梅穎穎

摘? 要：以建構(gòu)主義為核心，采用基于問題驅(qū)動(dòng)的“啟發(fā)式 + 探究式”教學(xué)方法，建構(gòu)對(duì)球的體積和表面積新知識(shí)的深刻認(rèn)知. 精心設(shè)置問題鏈及分組探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的思考探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)抽象、從感性認(rèn)識(shí)到理性思考的過渡，形成“生活實(shí)例觀察—數(shù)據(jù)分析—實(shí)驗(yàn)探究—理論證明—公式應(yīng)用”的學(xué)習(xí)閉環(huán). 基于此，通過本節(jié)課進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義;分組探究;問題鏈;數(shù)據(jù)分析

一、教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課的授課內(nèi)容是人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）“球的體積和表面積”，它是在學(xué)生已經(jīng)掌握了柱體、錐體、臺(tái)體等基本幾何體的體積和表面積的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)另一種基本幾何體——球體的體積和表面積，為后續(xù)立體幾何的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用. 球體是一種高度對(duì)稱的基本空間幾何體，也是進(jìn)一步研究空間組合體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)，本節(jié)課內(nèi)容為學(xué)生提供了求解空間幾何體體積和表面積的思想方法，用一課時(shí)的時(shí)間完成.

二、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生具備一定的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)和觀察分析、抽象概括及簡單的歸納推理能力. 同時(shí)，學(xué)生在日常生活中已經(jīng)對(duì)球體有了一定認(rèn)知，這都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ). 在教材中，通過對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體等幾何體的體積和表面積問題的探究和學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)擁有了一定的空間想象能力，但因本節(jié)課內(nèi)容晦澀抽象，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，故采用多媒體輔助教學(xué)，在PPT課件中融入生活實(shí)例、制作多個(gè)動(dòng)態(tài)動(dòng)畫，盡可能形象、直觀地展示，幫助學(xué)生理解本節(jié)課的內(nèi)容.

三、教學(xué)策略分析

本節(jié)課體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，對(duì)讓學(xué)生體會(huì)單元核心思想方法具有重要作用. 教師在教學(xué)過程中堅(jiān)持“厚基礎(chǔ)、精實(shí)踐、重應(yīng)用”的教學(xué)方針，合理安排教學(xué)內(nèi)容，貫徹“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念，為學(xué)生創(chuàng)造循序漸進(jìn)發(fā)現(xiàn)和解決問題的條件，通過小組合作探究，幫助學(xué)生深刻理解球的體積和表面積問題. 具體體現(xiàn)在：小組合作探究的學(xué)習(xí)模式貫穿始終，教師在課堂教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、敢于質(zhì)疑，通過小組合作、交流分享，提升學(xué)生的合作探究意識(shí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 強(qiáng)調(diào)一切以學(xué)生為中心，以提升學(xué)生的認(rèn)知水平、提高學(xué)生的實(shí)踐能力為目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)由被動(dòng)接受向主動(dòng)學(xué)習(xí)、主動(dòng)探究和主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的轉(zhuǎn)變，教師傳授知識(shí)由灌輸向設(shè)計(jì)、引導(dǎo)、協(xié)助學(xué)生學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變，課堂形式由傳統(tǒng)模式向課前延伸、向課后拓展轉(zhuǎn)變.

如圖1所示，在教學(xué)方法上，教師以建構(gòu)主義為核心，采用基于問題驅(qū)動(dòng)的“啟發(fā)式 + 探究式”的教學(xué)方法，依托學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的柱體和錐體的相關(guān)知識(shí)，建構(gòu)形成球的體積和表面積等新的知識(shí). 通過設(shè)置問題鏈及分組探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)的思考探究，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從生活實(shí)例到數(shù)學(xué)抽象、從感性認(rèn)識(shí)到理性思考的過渡. 本節(jié)課的教學(xué)主線是“生活實(shí)例—實(shí)驗(yàn)探究—理論證明—公式應(yīng)用”的學(xué)習(xí)閉環(huán).

