張唯一

摘? 要：統(tǒng)計(jì)是中學(xué)數(shù)學(xué)普遍存在的教學(xué)疑難內(nèi)容.“總體百分位數(shù)的估計(jì)”一節(jié)課為我們提供了統(tǒng)計(jì)教學(xué)的有益啟示：結(jié)合案例學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的概念和方法，經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)概念和方法的形成過(guò)程，通過(guò)生活實(shí)例體現(xiàn)概念和方法的應(yīng)用性，合理利用信息技術(shù).

關(guān)鍵詞：百分位數(shù);數(shù)字特征;統(tǒng)計(jì)

“總體百分位數(shù)的估計(jì)”是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）新增的內(nèi)容，中國(guó)教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“2020年高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與培訓(xùn)活動(dòng)”把它作為指定課題. 從知識(shí)領(lǐng)域來(lái)看，本節(jié)課屬于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容，隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，百分位數(shù)概念的重要性變得越來(lái)越突出. 統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、代數(shù)與幾何、概率等在學(xué)科邏輯上存在很大不同，如立論基礎(chǔ)、推理方法、判斷原則等，這決定了統(tǒng)計(jì)的教學(xué)方式應(yīng)該有別于其他數(shù)學(xué)內(nèi)容. 當(dāng)教師的統(tǒng)計(jì)學(xué)科素養(yǎng)不夠，不能根據(jù)統(tǒng)計(jì)的學(xué)科特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，統(tǒng)計(jì)的教學(xué)就會(huì)變得比較困難. 而本節(jié)課執(zhí)教教師的教學(xué)整體比較流暢、自然，而且比較有“統(tǒng)計(jì)味道”，這與整個(gè)教學(xué)的設(shè)計(jì)較好地抓住了統(tǒng)計(jì)學(xué)科的特點(diǎn)有關(guān). 本節(jié)課還有很多可圈可點(diǎn)的地方，但就統(tǒng)計(jì)的教學(xué)而言，筆者認(rèn)為至少在以下幾個(gè)方面可以為我們的教學(xué)提供啟示.

一、結(jié)合案例學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的概念和方法

通過(guò)案例體現(xiàn)概念引入的必要性. 統(tǒng)計(jì)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，它的概念和方法的產(chǎn)生往往具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)背景. 通過(guò)合適的案例體現(xiàn)概念和方法引入的必要性，符合統(tǒng)計(jì)的學(xué)科特點(diǎn). 因此，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，選擇合適的案例就變得非常關(guān)鍵，除了要體現(xiàn)概念和方法的必要性外，案例的問(wèn)題還要有現(xiàn)實(shí)意義，而且案例的背景最好貼近學(xué)生的生活. 本節(jié)課通過(guò)確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題，體現(xiàn)引入百分位數(shù)這個(gè)數(shù)字特征的必要性. 這是對(duì)教材上一節(jié)居民用戶月均用水量的總體取值規(guī)律估計(jì)的繼續(xù)研究. 在回顧總體取值規(guī)律估計(jì)內(nèi)容的基礎(chǔ)上提出問(wèn)題，使得問(wèn)題的解決具有連續(xù)性，符合教材用一個(gè)案例貫穿相關(guān)內(nèi)容的編寫意圖. 用同一個(gè)案例背景，通過(guò)不同現(xiàn)實(shí)意義的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，引入不同的統(tǒng)計(jì)概念和方法，有利于通過(guò)不同概念和方法的比較，更好地理解各自的統(tǒng)計(jì)含義及特點(diǎn).

結(jié)合案例學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的概念和方法. 與建立在概念和定義基礎(chǔ)上，通過(guò)演繹方式進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)其他分支不同，統(tǒng)計(jì)是建立在數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)歸納方式研究隨機(jī)現(xiàn)象的，需要通過(guò)數(shù)據(jù)分析解決問(wèn)題. 因此，統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)應(yīng)結(jié)合具體案例，以案例為載體學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的概念和方法，避免抽象地定義概念和討論方法，并在問(wèn)題的解決中體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn). 本節(jié)課結(jié)合居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，“使80%的居民用戶生活用水支出不受影響”，在問(wèn)題的解決中了解第80百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義. 在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，類比中位數(shù)的定義，得到一般的第[p]百分位數(shù)的定義.

二、經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)概念和方法的形成過(guò)程

不同的數(shù)字特征刻畫了數(shù)據(jù)的不同統(tǒng)計(jì)特征. 在建立數(shù)字特征概念時(shí)，應(yīng)先結(jié)合案例明確希望刻畫數(shù)據(jù)哪方面的統(tǒng)計(jì)特征，再尋找合適的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行刻畫，這是從統(tǒng)計(jì)直觀到數(shù)學(xué)表達(dá)的過(guò)程. 經(jīng)歷這個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程，不僅有助于理解數(shù)字特征定義的合理性，而且有助于理解數(shù)字特征的統(tǒng)計(jì)含義，也是積累數(shù)據(jù)分析經(jīng)驗(yàn)的需要. 如果只是直接告訴學(xué)生數(shù)字特征定義的形式和計(jì)算的方法，那么統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)就變成純粹的畫圖列表、公式計(jì)算等程序性操作，偏離統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)的重點(diǎn).

百分位數(shù)直觀上比較容易理解，就是把一組按大小排序的數(shù)據(jù)分成100等份后，每一分點(diǎn)處的數(shù)據(jù)，即每個(gè)百分位數(shù)把這組數(shù)據(jù)分成相應(yīng)百分比的兩部分，但不是每組數(shù)據(jù)都能恰好被分成100等份. 為了使得每組數(shù)據(jù)都存在任意的百分位數(shù)，教材中把百分位數(shù)定義為“一組數(shù)據(jù)的第[p]百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有[p%]的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有[100-p%]的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值”. 定義中包含有“至少”“小于或等于”“大于或等于”等表述的多個(gè)不等關(guān)系，使得百分位數(shù)定義及計(jì)算過(guò)程不易理解.

