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        “對數(shù)函數(shù)的概念”教學設計與反思

        2021-09-10 07:22:44李晶
        中國數(shù)學教育(高中版) 2021年4期
        關鍵詞:類比演繹推理問題鏈

        李晶

        摘? 要:教材將對數(shù)函數(shù)的概念提煉為一個獨立的課時,強調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構. 因此,本節(jié)課強調(diào)通過情境的創(chuàng)設和問題的提出來引導學生思考“為什么引入對數(shù)函數(shù)概念”“如何構建對數(shù)函數(shù)概念”“對數(shù)函數(shù)的引入能做什么”,以便學生能在構建概念的過程中理解概念引入的必然性,發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的自我探求知識的能力.

        關鍵詞:概念課教學;對數(shù)函數(shù);演繹推理;類比;問題鏈

        一、教學內(nèi)容分析

        本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書[·]數(shù)學(必修)》(以下統(tǒng)稱“教材”)第一冊第四章第4節(jié)的內(nèi)容:是在學生學習了函數(shù)的概念和性質,經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學習方法和過程,掌握了對數(shù)的定義及運算的基礎上引入的一類新的基本初等函數(shù);是對函數(shù)的概念、性質本質的再認識;是基本初等函數(shù)類型的再拓廣;是研究函數(shù)路徑“背景—概念—圖象與性質—應用”的再強化;是后續(xù)學習反函數(shù)的關鍵概念和必備知識;是分析和解決大量數(shù)學問題和實際問題的重要工具.

        教材將僅有400多個字符的對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括設立為一個獨立課時,更強調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構和動態(tài)生成,既要考慮概念的存在性與引入的必然性,又要考慮新概念與舊知識間的相互關聯(lián)和印證,對已儲備知識進行搭橋式聯(lián)系. 與指數(shù)函數(shù)的抽象概括過程不同,本節(jié)課強調(diào)通過對函數(shù)定義本質的挖掘,演繹推理、抽象概括出對數(shù)函數(shù)的定義. 在學習過程中滲透數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng),培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神.

        二、教學目標設置

        本節(jié)課的教學目標設置如下.

        (1)通過解決具體實例中的指數(shù)函數(shù)已知[y]求[x]的問題,感受對數(shù)函數(shù)的實際背景,感悟對數(shù)函數(shù)概念引入的必然性,夯實提出問題、分析問題、解決問題的學習能力.

        (2)通過經(jīng)歷對數(shù)函數(shù)概念的構建過程,讓學生感悟研究函數(shù)的方法,理解對數(shù)函數(shù)的概念,體會數(shù)形結合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學思想,促進演繹、歸納法的內(nèi)化,滲透邏輯推理、數(shù)學抽象、直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

        (3)通過應用,掌握對數(shù)函數(shù)解析式及對數(shù)型函數(shù)定義域求解;感悟指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度研究同一類問題變化規(guī)律的兩大基本初等函數(shù)類型,滲透數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng).

        三、學生學情分析

        1. 學生已具備的知識基礎

        (1)學生對函數(shù)的認識要經(jīng)歷三個階段.

        經(jīng)驗感知階段(小學階段),知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境,如“隨著年齡增長,我的個子越來越高”等.

        形象描述階段(初中階段),能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢,如“[y]隨[x]的增大而減小”,即“變量說”.

        抽象概括階段(高中及以后),能脫離具體和直觀對象,進行抽象化、符號化的概括與操作,即“集合-對應說”.

        (2)學生學習了指數(shù)函數(shù)的相關知識,能進行指數(shù)與對數(shù)的運算.

        2. 學生已具備的能力基礎

        學生經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學習方法和過程,體會了研究一般函數(shù)的方法,具備了一定類比、數(shù)形結合的數(shù)學思想,積累了從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學活動經(jīng)驗,學生已具備了自主生成對數(shù)函數(shù)定義的基本認知基礎.

        3. 學生可能存在的認知困難

        (1)學生在碳14衰減問題中,由指數(shù)和對數(shù)的關系,容易根據(jù)死亡生物體內(nèi)碳14殘留量[y]經(jīng)運算推理得到生物死亡時間[x]的關系式,但是想到用函數(shù)刻畫[y]和[x]之間的關系是其認知困難之一.

        (2)指數(shù)函數(shù)的概念是由具體實例觀察抽象得到的,而對數(shù)函數(shù)概念的構建是需要利用函數(shù)的定義,通過演繹推理論證的. 因此,如何將“似乎顯然”是函數(shù)的結論推理到“確實顯然”是其認知困難之二.

        基于以上分析,本節(jié)課根據(jù)思維最近發(fā)展區(qū)理論,在學生已有的認知經(jīng)驗中尋找新知識的生長點,以概念同化的形式進行教學.