四、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)本課時(shí)的內(nèi)容特點(diǎn)和教學(xué)要求，結(jié)合學(xué)生學(xué)情，確定了以下教學(xué)目標(biāo).

（1）在推導(dǎo)球的體積公式的過程中，能用祖暅原理說明球的體積公式的正確性，能說明祖暅原理中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，能用球的體積公式解決問題.

（2）在推導(dǎo)球的表面積公式的過程中，體會(huì)劉徽割圓術(shù)的思想，能用球的表面積公式解決問題.

（3）在探究和推導(dǎo)球的體積和表面積公式的過程中，發(fā)展直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng).

五、教具準(zhǔn)備

多媒體課件，半球、圓柱、圓錐道具（教師自制），橙子，幾何圖霸軟件，屏幕GIF錄制軟件.

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

本節(jié)課以主動(dòng)建構(gòu)為核心，依托學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)掌握的相關(guān)知識(shí)，建構(gòu)對(duì)球的體積和表面積的深刻認(rèn)識(shí)，教學(xué)方法采用基于問題驅(qū)動(dòng)的“啟發(fā)式 + 探究式”教學(xué)方法. 根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)課堂教學(xué)環(huán)節(jié)如圖2所示.

1. 創(chuàng)設(shè)情境

（1）生活舉例.

列舉球的實(shí)例. 在生活中，存在著各式各樣的球，大到地球，小到微觀粒子，球無處不在.

（2）問題引入.

已知標(biāo)準(zhǔn)籃球的直徑為24.6厘米，則制作和使用籃球往往需要考慮以下兩個(gè)問題.

問題1：制作一個(gè)籃球至少需要多少皮革？

問題2：充滿一個(gè)籃球需要多少空氣？

【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生最常見的籃球?yàn)閷?duì)象，將籃球的制作和充氣轉(zhuǎn)化為球的表面積和體積計(jì)算問題，即將生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 借助學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，自然生動(dòng)地引出課題，既提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的生活化.

（3）課前探究任務(wù).

前兩節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)研究了柱體、錐體、臺(tái)體的體積和表面積. 上節(jié)課教師給每個(gè)小組布置了一個(gè)課前探究任務(wù)：大家觀察一下生活中一些常見的球形物體，如圖3所示，并想辦法測(cè)出它們的體積，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

師生互動(dòng)：采取小組分組匯報(bào)的方式進(jìn)行，教師對(duì)其進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié).

預(yù)設(shè)1：學(xué)生最容易想到的方法是排水法，排水法可以測(cè)出各類物體的體積.

預(yù)設(shè)2：部分小組可能會(huì)收集數(shù)據(jù)，并用一些軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，嘗試給出球的體積與半徑之間的函數(shù)關(guān)系式.

【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性. 讓學(xué)生在開放的生活情境中自主探索、親身體驗(yàn)、操作試驗(yàn)、合作交流、積極思考，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，收集、整理數(shù)據(jù)，學(xué)習(xí)和掌握數(shù)據(jù)分析的方法，從而提升數(shù)據(jù)分析的意識(shí)和能力.

問題3：球體是如何形成的？定義是什么？

利用幾何圖霸軟件制作演示動(dòng)畫，如圖4所示，引導(dǎo)學(xué)生回顧球體的定義.

球體是一個(gè)半圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體. 球心決定球的位置，半徑?jīng)Q定球的大小. 我們可以看到，球體是對(duì)稱的，所以要想研究它的體積，只需要研究半球的體積即可.

問題4：球體是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，我們還學(xué)習(xí)過哪些旋轉(zhuǎn)體？

預(yù)設(shè)回答：圓柱、圓錐、圓臺(tái).

【設(shè)計(jì)意圖】引出下一環(huán)節(jié)的實(shí)驗(yàn)探究.

2. 實(shí)驗(yàn)探究

現(xiàn)在每個(gè)小組都有三個(gè)幾何體——底面半徑和高都是R的圓柱，半徑為R的半球，底面半徑和高都是R的圓錐，如圖5所示.

