摘? 要：從對(duì)“樣本點(diǎn)、樣本空間和隨機(jī)事件的表達(dá)”內(nèi)容本質(zhì)的分析入手，討論相關(guān)內(nèi)容的育人價(jià)值，提出一些教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)現(xiàn)象;有限樣本空間;隨機(jī)事件;數(shù)學(xué)抽象

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）首次引入樣本點(diǎn)和有限樣本空間的概念，為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件提供了工具. 而“有限樣本空間與隨機(jī)事件”是必修概率第一單元的第一個(gè)課時(shí)，是本單元學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).《標(biāo)準(zhǔn)》指出，本單元的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件等概念;通過(guò)計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率，加深對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解;通過(guò)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

作為概率的起始課，涉及很多概念和術(shù)語(yǔ)，主要教學(xué)任務(wù)是結(jié)合具體實(shí)例，抽象隨機(jī)現(xiàn)象的特征，理解樣本點(diǎn)、有限樣本空間、隨機(jī)事件. 重點(diǎn)是抽象有限樣本空間和隨機(jī)事件的概念，落實(shí)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

一、課例教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂展示評(píng)價(jià)

通過(guò)教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂展示，反映出執(zhí)教教師對(duì)內(nèi)容本質(zhì)及教材設(shè)計(jì)意圖理解深刻，教學(xué)目標(biāo)與目標(biāo)解析準(zhǔn)確、具體，具有“導(dǎo)學(xué)、導(dǎo)教、導(dǎo)測(cè)評(píng)”的功能. 在具體教學(xué)過(guò)程中，突出了“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”的主題，以“不同語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，逐步抽象樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件概念的過(guò)程. 在一系列恰當(dāng)問(wèn)題的引導(dǎo)下，采用學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流的方式展開(kāi)教學(xué). 完成了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有幫助.

在引入問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)方面，選擇籃球投籃、到校所需時(shí)間、隨機(jī)摸球等問(wèn)題情境，合理利用信息技術(shù)，歸納、抽象隨機(jī)現(xiàn)象的特征：一次觀測(cè)結(jié)果具有隨機(jī)性，大量重復(fù)觀測(cè)呈現(xiàn)出規(guī)律性. 并讓學(xué)生列舉隨機(jī)現(xiàn)象的例子，概括隨機(jī)試驗(yàn)的特征.

建立試驗(yàn)的樣本空間，用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件，難點(diǎn)是如何描述“樣本點(diǎn)”. 在這一環(huán)節(jié)，通過(guò)設(shè)置具體的隨機(jī)試驗(yàn)，讓學(xué)生嘗試列舉所有可能結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言表述，進(jìn)一步用字母或數(shù)字表示，追求簡(jiǎn)潔并兼顧實(shí)際意義. 結(jié)合練習(xí)讓學(xué)生對(duì)“樣本點(diǎn)”是試驗(yàn)的基本結(jié)果進(jìn)行辨析，有效突破了教學(xué)難點(diǎn).

對(duì)于隨機(jī)事件的概念，在初中是采用描述的方式定義的，從語(yǔ)言描述到用樣本空間的子集表示，思維跳躍大，抽象度高，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn). 在教學(xué)設(shè)計(jì)中，提供簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，圍繞“事件發(fā)生的意義及表示”提問(wèn)題，很好地完成了隨機(jī)事件從直觀描述到用樣本空間的子集表示這一數(shù)學(xué)抽象過(guò)程，并通過(guò)例題的教學(xué)加以鞏固.

二、核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

1. 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)

概率的研究對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象.《標(biāo)準(zhǔn)》沒(méi)有對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)的概念做要求，但它們是概率內(nèi)容中反復(fù)提到的術(shù)語(yǔ)，有必要給出適當(dāng)?shù)拿枋雠c刻畫(huà). 在教材的章前言中，結(jié)合一些具體實(shí)例，給出了隨機(jī)現(xiàn)象的描述. 由于本單元只研究有限個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象，這些現(xiàn)象是指在一定條件下不能事先預(yù)知結(jié)果，一次觀測(cè)結(jié)果的發(fā)生具有隨機(jī)性，但大量重復(fù)觀測(cè)下各個(gè)結(jié)果發(fā)生的頻率都具有穩(wěn)定性的現(xiàn)象.

研究隨機(jī)現(xiàn)象要先觀察其所有可能結(jié)果，我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn). 滿足：可重復(fù)進(jìn)行;所有可能結(jié)果明確可知;每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的隨機(jī)性.

了解隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)的概念，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)研究對(duì)象的特征，建立完整的概念研究路徑. 對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)是在整個(gè)概率學(xué)習(xí)中逐漸加深的，在本課時(shí)的教學(xué)中，可以提供實(shí)例、問(wèn)題引導(dǎo)、學(xué)生思考，以教師的歸納概括為主.

