林志輝 陳柯柯

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 反比例 函數(shù)思想 數(shù)形結(jié)合

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第47、48頁。

反比例函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了基本的函數(shù)思想，在數(shù)學(xué)思想層面上對(duì)以前所學(xué)過的許多數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)規(guī)律等進(jìn)行一般化和模型化，對(duì)學(xué)生代數(shù)思維的發(fā)展十分有益。課程標(biāo)準(zhǔn)要求第二學(xué)段的正比例教學(xué)注重表格數(shù)據(jù)分析、圖像分析和關(guān)系式概括，是一個(gè)完整的建模過程。而回顧小學(xué)階段課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)反比例的要求，較為關(guān)注表格內(nèi)數(shù)據(jù)分析與關(guān)系式概括，不要求出現(xiàn)反比例圖像。反比例圖像為一條光滑的曲線，學(xué)生確實(shí)較難通過描點(diǎn)法畫圖得到。但教學(xué)時(shí)反比例真的可以不需要圖像嗎？

一、教材對(duì)比中的數(shù)形需求

橫向?qū)Ρ?個(gè)版本的教材，筆者發(fā)現(xiàn)人教版、蘇教版和浙教版不約而同都提出了字母式和圖像。其他版本教材雖然沒有明確地提出字母式和圖像，但定義描述時(shí)都提到了字母式的雛形。各版本教材不約而同引入了反比例的圖像和關(guān)系式，由此可見引入圖像是有必要的。

進(jìn)一步對(duì)比7個(gè)不同版本的教材，雖然提供的學(xué)習(xí)素材不同，但都是結(jié)合具體情境來認(rèn)識(shí)反比例關(guān)系，有些教材用足一個(gè)素材，有些教材則通過不同的素材比較，來幫助學(xué)生更好地理解反比例，判斷兩個(gè)量是否成反比例關(guān)系。而對(duì)反比例的定義主要分成兩種形式：結(jié)合具體例子和科學(xué)規(guī)范的定義。

因?yàn)橹皩W(xué)習(xí)了正比例，筆者認(rèn)為學(xué)生已經(jīng)有了一定的抽象概括能力，將一個(gè)素材用足，在科學(xué)規(guī)范的定義下，既能幫助學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)有科學(xué)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

二、學(xué)情分析下的數(shù)形需要

反比例函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)完除法、分?jǐn)?shù)、比、方程等數(shù)學(xué)知識(shí)后的綜合與提升。在教學(xué)本堂課前，筆者思索學(xué)生對(duì)于成反比例關(guān)系的兩個(gè)量到底有怎樣的前情認(rèn)知，所以在正式上課之前，進(jìn)行了學(xué)習(xí)單的檢測(cè)（如圖1）。

筆者對(duì)129個(gè)學(xué)生進(jìn)行抽測(cè)，根據(jù)學(xué)習(xí)單，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生能借助圖表發(fā)現(xiàn)簡單的規(guī)律，A中畫面積是12cm2的長方形，20.9%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)“寬變大，長反而變小”，41.9%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)A中長和寬的“積不變”。B中23.3%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)“寬變大，長隨著變小”，46.5%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)“和不變”。由此可見，在學(xué)習(xí)完正比例的基礎(chǔ)上，學(xué)生雖能關(guān)注到兩個(gè)量之間的關(guān)系，但對(duì)于“積不變”的感悟是不深刻的，在量的關(guān)注上還需要教師進(jìn)行引導(dǎo)，因此數(shù)形的引入就顯得十分有必要。

三、數(shù)形結(jié)合下的模型建立

（一）初識(shí)數(shù)形特點(diǎn)，關(guān)注量的規(guī)律

1.探究“學(xué)習(xí)單A”量的規(guī)律

師：課前我們做了一份學(xué)習(xí)單，和你的同伴交流你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，記錄你認(rèn)同的新規(guī)律。

師：你猜她發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律。（如圖2）

生1：寬增加，長減少。

生2：長乘寬的積都是12。

師：為什么長和寬都在變化，而面積一直不變呢？

生：當(dāng)寬乘2時(shí)，長除以2，就是積的變化規(guī)律。

2.對(duì)比“學(xué)習(xí)單B”量的規(guī)律

師：學(xué)習(xí)單B中的長和寬的變化規(guī)律和A中長和寬的變化規(guī)律有什么相同或不同的地方？（如圖3）

生：一個(gè)數(shù)增加，另一個(gè)數(shù)減少，相加所得的和都一樣。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過“畫圖一填數(shù)一找規(guī)律一找異同”4個(gè)步驟探究面積是12cm2的長方形，周長是12cm的長方形?；趯W(xué)習(xí)單A和B的對(duì)比，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生都能用自己的語言結(jié)合圖表發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)單A和B中長和寬變化，學(xué)生的語言雖質(zhì)樸，卻能清晰地表達(dá)出學(xué)習(xí)單A與B中長和寬變化的異同點(diǎn)。通過第一次學(xué)習(xí)單的對(duì)比，學(xué)生對(duì)于兩個(gè)量的變化規(guī)律有了一定的認(rèn)識(shí)，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)反比例知識(shí)埋下了伏筆。