教材上是先讓學(xué)生經(jīng)歷居民用水量標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題的完整解決過(guò)程，了解100個(gè)數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)的直觀含義和計(jì)算方法，再在此基礎(chǔ)上引入一般的第[p]百分位數(shù)定義及計(jì)算步驟，這是從統(tǒng)計(jì)直觀到數(shù)學(xué)化的過(guò)程，但教學(xué)中可能需要增加對(duì)百分位數(shù)定義合理性的解釋. 為了使概念和方法的產(chǎn)生過(guò)程顯得自然，本節(jié)課執(zhí)教教師對(duì)百分位數(shù)的定義和計(jì)算步驟都采用了歸納的方法. 對(duì)于百分位數(shù)的定義，先讓學(xué)生結(jié)合居民用水量標(biāo)準(zhǔn)案例理解中位數(shù)的百分位數(shù)的位置，在此基礎(chǔ)上引出第80百分位數(shù)，歸納得到第[p]百分位數(shù)的初步定義，再通過(guò)舉例“1，2，2，4，5”進(jìn)一步完善定義，明確定義中“至少”的合理性. 對(duì)于百分位數(shù)的計(jì)算，先類比中位數(shù)的求解過(guò)程，求解100個(gè)數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，以及99個(gè)數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，歸納得到百分位數(shù)的一般計(jì)算步驟. 這樣的安排，把百分位數(shù)的定義和計(jì)算分開(kāi)，從教學(xué)環(huán)節(jié)上看相對(duì)比較清楚，但居民用水量標(biāo)準(zhǔn)案例的解決過(guò)程會(huì)顯得不太連貫.

三、通過(guò)生活實(shí)例體現(xiàn)概念和方法的應(yīng)用性

統(tǒng)計(jì)具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，與我們生活的聯(lián)系也非常緊密. 通過(guò)生活中統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例，不僅可以讓學(xué)生了解統(tǒng)計(jì)知識(shí)的廣泛應(yīng)用性，體現(xiàn)所學(xué)概念和方法的重要性，而且還有助于學(xué)生進(jìn)一步理解概念和方法的統(tǒng)計(jì)含義.

本節(jié)課執(zhí)教教師為了讓學(xué)生體會(huì)到統(tǒng)計(jì)與生活的聯(lián)系，在課前布置任務(wù)，讓學(xué)生親自調(diào)查百分位數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用案例，并在課堂上分享交流得到的案例，不僅有利于學(xué)生體會(huì)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的廣泛性，也是在引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界. 在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課執(zhí)教教師展示中國(guó)成人人體尺寸的案例，因?yàn)槿梭w尺寸的各種百分位數(shù)對(duì)于設(shè)計(jì)各種生活用品尺寸（如服裝、家具等）具有重要意義，所以學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)中能切身感知到中國(guó)成人人體尺寸的案例是一個(gè)可以很好地體現(xiàn)百分位數(shù)重要性的實(shí)例.

四、合理利用信息技術(shù)

信息技術(shù)不僅是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的有效輔助手段，也是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)的重要組成部分. 在教學(xué)中合理使用信息技術(shù)，可以把學(xué)生從機(jī)械、煩瑣的數(shù)據(jù)處理中解放出來(lái)，把更多精力集中在對(duì)統(tǒng)計(jì)概念和方法的理解上. 在用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，數(shù)據(jù)處理的工作量太大甚至難以實(shí)現(xiàn)，常常成為使用統(tǒng)計(jì)方法的障礙. 因此，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)使用信息技術(shù)工具處理數(shù)據(jù)非常有必要. 只有學(xué)生會(huì)用信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理不再是困難，學(xué)生才會(huì)更積極主動(dòng)地使用統(tǒng)計(jì)方法去解決實(shí)際問(wèn)題.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)信息技術(shù)在統(tǒng)計(jì)中的使用也提出了明確的要求. 在百分位數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)據(jù)的處理主要來(lái)自百分位數(shù)的求解. 求解百分位數(shù)的過(guò)程并不復(fù)雜，先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，然后確定百分位數(shù)的位置，再確定百分位數(shù)的具體數(shù)值. 當(dāng)數(shù)據(jù)不多時(shí)，百分位數(shù)的求解并不困難，但是當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí)，數(shù)據(jù)的排序就是一個(gè)很大的工程. 因此，在百分位數(shù)教學(xué)中融入信息技術(shù)的教學(xué)就非常有必要. 對(duì)于百分位數(shù)的計(jì)算，本節(jié)課執(zhí)教教師先設(shè)置例1（27個(gè)數(shù)據(jù)），通過(guò)人工排序和計(jì)算的方法，鞏固百分位數(shù)計(jì)算的步驟;再設(shè)置練習(xí)1（200個(gè)數(shù)據(jù)），借助Excel軟件計(jì)算百分位數(shù)，教師先展示計(jì)算75%分位數(shù)，然后由學(xué)生實(shí)際操作計(jì)算95%分位數(shù). 通過(guò)這樣的安排，學(xué)生既了解了百分位數(shù)算法的原理與步驟，又學(xué)會(huì)了用信息技術(shù)工具求解百分位數(shù)，為正確利用百分位數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題打下了基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中. 數(shù)形結(jié)合與數(shù)學(xué)模型：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M]. 北京：高等教育出版社，2018.