2. 樣本點(diǎn)和有限樣本空間

樣本點(diǎn)的描述與表示是構(gòu)建樣本空間、刻畫(huà)隨機(jī)事件的基礎(chǔ). 樣本點(diǎn)的概念是描述性的，它是隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，樣本空間是全體樣本點(diǎn)的集合. 在具體的隨機(jī)試驗(yàn)中，如何確定樣本點(diǎn)呢？一般遵循的原則是：樣本點(diǎn)不能再細(xì)分;對(duì)古典概型問(wèn)題，則要保證各樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，以便于確定事件的概率.

從包含2個(gè)紅球、3個(gè)白球、4個(gè)黃球的袋子中，隨機(jī)摸出一球. 應(yīng)該看成有9個(gè)樣本點(diǎn)，樣本空間為[Ω=][r1，r2，w1，w2，w3，y1，y2，y3，y4]. 如果看成只有3個(gè)樣本點(diǎn)，顯然不滿足所有樣本點(diǎn)的等可能性.

拋擲2枚骰子，應(yīng)該看成有[6×6=36]個(gè)樣本點(diǎn)，每個(gè)樣本點(diǎn)用有序數(shù)對(duì)來(lái)表示，建立樣本空間[Ω=][m，nm=1，2，…，6，n=1，2，…，6]. 在這個(gè)樣本空間中，所有事件的概率都可以確定. 如果要求“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和為5”的概率，就可以把“點(diǎn)數(shù)之和為[k k=2，3，…，12]”看成樣本點(diǎn)，樣本空間為[Ω=][1，2，…，12]，這對(duì)確定事件的概率沒(méi)有任何作用.

對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)，用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)、列舉樣本空間，既是重點(diǎn)也是難點(diǎn). 不同的隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間的復(fù)雜性有很大的差別. 在教學(xué)中應(yīng)從最簡(jiǎn)單的試驗(yàn)開(kāi)始，經(jīng)歷用語(yǔ)言描述試驗(yàn)的基本結(jié)果，并用符號(hào)表示，進(jìn)而思考更簡(jiǎn)潔的表示，同時(shí)要考慮等可能性.

例如，列舉“拋擲2枚硬幣”試驗(yàn)的樣本空間.

語(yǔ)言描述：兩個(gè)正面朝上，兩個(gè)反面朝上，一個(gè)正面朝上一個(gè)反面朝上，但這3個(gè)結(jié)果不是等可能的. 借助樹(shù)狀圖，容易看出只有看成4個(gè)樣本點(diǎn)時(shí)，才是等可能的.

字母表示：用[h]表示正面朝上，用[t]表示反面朝上，樣本空間包含4個(gè)等可能的樣本點(diǎn)：[tt]，[th]，[ht]，[hh].

數(shù)對(duì)（串）表示：用[1]表示正面朝上，用[0]表示反面朝上，樣本空間[Ω]包含4個(gè)數(shù)對(duì)或數(shù)字串為[Ω=][00，01，10，11].

把簡(jiǎn)單問(wèn)題分析透徹了，對(duì)于較復(fù)雜的試驗(yàn)，按模型歸類(lèi)，即可輕松解決問(wèn)題.

例如，拋擲[1]枚硬幣、觀察新生兒性別、射擊命中與否、產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)是正品還是次品等，這些試驗(yàn)的樣本空間具有相同的結(jié)構(gòu);拋擲[3]枚硬幣、拋擲[3]次骰子、觀察[3]個(gè)元件構(gòu)成的電路是不是通路等，都是3次重復(fù)試驗(yàn)的問(wèn)題. 類(lèi)似地，可以得出[n]次重復(fù)試驗(yàn)的模型.

這里還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：對(duì)于有[2]個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)（伯努利試驗(yàn)），為什么選擇用“0”和“1”表示？原則上，選擇任意[2]個(gè)不同的字母或數(shù)字都可以描述試驗(yàn)的結(jié)果，但采用“0”和“1”表示試驗(yàn)的結(jié)果不僅僅是追求簡(jiǎn)潔，而是有其實(shí)際意義的，會(huì)給后續(xù)研究帶來(lái)極大的方便.

3. 隨機(jī)事件概念的抽象

初中的概率中將隨機(jī)事件描述為“在一定的條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情”. 有了樣本空間的概念后，隨機(jī)事件可以用樣本空間的子集表示. 從語(yǔ)言描述到樣本空間的子集表示，思維跳躍很大，抽象度高. 如何使學(xué)生理解“隨機(jī)事件”的數(shù)學(xué)描述？關(guān)鍵是結(jié)合簡(jiǎn)單的隨機(jī)試驗(yàn)，理解事件發(fā)生的含義是什么. 例如，擲1枚骰子，事件“擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”發(fā)生的意義是什么？彩票搖獎(jiǎng)，事件“搖出的球的號(hào)碼是[3]的倍數(shù)”發(fā)生的意義是什么？使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事件的發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)滿足某種條件的樣本點(diǎn)出現(xiàn). 由特殊到一般，歸納“事件[A]是樣本空間的子集，事件[A]發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件[A]中的某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)”. 這對(duì)理解空集是不可能事件，樣本空間本身是必然事件，理解事件的關(guān)系和運(yùn)算的意義至關(guān)重要. 在概念抽象的過(guò)程中，要特別重視訓(xùn)練學(xué)生自然語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)換能力.