（二）建構(gòu)數(shù)形對(duì)應(yīng)，初步抽象模型

學(xué)生帶著問題自學(xué)課本：

①怎樣的兩個(gè)量成反比例關(guān)系？

②A和B中的兩個(gè)量成反比例關(guān)系嗎？

師：像這樣一個(gè)量增加，另一個(gè)量減少，這樣的兩個(gè)量在數(shù)學(xué)上成什么關(guān)系呢？

師：A表中的兩個(gè)量是否成反比例關(guān)系？小組討論。

生：A表中兩個(gè)量成反比例關(guān)系，因?yàn)橐粋€(gè)量增加，另一個(gè)量減少，且積不變。

師：（如圖4）寬為lcm，長為12cm，寬為2cm，長為6cm，隨著寬增加，長減少，而積始終不變。像這樣的圖像就叫反比例圖像。

師：B中，隨著寬增加，長也減少，所以B中的長和寬成反比例關(guān)系，贊同的請(qǐng)舉手。

生1：對(duì)，因?yàn)橐粋€(gè)量增加，另一個(gè)量減少，所以這兩個(gè)量成反比例關(guān)系。

生2：不對(duì)，雖然它們一個(gè)量增加，另一個(gè)量減少，但是它們的和是6，反比例要乘積一定，所以它們不成反比例關(guān)系。

師：到底怎樣的兩個(gè)量成反比例關(guān)系呢？

師：像這樣寬增加，長減少，長和寬的積一定，我們就說長和寬成反比例關(guān)系。這就是反比例的圖像和關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)學(xué)生經(jīng)過三次對(duì)比，逐步促進(jìn)了對(duì)反比例意義的理解。首先基于學(xué)生自學(xué)，對(duì)比學(xué)習(xí)單和書本課例，初步感悟反比例意義。再通過反比例對(duì)比量的變化規(guī)律，輔以課件呈現(xiàn)圖像對(duì)比，進(jìn)一步對(duì)比量之間的關(guān)系，抽象出關(guān)系式，初步建立反比例模型。

（三）對(duì)比數(shù)形特征，深化比例模型

師：長為6cm，寬和面積成反比例關(guān)系嗎？（如圖5）

生：不是，成正比例關(guān)系。

師：誰能說一說怎樣的兩個(gè)量成正比例關(guān)系？還記得正比例的圖像嗎？比一比。

生：一個(gè)量增加，另一個(gè)量也增加，且商不變，這樣的兩個(gè)量成正比例關(guān)系。

師：都是長、寬、面積，為什么一個(gè)是成反比例關(guān)系，一個(gè)成正比例關(guān)系？正比例和反比例有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生1：寬增加，長減少，乘積不變，所以長和寬成反比例關(guān)系。寬增加，面積也增加，它們的商一定，所以面積和寬成正比例關(guān)系。

生2：相同的是量都在發(fā)生變化，而且值都一樣，不同的是一個(gè)量增加，另一個(gè)量減少，正比例同時(shí)增加或減少，且反比例的積一定，正比例的商一定。

設(shè)計(jì)意圖：能找出正比例和反比例的異同點(diǎn)，正確區(qū)分正比例和反比例。從量的變化規(guī)律、圖像的區(qū)別等人手，進(jìn)一步深化對(duì)于兩種比例關(guān)系的理解，并打通正比例和反比例之間的聯(lián)系。

（四）融匯應(yīng)用數(shù)形，內(nèi)化模型思想

師：（出示圖6）判斷各題中兩種量是否成比例關(guān)系。若成比例，成什么比例關(guān)系？

師：回顧我們課堂中成反比例關(guān)系的兩個(gè)量，你有什么想說的？

生：成反比例關(guān)系的兩個(gè)量相乘的積一定相等。

師：對(duì)于反比例，你腦中留下了什么印象？

（生回答，如圖6）

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在同一情境中，緊抓兩個(gè)量的變化規(guī)律，深入理解成反比例關(guān)系兩個(gè)量的變化，已經(jīng)了解了正比例和反比例以及不成比例之間的異同。在本次對(duì)比中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)在腦中留下反比例的關(guān)系式和圖像，這說明反比例的模型已經(jīng)有了一定的建立。