        由此確定本節(jié)課的教學重點為對數(shù)函數(shù)的概念,教學難點為利用函數(shù)定義演繹推理對數(shù)函數(shù)的概念.

        四、教學問題診斷

        教學問題1:為什么引入對數(shù)函數(shù)概念?

        一個新概念的引入要先考慮概念生成的合理性和必然性. 因此,本節(jié)課要解決的第一個問題就是為什么引入對數(shù)函數(shù).

        解決方案:先通過對實際案例中數(shù)據(jù)的運算、分析,發(fā)現(xiàn)對數(shù)式中兩個變量之間的關系,再借助數(shù)據(jù)的無限性和運算的有限性之間的矛盾,引導學生考慮用函數(shù)刻畫兩個變量之間的關系.

        教學問題2:如何構建對數(shù)函數(shù)概念?

        在數(shù)學概念的教學中,不但要使學生掌握單個概念,而且要使學生掌握概念體系,構建良好的數(shù)學認知結構.

        從最近發(fā)展區(qū)的角度考慮,學生已有的經(jīng)驗是函數(shù)、指數(shù)函數(shù)知識體系的構建. 基于這些因素,確定問題的解決方案:本節(jié)課教學,由對數(shù)運算入手,通過設置問題鏈挖掘函數(shù)本質,借助函數(shù)定義進行演繹推理,再類比指數(shù)函數(shù)從特殊到一般,抽象概括對數(shù)函數(shù)的定義;單元教學,類比指數(shù)函數(shù)知識體系構建對數(shù)函數(shù)知識體系,即對數(shù)函數(shù)的概念、后續(xù)課程中對數(shù)函數(shù)的圖象、性質及應用等.

        教學問題3:對數(shù)函數(shù)的引入能做什么?

        每個新概念的引入還需要考慮它是否能產(chǎn)生新的方法,或者為其他問題的解決帶來便利.

        解決方案:本節(jié)課擬在運用演繹推理得到對數(shù)函數(shù)概念及利用對數(shù)函數(shù)解決實際問題兩個環(huán)節(jié)中引導學生初步體會對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它提供了一種與指數(shù)函數(shù)不同的角度去刻畫同一個問題的變化規(guī)律.

        五、教學過程設計

        1. 創(chuàng)設情境,提出問題

        情境:在周末參觀古生物博物館時,小明看著恐龍化石提了“我們怎么知道霸王龍是生活在白堊紀還是侏羅紀呢?”這樣的問題,大家能回答這個問題嗎?考古學家是如何利用遺址中的化石推斷恐龍生活的年代的呢?

        【設計意圖】通過一個自然而真實的問題讓學生感受對數(shù)函數(shù)的實際背景,并建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系. 引導學生從另一個角度研究同一問題的變化規(guī)律,引導學生學會用數(shù)學眼光觀察世界. 通過具體數(shù)據(jù)運算的局限性,引出用函數(shù)刻畫死亡時間[x]與碳14含量[y]之間關系的必要性,體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)概念引入的必然性,為抽象對數(shù)函數(shù)做準備.

        2. 演繹推理,構建概念

        問題3:你所學的數(shù)學知識中,有能用來描述兩個變量所有取值之間的關系的嗎?

        追問1:死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù)嗎?

        追問2:數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W,你能找到依據(jù)進行嚴謹?shù)耐评砼袛鄦幔?/p>

        問題4:函數(shù)的定義是什么?

        師生活動:學生在教師的引導下想到利用函數(shù)來描述死亡時間[x]與碳14含量[y]之間的關系,進而想到通過函數(shù)定義論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過對函數(shù)定義的回顧提煉出:函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的一種特殊對應關系. 函數(shù)有三個要點:兩個非空數(shù)集[A,B;] 兩個集合間有一個確定的對應關系;此對應關系要滿足對于集合[A]中的任意一個數(shù)[x,] 按照確定的對應關系,在集合[B]中都有唯一確定的數(shù)[y]與它對應.

        問題5:在對數(shù)式中,[y]和[x]對應的集合[A,B]分別是什么?依據(jù)是什么?

        問題6:從集合[A=0,1]到集合[B=0,+∞]的對應關系是什么?

        追問1:畫哪個圖象?

        追問2:集合[A=0,1]中任意一個數(shù)[y,] 如何用圖形刻畫?

        追問3:按照對應關系,在集合[B=0,+∞]中有唯一確定的[x]與[y]對應,又如何用圖象刻畫呢?

        追問4:從圖象直觀感知兩個函數(shù)圖象的確是有一個交點,但僅憑指數(shù)函數(shù)部分圖象,怎樣說明[0,+∞]上不會再有其他交點?

        師生活動:師生利用信息技術作圖(如圖1),一起檢驗函數(shù)定義的三個要點,論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù).