三、幾點(diǎn)教學(xué)建議

1. 通過(guò)典型、豐富的具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷中，以往接觸的問(wèn)題主要是確定性現(xiàn)象，很少有意識(shí)地思考隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn). 又由于概率內(nèi)容自身的特點(diǎn)（例如，概率概念比較抽象;對(duì)隨機(jī)性的不同理解會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果;利用概率進(jìn)行一次決策，合理的決策未必一定得到好的結(jié)果等），所以對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，“隨機(jī)性”是一個(gè)難以把握的概念.

對(duì)于抽象內(nèi)容的理解，必須得到具體例子的支持. 因此，概率的教學(xué)自始至終都要注意結(jié)合實(shí)例來(lái)展開(kāi). 教學(xué)中應(yīng)通過(guò)豐富、典型的隨機(jī)現(xiàn)象實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納隨機(jī)現(xiàn)象的特征，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生提出有價(jià)值的概率問(wèn)題. 在具體教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)列舉隨機(jī)現(xiàn)象. 例如，游戲中的隨機(jī)現(xiàn)象（拋擲硬幣、擲骰子、抽取撲克牌等），生活中的隨機(jī)現(xiàn)象（彩票、出生月份、摸球抽簽等），實(shí)際應(yīng)用中的隨機(jī)現(xiàn)象（隨機(jī)抽樣、保險(xiǎn)問(wèn)題、投資理財(cái)?shù)龋?

要注意避免人為虛構(gòu)、脫離概率本質(zhì)的情境，情境也不宜過(guò)于復(fù)雜，更不能將生活常識(shí)、數(shù)學(xué)定理、成語(yǔ)俗語(yǔ)等當(dāng)成事件.

問(wèn)題情境的選擇要滲透模型思想. 例如，拋擲[1]枚硬幣→觀察新生兒性別、射擊命中與否、產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)是正品還是次品等;拋擲[2]枚硬幣→拋擲[3]枚硬幣、擲[3]次骰子、觀察[3]個(gè)元件構(gòu)成的電路是不是通路、[n]次重復(fù)試驗(yàn);有放回摸球→觀察[6]名學(xué)生的出生月份;等等. 重復(fù)拋擲硬幣、擲骰子、生日問(wèn)題、放球入盒問(wèn)題、[2]人比賽問(wèn)題等都可以化為有放回摸球問(wèn)題;抽簽問(wèn)題、隨機(jī)抽樣問(wèn)題等都可以化為不放回摸球問(wèn)題. 注意相同結(jié)構(gòu)的樣本空間要關(guān)注樣本點(diǎn)是否是等可能的.

2. 重視核心概念“隨機(jī)事件”的數(shù)學(xué)抽象

“隨機(jī)事件”是概率論的核心概念之一，如果理解不深刻，將影響整個(gè)概率知識(shí)的學(xué)習(xí). 而引入樣本點(diǎn)、有限樣本空間概念，再用樣本空間的子集表示隨機(jī)事件，這是隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化的關(guān)鍵一步，教學(xué)中必須給予重視.

教學(xué)中，要注意利用典型例子，以“隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)學(xué)化”為導(dǎo)向，以“不同語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化”為手段，針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的特征、樣本點(diǎn)、樣本空間、隨機(jī)事件及其關(guān)系等提出問(wèn)題，并要讓學(xué)生自己提出問(wèn)題. 這樣的訓(xùn)練是基礎(chǔ)性的，對(duì)于認(rèn)識(shí)和理解隨機(jī)現(xiàn)象有重要意義，不能一帶而過(guò).

加強(qiáng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述隨機(jī)現(xiàn)象的教學(xué)，對(duì)于促進(jìn)學(xué)生理解樣本點(diǎn)和樣本空間的含義、隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)的關(guān)系、隨機(jī)事件的發(fā)生、隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算等都是非常有必要的. 事實(shí)上，用符號(hào)（字母、數(shù)字或數(shù)對(duì)）表示試驗(yàn)結(jié)果，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間，由事件發(fā)生的意義抽象出“隨機(jī)事件”是樣本空間的子集，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的契機(jī).

3. 落實(shí)“四基”“四能”

注重過(guò)程與結(jié)果的融合，要給學(xué)生有挑戰(zhàn)性的思考任務(wù)，注重學(xué)生的思維參與度. 在小結(jié)中可以提出下面的問(wèn)題，讓學(xué)生思考. 例如，對(duì)于只有[2]個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)，為什么用[0]和[1]表示這兩個(gè)結(jié)果？對(duì)于拋擲[2]枚硬幣、[2]次射擊、[2]名學(xué)生獨(dú)立各猜一道謎語(yǔ)等，這些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？目的是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，除了樣本空間的結(jié)構(gòu)和樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)外，樣本點(diǎn)的等可能性是重要的特征. 為什么要引入樣本空間？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，盡管學(xué)生體會(huì)不深，當(dāng)前不可能給出完整的答案，但是這是需要在概率學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷思考、不斷體會(huì)的問(wèn)題.

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