用概念素材讓學生感到這個概念產(chǎn)生的合理性，再用各種正面例子、類比中感知和準確認識概念，逐步歸納概括概念。如：復數(shù)概念的生成。首先拋出問題“如何解決判別式小于零時實系數(shù)一元二次方程解的問題？”明白復數(shù)引入的必要性。類比為了解決正方形對角線長度和x2-2=0無有理數(shù)根的問題，就在有理數(shù)的基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把有理數(shù)集擴充到實數(shù)集。按照這個思想，我們引入一個新數(shù)i，并規(guī)定i2=-1，這樣就解決了方程x2+1=0無實數(shù)根的問題。再類比實數(shù)集擴充的過程，水到渠成的得到復數(shù)的概念。

（二）推理型概念重知識體系的內(nèi)在發(fā)展和歸納概括

初高中一體化的概念和章節(jié)一體化的概念都是推理型的概念。推理型的概念要關(guān)注知識體系中內(nèi)在發(fā)展的邏輯推理關(guān)系構(gòu)建整章研究思路，層層推進。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算;合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論。[2]如：線面垂直的定義：直線與平面的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面垂直。直線與平面垂直，是直線與平面相交的特殊情況。選能形象生動體現(xiàn)線面垂直的生活實例，讓學生直接感知直線與平面垂直這種關(guān)系，讓學生頭腦中留下直面與平面垂直的直觀形象。通過影子實驗，即在陽光下觀察垂直與地面的旗桿及其在地面的影子，隨時間的變化，影子圍繞旗桿與地面的交點轉(zhuǎn)一圈，但是旗桿的影子始終與旗桿垂直。提出平面內(nèi)不過交點的直線是否與旗桿垂直？根據(jù)異面直線所成角的求法，地面不過旗桿與地面交點的直線可以平移到過交點，并于其中一條影子重合，這樣就歸納概括抽象出直線與平面垂直的定義。通過概念原型例子，逐步歸納出定義型的概念，數(shù)學概念的教學讓概念與思維同行，知識與能力同步提升。

三、掌握概念本質(zhì)拓展概念外延提高概念課效率

一個概念完整的理解包括本質(zhì)和外延。本質(zhì)是指辨析概念，外延是指概念體現(xiàn)的各層含義。概念的本質(zhì)隱含了概念的外延，概念的外延加深概念的本質(zhì)的理解。掌握了概念的本質(zhì)和外延才算是真正意義上理解概念，理解了概念，才能記住概念并能運用自如。

（一）逐字逐句斟酌概念的本質(zhì)特征

仔細閱讀教材中的概念，甚至要逐字逐句的去斟酌感悟，再琢磨每個關(guān)鍵字，慢慢領(lǐng)悟概念所蘊含的簡明扼要的本質(zhì)特征。如：三角形的正弦定理，在三角△ABC中角A、B、C所對的邊分別為a、b、c則有。正弦定理說的是角與對邊的比值關(guān)系，知道角與對邊再加一邊或一角就符合正弦定理。斟酌發(fā)現(xiàn)，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC用來邊化角，sinA=，sinB=，sinC=用來角化邊。這樣我們就得到正弦定理的整體理解，從容的解決各種用到正弦定理解決問題的題目。舉例：在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=sinAcosC，且a=2，求△ABC面積的最大值為？此題的精彩之處在于化簡到bcosA=sinB遇到瓶頸，感受到正弦定理角與對邊的本質(zhì)就會寫，想到，得到tanA=，整道題有種茅塞頓開的感悟，充滿了解題的自豪感和幸福感。典例加速對概念本質(zhì)的理解，理解概念的本質(zhì)提高解題的速度。

（二）等價表達、特殊化、逆向表達拓展概念的外延

概念本質(zhì)是概念本身特征的理解，想把概念理解得通透還要拓展概念的外延。等價表達概念、概念范圍特殊化、逆向表達概念去拓展概念的外延，達到觸類旁通、舉一反三的功效。比如：函數(shù)單調(diào)性“函數(shù)f（x）的定義域為I，定義域I內(nèi)某個區(qū)間D，若且都有f（x1）

例：設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

解：f（x）是偶函數(shù)，在[0，+∞）是增函數(shù)，所以

快速簡潔解決問題。

四、概念納入知識體系思維導圖強化應(yīng)用意識提高課堂效率

李士锜認為：“學習一個數(shù)學概念、原理、法則，如果在心理上組織起適當?shù)挠行дJ知結(jié)構(gòu)，并使之成為個人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡(luò)的一部分，那么就說明是理解了。[3]”章建躍博士說：“要以數(shù)學認識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學知識的發(fā)生過程和理解數(shù)學知識的心理過程為基本線索，為學生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考”。[4]學習概念就是為了認識和解決問題，孤立的概念難堪大用，把新學零散的概念融入知識體系方能發(fā)揮概念的最大功能。解決問題用到具體的概念知識、方法，要從整章的角度建立知識方法認知結(jié)構(gòu)，即以大問題套小問題、以小問題套方法、以方法套具體知識，構(gòu)建層次分明的知識方法思維導圖。把大問題、小問題、方法揉合成一個整體，站在整章的制高點去審視如何解題。

學習概念要明白概念的來龍去脈，概念形成的過程中總結(jié)數(shù)學方法，領(lǐng)悟數(shù)學思想，感受數(shù)學文化;明確概念的本質(zhì)，頭腦中留下簡潔的印象特征;拓展概念的外延去激活思維達到舉一反三的功效;新學孤立的概念融入知識體系，刻畫出思維導圖，發(fā)揮概念快速解決問題的終極目標。

參考文獻

[1]匡繼昌.如何理解和掌握數(shù)學概念的教學實踐與研究[J]。數(shù)學教育學報，2013，22（6）：74—78.

[2]中華人民共和國教育部。義務(wù)教育數(shù)學課程標準（211年版）[M]。北京：北京師范大學出版社，2012

[3]章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生會思考[J]。數(shù)學通報：2013（6）：5-8，封底

[4]李昭平.從等差數(shù)列向等比數(shù)列類比[J]。中學教研（數(shù)學）：2017（10）：27-29