問題5：大家觀察一下這三個(gè)幾何體，它們的體積之間有什么大小關(guān)系？誰的體積最大？誰的體積最?。?/p>

預(yù)設(shè)回答：V圓錐 < V半球 < V圓柱.

問題6：如果把圓柱的體積記為V，那么圓錐的體積是多少？顯然，半球的體積介于它們之間，猜一下，半球的體積有可能是多少？

預(yù)設(shè)回答：V半球 =[23πR3].（學(xué)生基本能夠猜出這個(gè)結(jié)論.）

探究內(nèi)容：各小組用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證猜想是否正確.

探究方式：學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究，其中2 ～ 3個(gè)小組進(jìn)行匯報(bào)、1個(gè)小組進(jìn)行演示.

師：剛剛同學(xué)們分別用數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)探究的方法得到了球的體積公式，大家看這兩個(gè)代數(shù)式，是否一樣？

預(yù)設(shè)回答：我們把π近似取為3.14，那么它們近似相等.

師：數(shù)據(jù)分析和實(shí)驗(yàn)探究都有可能存在誤差，我們能不能從理論上經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理，來證明這個(gè)公式呢？

【設(shè)計(jì)意圖】在上一環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，依托對(duì)材料的觀察，以及學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，不將公式生硬地灌輸給學(xué)生，通過設(shè)置探究問題，讓學(xué)生通過直觀感知和操作確認(rèn)，建構(gòu)對(duì)球的體積的認(rèn)知. 鼓勵(lì)學(xué)生猜想，讓學(xué)生掌握“猜想”的重要學(xué)習(xí)方法. 從猜想入手，先猜后證，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美.

3. 理論證明

（1）祖暅原理.

教師讓學(xué)生觀看介紹祖暅生平和主要成就的微視頻.

祖暅?zhǔn)俏覈麛?shù)學(xué)家祖沖之的兒子，他在5世紀(jì)末提出了祖暅原理，比西方國家提出類似結(jié)論早了一千多年，非常了不起！

祖暅原理的內(nèi)容是：冪勢(shì)即同，則積不容異. 也就是說：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，如果它們被任意一個(gè)平行于這兩個(gè)平面的平面所截，得到的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等，如圖6所示（演示祖暅原理示意動(dòng)畫）.

問題7：現(xiàn)在桌子上有一摞書，我們把它傾斜放置，在這個(gè)過程中，書的體積發(fā)生變化了嗎？為什么？

預(yù)設(shè)回答：這摞書的高度沒有發(fā)生變化;如果用平行于桌面的平面去截這兩摞書，得到的截面面積相等. 只要滿足了這兩點(diǎn)，這摞書的體積就不會(huì)改變.

（2）祖暅原理與球的體積.

由實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn)，半徑為R的半球的體積等于底面半徑和高都為R的圓柱的體積減去底面半徑和高都為R的圓錐的體積.

問題8：如圖7所示，圖中左側(cè)為一個(gè)底面半徑和高都是R的圓柱中挖去一個(gè)同底等高的圓錐以后形成的幾何體，右側(cè)為一個(gè)半徑為R的半球，這兩個(gè)幾何體是否滿足祖暅原理呢？用過半球最高點(diǎn)且平行于半球底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，得到截面面積分別是多少？

預(yù)設(shè)回答：S1 = πR2，S2 = 0，其中S1為平面截左側(cè)幾何體所形成的截面，S2為平面截半球所形成截面.

師：我們用過半球底面且平行于半球底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，得到的截面面積分別是多少？

預(yù)設(shè)回答：S1 = 0，S2 = πR2，其中S1為平面截左側(cè)幾何體所形成的截面，S2為平面截半球所形成截面.

師：這兩個(gè)幾何體之間是否滿足祖暅原理呢？

預(yù)設(shè)回答：這兩個(gè)幾何體不滿足祖暅原理.

問題9：如何調(diào)整才有可能使上述兩個(gè)幾何體滿足祖暅原理呢？

預(yù)設(shè)回答：將圖7左側(cè)的幾何體倒置，如圖8所示，用平行于底面的平面截這兩個(gè)幾何體所得到的截面面積相等，才有可能滿足祖暅原理.

