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        點(diǎn)差法的基本原理及其在高考數(shù)學(xué)中的簡單應(yīng)用

        2021-09-10 07:22:44武增明
        關(guān)鍵詞:圓錐曲線

        武增明

        摘 要:本文給出點(diǎn)差法的基本原理和點(diǎn)差法的簡單應(yīng)用,與同仁及同學(xué)們共饗.

        關(guān)鍵詞:點(diǎn)差法;圓錐曲線;解題研究

        中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)04-0053-03

        一、點(diǎn)差法的基本原理

        在研究直線被圓錐曲線截得中點(diǎn)弦問題時(shí),設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo),并分別代入圓錐曲線方程得兩式,將其兩式相減,可得弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式,這種解題方法叫做點(diǎn)差法.

        如,圓錐曲線mx2+ny2=1(m,n∈R,且m≠0,n≠0,)上兩點(diǎn)P,Q,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),弦PQ的中點(diǎn)

        M(x0,y0),弦PQ的斜率為k,則mx21+ny21=1,①mx22+ny22=1,②

        由①-②,得m(x1+x2)(x1-x2)+n(y1+y2)(y1-y2)=0,又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y1-y2x1-x2=k(x1≠x2),于是mx0+nky0=0,這一等式建立了圓錐曲線弦的斜率與弦的中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式.

        二、點(diǎn)差法的簡單應(yīng)用

        與弦中點(diǎn)相關(guān)的問題有三種,一是平行弦的中點(diǎn)軌跡;二是過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡;三是過定點(diǎn)且被定點(diǎn)平分的弦所在直線方程.其他問題都是由這三類問題衍生出來的.

        1.已知弦中點(diǎn)坐標(biāo)簡求弦所在直線方程

        此類問題是點(diǎn)差法的最基本的簡單應(yīng)用.

        例1 (2002年高考江蘇卷·文理20)設(shè)A,B是雙曲線x2-y22=1上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn).

        (1)求直線AB的方程;

        (2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C,D兩點(diǎn),那么A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓,為什么?

        解 (1)由題意知,直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則有x1+x2=2,y1+y2=4,k=y1-y2x1-x2 .

        由x21-y212=1x22-y222=1

        兩式相減并整理,得 y1-y2x1-x2=2·x1+x2y1+y2,

        所以y1-y2x1-x2=1,從而k=1.

        故直線AB的方程為y-2=1·(x-1),即x-y+1=0.

        (2)解略.

        評注 此問題用常規(guī)方法也易求解,但沒有用點(diǎn)差法來得快.

        2.用點(diǎn)差法簡求軌跡方程

        例2 (2001年春季高考上海卷·文理21)已知橢圓C的方程為x2+y22=1,點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a2+b22≤1,過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn),求:

        (1)點(diǎn)Q的軌跡方程;

        (2)點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

        解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),則有x1+x2=2x,y1+y2=2y.

        由x21+y212=1x22+y222=1

        兩式相減并整理,得y1-y2x1-x2=-2·x1+x2y1+y2,

        所以y1-y2x1-x2=-2·xy,

        又y1-y2x1-x2=b-ya-x,

        從而b-ya-x=-2·xy,即2x2+y2-2ax-by=0.

        故點(diǎn)Q的方程為2x2+y2-2ax-by=0.

        (2)解略.

        3.用點(diǎn)差法簡求圓錐曲線的方程

        例3 (2013年高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ·理20)平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x+y-3=0交M于A,B兩點(diǎn),P為AB的中點(diǎn),且OP的斜率為12 .

        (1)求M的方程;

        (2)C,D為M上兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

        解 (1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則

        x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y1-y2x1-x2=-1,y0-0x0-0=12 .

        x21a2+y21b2=1, ①x22a2+y22b2=1, ②

        ①-②并整理,得b2(x1+x2)a2(y1+y2)=-y1-y2x1-x2,

        所以b2·2x0a2·2y0=1,故b2a2·2=1,即a2=2b2.

        又由題意知,M的右焦點(diǎn)為(3,0),故a2-b2=3.

        因此,a2=6,b2=3.

        所以M的方程為x26+y23=1.

        (2)解略.

        評注此問題若沒有想到點(diǎn)差法,就不易求解了,甚至解不出來.

        4.巧用點(diǎn)差法簡解對稱題型

        一般地,對稱直線、對稱點(diǎn)的題目,用點(diǎn)差法求解較為簡便.