        問題8:如果將底數(shù)換成其他常數(shù),[x]還是[y]的函數(shù)嗎?如[x=log15y,x=log3y,x=lny,x=log12y.]

        問題9:你能歸納這類具體函數(shù)的一般表示嗎?

        追問1:底數(shù)[a]有限制嗎?

        追問2:自變量是什么?因變量是什么?符合函數(shù)的表示習慣嗎?可以怎么做?

        追問3:此函數(shù)的定義域為多少?為什么?

        追問4:類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義.

        師生活動:學生從特殊到一般抽象概括出對數(shù)函數(shù)的一般表達,同時類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義. 教師板書對數(shù)函數(shù)的定義,強調(diào)對數(shù)函數(shù)的形式特點和定義域.

        【設計意圖】問題3的追問1一提出來,大部分學生都會下意識地回答“是”,但并沒有經(jīng)過嚴謹?shù)厮伎? 實際上,基于已學的函數(shù)定義和指數(shù)函數(shù)、對數(shù),此處可以采取概念同化的教學方式,通過驗證對數(shù)式中死亡時間[x]與碳14含量[y]滿足函數(shù)定義的三個要點,演繹推理出死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過拆解函數(shù)定義中的條件,引導學生學習數(shù)形結合,體會數(shù)形結合思想方法,學習用數(shù)學的思維思考世界.

        3. 例題解析,學以致用

        例1? 已知函數(shù)[fx]為對數(shù)函數(shù),且[f3=1,] 則[f9]的值為? ? ? ? .

        例2? 求下列函數(shù)的定義域:

        (1)[y=log3x2;](2)[y=loga4-x a>0,a≠1.]

        問題10:例2中的兩個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)嗎?

        師生活動:師生共同解答,教師點撥. 這兩個函數(shù)不是對數(shù)函數(shù),它們稱為對數(shù)型函數(shù). 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是自變量[x];底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù);整體系數(shù)是1.

        【設計意圖】學生通過求對數(shù)函數(shù)解析式和對數(shù)型函數(shù)的定義域,理解對數(shù)函數(shù)的概念. 對于一個概念的完整理解,只明了本質屬性是不夠的,因此在教材的基礎上增加了例1及問題10,意在讓學生從正、反兩個方面理解對數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵和外延.

        例3? 假設某地初始物價為1,每年以5%的增長率遞增,經(jīng)過[y]年后的物價為[x.]

        (1)該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番?

        (2)填寫表2,并根據(jù)表中的數(shù)據(jù),說明該地物價的變化規(guī)律.

        師生活動:依據(jù)題意,學生建立年數(shù)[y]關于物價[x]的對數(shù)函數(shù),用Excel軟件計算相應年數(shù),填寫數(shù)據(jù)如表3所示.

        問題11:你們從表格里可以發(fā)現(xiàn)物價具有什么變化規(guī)律?

        追問1:除了物價隨年數(shù)增長而增長的規(guī)律外,還有其他變化規(guī)律嗎?如何讓表中的數(shù)據(jù)更形象直觀呢?

        師生活動:畫出表格中數(shù)據(jù)對應的散點圖,如圖2所示,橫坐標是物價[x,] 縱坐標是年數(shù)[y.]

        追問2:從圖象上可以更加直觀地感受到增長趨勢,那么增長的快慢程度如何呢?

        追問3:如何定量描述年數(shù)“增長得越來越慢”這個特征呢?

        師生活動:學生通過觀察散點圖,得出物價大約每增加1所需時間在逐漸減少. 教師再將表3中的年數(shù)做差得到表4,從數(shù)據(jù)的角度體現(xiàn)此規(guī)律.

        教師講授:現(xiàn)在有兩個角度可以描述物價的變化規(guī)律:一個是從物價[x]是年數(shù)[y]的指數(shù)函數(shù)的角度;另一個是從年數(shù)[y]是物價[x]的對數(shù)函數(shù)的角度. 這兩個函數(shù)可以從不同角度描述同一個問題的變化規(guī)律:物價增長得越來越快!它們兩者之間的關系,將在后續(xù)課程中研究.

        【設計意圖】學生通過解答例3了解對數(shù)函數(shù)的實際意義,并初步體會對數(shù)函數(shù)的增長特點. 再次體會指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律,為后續(xù)學習反函數(shù)做鋪墊. 在學習過程中,通過綜合使用函數(shù)的三種表示——解析式法、列表法、圖象法,幫助學生從定性的圖象直觀到定量的數(shù)量關系描述物價的變化規(guī)律,學會用數(shù)學語言表達世界.

        4. 自主演練,鞏固所學

        練習1:求解下列函數(shù)的定義域.