如圖9，利用幾何圖霸軟件制作動(dòng)畫，圖中的兩個(gè)數(shù)值分別是平行于底面的平面截兩個(gè)幾何體所形成的截面的面積.

師：上下平移這個(gè)截面，同學(xué)們觀察這兩個(gè)數(shù)值有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)回答：這兩個(gè)數(shù)值始終相等，也就說明這兩個(gè)截面的面積始終相等.

（3）探究內(nèi)容.

師：從幾何制圖軟件制作的動(dòng)畫中可以看出兩個(gè)幾何體的截面的面積始終相等. 下面同學(xué)們能否試著從理論上證明這兩個(gè)截面的面積確實(shí)是始終相等的？

探究方式：學(xué)生分組進(jìn)行探究驗(yàn)證，其中1個(gè)小組在黑板上板書、匯報(bào).

結(jié)論匯報(bào)：由于截面的任意性，我們發(fā)現(xiàn)用任何一個(gè)平行于半球底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，得到的截面面積始終相等. 這樣，我們就構(gòu)造出了一個(gè)幾何體，它和半球之間滿足祖暅原理，根據(jù)祖暅原理，確定它們的體積相等，也就是說半徑為R的半球的體積就等于底面半徑和高都是R的圓柱的體積減去同底等高的圓錐的體積. 這樣，我們就從理論上證明了剛剛通過實(shí)驗(yàn)得到的球的體積公式.

【設(shè)計(jì)意圖】首先，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是一種心理認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)探究環(huán)節(jié)鋪墊的基礎(chǔ)上，基于祖暅原理，對(duì)球的體積公式進(jìn)行理論證明;其次，將幾何圖霸軟件及屏幕GIF錄制軟件結(jié)合使用，制作了多個(gè)動(dòng)態(tài)演示圖，既滿足了學(xué)生直觀感知的需要，又保證了立體幾何圖形的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范;再次，通過介紹祖暅原理，強(qiáng)調(diào)祖暅原理的提出比西方國家類似結(jié)論的提出早一千多年，旨在增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，為將來繼承和發(fā)展古人智慧和中華民族生生不息的探索精神奠定基礎(chǔ).

4. 合作探究

（1）劉徽割圓術(shù).

問題10：還有別的方法可以推導(dǎo)球的體積公式嗎？大家回想一下，在初中是怎么用劉徽割圓術(shù)來研究圓的面積問題的？

（2）學(xué)生活動(dòng)：切橙子.

師：下面同學(xué)們類比劉徽割圓術(shù)，來分割球體. 現(xiàn)在每個(gè)小組都有一個(gè)橙子，可以將橙子近似看作球體. 大家試著切橙子，要求切完以后得到的各個(gè)部分，可以較為簡單地求出體積的近似值.

活動(dòng)方式：學(xué)生分組進(jìn)行活動(dòng)，其中2 ～ 3個(gè)小組進(jìn)行匯報(bào).

預(yù)設(shè)方案1：學(xué)生先把球體分成兩個(gè)半球，然后用平行于半球底面的平面去分割半球，如圖10所示，把每個(gè)幾何體都近似地看作圓柱，用這些圓柱體的體積之和近似代替半球的體積.

預(yù)設(shè)點(diǎn)評(píng)：當(dāng)分割的份數(shù)n比較少時(shí)，這兩者的體積之間的差異還是比較大的. 如何縮小這種差異呢？（學(xué)生可以想到讓分割的份數(shù)n越來越大.）

師：我們一起思考，當(dāng)分割的份數(shù)n越來越多時(shí)，這些圓柱的體積之和是不是越來越接近半球的體積？

預(yù)設(shè)點(diǎn)評(píng)：當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，這兩者的體積相等，這里面涉及極限的思想. 我們總結(jié)剛剛的過程，先分割，然后取近似，再求和，最后取極限. 其實(shí)這就是微積分的思想方法，有興趣的同學(xué)可以查閱資料，嘗試用這種方法來推導(dǎo)球的體積公式.