        例4 (1986年高考廣東卷·理4)已知橢圓C:x24+y23=1,試確定m的取值范圍,使得對于直線l:y=4x+m,橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱.

        解 設(shè)橢圓C:x24+y23=1上不同兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)關(guān)于直線l:y=4x+m對稱,線段P1P2的中點(diǎn)為M(x0,y0),則

        x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0=4x0+m,kp1p2=-14.

        x214+y213=1, ①x224+y223=1, ②

        ①-②并整理,得y1-y2x1-x2=-34·x1+x2y1+y2,

        又因?yàn)閗p1p2=-14,

        所以y1-y2x1-x2=-14,

        所以-14=-34·2x02y0,即y0=3x0 .

        由y0=4x0+m,y0=3x0, 解得x0=-m,y0=-3m.

        因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C:x24+y23=1內(nèi),所以x024+y023<1,即m24+9m23<1,解得-21313

        評注 解此類題關(guān)鍵是用了點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件,應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會.

        5.注意中點(diǎn)的構(gòu)造,創(chuàng)造點(diǎn)差法的條件簡解題

        例5 (2016年高考浙江卷·理19)設(shè)橢圓x2a2+y2=1(a>1).

        (1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);

        (2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn),求橢圓離心率的取值范圍.

        分析 (1)略.

        (2)因?yàn)榇藛栴},正面情況較多或正面入手困難,所以想到從反面入手,即運(yùn)用正難則反思想,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1(a>1)至多有3個(gè)公共點(diǎn)的反面是,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1(a>1)至少有4個(gè)公共點(diǎn).而在這里,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1(a>1)的公共點(diǎn)數(shù)不可能是5,6,7,…,n.故而,在這里,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1(a>1)至多有3個(gè)公共點(diǎn)的反面是,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓x2a2+y2=1(a>1)有4個(gè)公共點(diǎn).

        解 (1)略.

        (2)假設(shè)圓與橢圓有4個(gè)公共點(diǎn),則圓與橢圓在y軸左側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)P,Q.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點(diǎn)為M(x0,y0),

        于是x21a2+y12=1,x22a2+y22=1,兩式相減整理,得(x1+x2)(x1-x2)+a2(y1+y2)(y1-y2)=0.

        因?yàn)閤1+x2=2x0,y1+y2=2y0,

        又kAM·kPQ=-1,即y1-y2x1-x2=-x0y0-1,從而x0+a2y0·-x0y0-1=0,

        由x0≠0,得y0=11-a2.

        因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在橢圓x2a2+y2=1內(nèi),所以x02a2+y02<1.

        故x02a2+1(1-a2)2<1,即x02

        又存在x02∈(0,a2)使上式成立,

        所以a2-a2(1-a2)2>0,即a>2 .

        因此,任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1

        評注 (1)命題者(官方)給出的解答計(jì)算量較大,詳見文[4].(2)此問題,解法較多(詳見文[1]),上述解法最簡捷.

        點(diǎn)差法在高考中有著廣泛的運(yùn)用,如:2010年高考,山東卷·文9,新課標(biāo)全國卷Ⅰ·理12,安徽卷·理19;2012年高考,湖北卷·理21;2013年高考,新課標(biāo)全國卷Ⅰ·理10;2015年高考,全國卷Ⅱ·理20,浙江卷·理19;2018年高考,全國卷Ⅲ·理20.

        綜上所述,點(diǎn)差法在各式各樣的題目中均有廣泛的應(yīng)用,同時(shí)作為一種基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方法,它與其它數(shù)學(xué)方法之間有著極大的相關(guān)性,這是我們在解題過程中所不能忽視的,在學(xué)習(xí)點(diǎn)差法的解題過程中要熟練掌握運(yùn)用其它方法,才能夠把數(shù)學(xué)解題思想方法運(yùn)用到解題過程中,來提高解題效率與質(zhì)量.

        參考文獻(xiàn):

        [1]李美君.數(shù)學(xué)“入題”三維度:直接、間接、轉(zhuǎn)換——以2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第19題為例[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2016(11):33-37.

        [2]趙建勛.點(diǎn)差法及其應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)(高中), 2012(12):20-21.

        [3]湯伊靜.淺談點(diǎn)差法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理化解題研究(高中),2019(2):9-10.

        [4]天利高考命題研究中心.2016高考真題(數(shù)學(xué)·理科)[M].拉薩:西藏人民出版社,2016.

        [責(zé)任編輯:李 璟]

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