        【設計意圖】學生通過解答練習題,再次理解函數(shù)表達式對定義域的限制:分母不為0,真數(shù)大于0. 再次強化函數(shù)的三要素對函數(shù)的限制:利用對數(shù)恒等式化簡后的對應關系是一樣的,但因其定義域是不同的,所以這是兩個不同的函數(shù). 因此,在研究函數(shù)時,不能隨意化簡表達式,應先求出定義域后再化簡.

        5. 課堂小結,作業(yè)布置

        知識:對數(shù)函數(shù)的概念,對數(shù)函數(shù)的結構特征、定義域及應用.

        方法:從實例中提出數(shù)學問題,利用已有知識對其進行推理論證,再從特殊到一般抽象歸納一類函數(shù)的概念.

        作業(yè)1:通過類比,由特殊到一般推理論證[y=][logax a>0,a≠1]是函數(shù).

        作業(yè)2:類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究方法,研究對數(shù)函數(shù)[y=logax a>0,a≠1]的圖象和性質.

        作業(yè)3:完成課后作業(yè)第3題.

        【設計意圖】學生通過回顧本節(jié)課構建的知識和應用的方法,積累研究數(shù)學問題的方法與活動經(jīng)驗,學會學習數(shù)學. 通過完成課后作業(yè),學生將再次經(jīng)歷演繹推理的過程,再次體驗類比方法的實用性,為后續(xù)對數(shù)函數(shù)圖象和性質的學習做好鋪墊.

        六、教學反思

        1. 關于設計的定位

        教材為何要將“對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括”設計為一個獨立的課時?要怎樣體現(xiàn)出設計的優(yōu)越性?通過反復研讀,筆者感悟到:學生在此前對數(shù)的學習中,已經(jīng)掌握了指數(shù)和對數(shù)之間的內(nèi)在關聯(lián),對數(shù)函數(shù)概念的抽象就應在此基礎上展開,方能展現(xiàn)出這一節(jié)的獨特魅力和與眾不同. 因此,本節(jié)課最重要的兩個環(huán)節(jié)為創(chuàng)設情境和構建概念.

        首先,利用碳14指數(shù)函數(shù)創(chuàng)設情境,解決以下兩個問題:學生通過運算感悟到已知一個[y]反過來可以計算[x],得到對數(shù)式;利用數(shù)據(jù)的無限和運算的有限之間的矛盾,讓學生想到用“函數(shù)”描述兩個變量之間的關系.

        其次,在構建概念中引導學生根據(jù)函數(shù)定義,進行嚴格的演繹推理,把一個“似乎顯然”的問題推理到“確實顯然”.

        2. 關于遵循概念學習的規(guī)律

        章建躍博士認為,從數(shù)學知識的發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考,是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵點. 本節(jié)課在具體教學中遵循以學生為中心,通過設置問題鏈引導學生參與到“為什么引入對數(shù)函數(shù)”“如何構建對數(shù)函數(shù)”“對數(shù)函數(shù)引入后有哪些作用”的新概念的建構過程中. 在知識的形成過程中遵循事物認知的一般規(guī)律,以情境問題引入,繼而轉化為數(shù)學問題,讓學生在明晰問題產(chǎn)生背景的基礎上從已有的數(shù)學知識入手分析問題、解決問題,從而將“用數(shù)學眼光觀察世界,用數(shù)學思維思考世界,用數(shù)學語言表達世界”落實到課堂的每一處.

        3. 改進之處

        (1)能正確處理“預設”與“生成”之間的關系,但對學生解答例3時出現(xiàn)的口誤“建立了年數(shù)[y]關于物價[x]的指數(shù)函數(shù)”雖然有及時糾正,但是沒有深入考慮口誤產(chǎn)生的原因,此處的口誤可能代表著學生對于描述兩個變量間函數(shù)關系的規(guī)范表達有待提高.

        (2)在引導學生自主構建概念的過程中,重視學生的生成性學習,但對于如何引導學生,何時介入學生的自主探究,是不是可以讓學生更主動、更開放些等方面需要加強. 例如,提出研究“兩變量之間是否為函數(shù)關系”的問題后,可組織一次數(shù)學活動,由學生分組合作探究討論研究此問題的方法,由學生定下此節(jié)課的研究方案,師生共同驗證;在例題的設置上,是否可以再大膽一些,多設置一些實際應用問題. 這些都是有待進一步嘗試的.

        參考文獻:

        [1]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》解讀[M]. 北京:高等教育出版社,2018.

        [2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)[M]. 北京:人民教育出版社,2018.

        [3]何小亞,姚靜. 中學數(shù)學教學設計[M]. 北京:科學出版社,2018.

        [4]葉穗. 承概念教學,探數(shù)學本質:以“對數(shù)函數(shù)的概念”的教學為例[J]. 新教育(中旬刊),2020(5):20-22.

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