預(yù)設(shè)方案2：學(xué)生用經(jīng)線和緯線把球的表面分成很多小的曲面，然后把每個(gè)曲面的頂點(diǎn)和球心連線，這樣就將球體近似地分成了很多個(gè)小的錐體，如圖11所示.

（3）探究內(nèi)容.

經(jīng)線和緯線將球面分割成n個(gè)曲面，這n個(gè)曲面的面積分別記為S1，S2，…，Sn，球的表面積S與S1， S2，…，Sn有什么關(guān)系？

n越大，分割得越細(xì)密，每個(gè)曲面的頂點(diǎn)和球心的連線構(gòu)成的幾何體越接近什么幾何體？其體積可以如何近似求解？列式表示出來.

球的體積V可以如何表示？試著推導(dǎo)出球的表面積公式.

探究方式：學(xué)生分組進(jìn)行探究驗(yàn)證，其中1個(gè)小組在黑板上板書、匯報(bào).

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生已經(jīng)了解劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，本環(huán)節(jié)通過切橙子，讓學(xué)生初步感受到“先分割，然后取近似，再求和，最后取極限”的微積分的思想方法. 探究過程中仍然基于幾何圖霸軟件及屏幕GIF錄制軟件，制作了多個(gè)動(dòng)態(tài)演示圖，直觀形象. 讓學(xué)生再次經(jīng)歷“提出問題—分析問題—解決問題”的形象探究過程，深刻感受球的表面積公式的形成過程.

5. 公式應(yīng)用

問題11：大家觀察球的體積和表面積公式，球的體積和表面積由哪個(gè)量決定？

球的體積和表面積都是以R為自變量的函數(shù).

（1）試著計(jì)算籃球的表面積和體積.

（2）如圖12，一個(gè)圓錐形的容器上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會(huì)溢出容器嗎？（假設(shè)冰淇淋融化前后體積不變.）

【設(shè)計(jì)意圖】通過解決實(shí)際應(yīng)用問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)及能力.

6. 課堂小結(jié)

師：這節(jié)課主要研究了球的體積和表面積問題. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么體會(huì)和收獲？有哪位同學(xué)愿意分享？

師生活動(dòng)：師生共同回顧、梳理、總結(jié).

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生嘗試進(jìn)行知識(shí)小結(jié)，逐步提高學(xué)生自我獲取知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

預(yù)設(shè)結(jié)束語：今天這堂課，老師感到很享受，也很快樂！因?yàn)榇蠹曳e極配合，睿智探索，熱情展示，留下了青春的靚麗和學(xué)習(xí)的精彩！2020年是不平凡的一年，作為中國人，老師深感中華民族一直都是一個(gè)智慧的民族，要對(duì)自己民族的文化充滿自信，更要通過我們的努力、傳承和創(chuàng)新，創(chuàng)造出更加卓越的成果.

7. 作業(yè)布置

（1）必做題：教材第29頁習(xí)題1.3 B組第1題.

（2）選做題：① 如圖13，把球放入一個(gè)正方體的有蓋紙盒中，已知正方體的棱長為a，球的最大半徑為多少？② 如圖14，正方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，已知正方體的棱長為a，則球的半徑為多少？

（3）探究題：查閱資料，試著用微積分的方法推導(dǎo)球的體積公式. 你還能想到其他推導(dǎo)球的體積和表面積公式的方法嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分層布置，設(shè)計(jì)了必做題、選做題和探究題，因材施教，這樣既面向總體又考慮個(gè)體差異，能夠滿足不同學(xué)生發(fā)展的需要，最終實(shí)現(xiàn)全體學(xué)生的學(xué)習(xí)水平在差異狀態(tài)下的共同發(fā)展. 同時(shí)，落實(shí)了將新課程倡導(dǎo)的“數(shù)學(xué)教育要面向全體學(xué)生，實(shí)現(xiàn)人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建躍. 立德樹人與數(shù)學(xué)課程改革：暨“第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)”總結(jié)[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（4）：7-12.