李晶

摘? 要：教材將對數(shù)函數(shù)的概念提煉為一個獨立的課時，強調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構. 因此，本節(jié)課強調(diào)通過情境的創(chuàng)設和問題的提出來引導學生思考“為什么引入對數(shù)函數(shù)概念”“如何構建對數(shù)函數(shù)概念”“對數(shù)函數(shù)的引入能做什么”，以便學生能在構建概念的過程中理解概念引入的必然性，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的自我探求知識的能力.

關鍵詞：概念課教學;對數(shù)函數(shù);演繹推理;類比;問題鏈

一、教學內(nèi)容分析

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書[·]數(shù)學（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一冊第四章第4節(jié)的內(nèi)容：是在學生學習了函數(shù)的概念和性質(zhì)，經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學習方法和過程，掌握了對數(shù)的定義及運算的基礎上引入的一類新的基本初等函數(shù);是對函數(shù)的概念、性質(zhì)本質(zhì)的再認識;是基本初等函數(shù)類型的再拓廣;是研究函數(shù)路徑“背景—概念—圖象與性質(zhì)—應用”的再強化;是后續(xù)學習反函數(shù)的關鍵概念和必備知識;是分析和解決大量數(shù)學問題和實際問題的重要工具.

教材將僅有400多個字符的對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括設立為一個獨立課時，更強調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構和動態(tài)生成，既要考慮概念的存在性與引入的必然性，又要考慮新概念與舊知識間的相互關聯(lián)和印證，對已儲備知識進行搭橋式聯(lián)系. 與指數(shù)函數(shù)的抽象概括過程不同，本節(jié)課強調(diào)通過對函數(shù)定義本質(zhì)的挖掘，演繹推理、抽象概括出對數(shù)函數(shù)的定義. 在學習過程中滲透數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生的理性思維和科學精神.

二、教學目標設置

本節(jié)課的教學目標設置如下.

（1）通過解決具體實例中的指數(shù)函數(shù)已知[y]求[x]的問題，感受對數(shù)函數(shù)的實際背景，感悟?qū)?shù)函數(shù)概念引入的必然性，夯實提出問題、分析問題、解決問題的學習能力.

（2）通過經(jīng)歷對數(shù)函數(shù)概念的構建過程，讓學生感悟研究函數(shù)的方法，理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會數(shù)形結(jié)合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學思想，促進演繹、歸納法的內(nèi)化，滲透邏輯推理、數(shù)學抽象、直觀想象的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

（3）通過應用，掌握對數(shù)函數(shù)解析式及對數(shù)型函數(shù)定義域求解;感悟指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度研究同一類問題變化規(guī)律的兩大基本初等函數(shù)類型，滲透數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng).

三、學生學情分析

1. 學生已具備的知識基礎

（1）學生對函數(shù)的認識要經(jīng)歷三個階段.

經(jīng)驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡增長，我的個子越來越高”等.

形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“[y]隨[x]的增大而減小”，即“變量說”.

抽象概括階段（高中及以后），能脫離具體和直觀對象，進行抽象化、符號化的概括與操作，即“集合-對應說”.

（2）學生學習了指數(shù)函數(shù)的相關知識，能進行指數(shù)與對數(shù)的運算.

2. 學生已具備的能力基礎

學生經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學習方法和過程，體會了研究一般函數(shù)的方法，具備了一定類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，積累了從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學活動經(jīng)驗，學生已具備了自主生成對數(shù)函數(shù)定義的基本認知基礎.

3. 學生可能存在的認知困難

（1）學生在碳14衰減問題中，由指數(shù)和對數(shù)的關系，容易根據(jù)死亡生物體內(nèi)碳14殘留量[y]經(jīng)運算推理得到生物死亡時間[x]的關系式，但是想到用函數(shù)刻畫[y]和[x]之間的關系是其認知困難之一.

（2）指數(shù)函數(shù)的概念是由具體實例觀察抽象得到的，而對數(shù)函數(shù)概念的構建是需要利用函數(shù)的定義，通過演繹推理論證的. 因此，如何將“似乎顯然”是函數(shù)的結(jié)論推理到“確實顯然”是其認知困難之二.

基于以上分析，本節(jié)課根據(jù)思維最近發(fā)展區(qū)理論，在學生已有的認知經(jīng)驗中尋找新知識的生長點，以概念同化的形式進行教學.

由此確定本節(jié)課的教學重點為對數(shù)函數(shù)的概念，教學難點為利用函數(shù)定義演繹推理對數(shù)函數(shù)的概念.

四、教學問題診斷

教學問題1：為什么引入對數(shù)函數(shù)概念？

一個新概念的引入要先考慮概念生成的合理性和必然性. 因此，本節(jié)課要解決的第一個問題就是為什么引入對數(shù)函數(shù).

解決方案：先通過對實際案例中數(shù)據(jù)的運算、分析，發(fā)現(xiàn)對數(shù)式中兩個變量之間的關系，再借助數(shù)據(jù)的無限性和運算的有限性之間的矛盾，引導學生考慮用函數(shù)刻畫兩個變量之間的關系.

教學問題2：如何構建對數(shù)函數(shù)概念？

在數(shù)學概念的教學中，不但要使學生掌握單個概念，而且要使學生掌握概念體系，構建良好的數(shù)學認知結(jié)構.

從最近發(fā)展區(qū)的角度考慮，學生已有的經(jīng)驗是函數(shù)、指數(shù)函數(shù)知識體系的構建. 基于這些因素，確定問題的解決方案：本節(jié)課教學，由對數(shù)運算入手，通過設置問題鏈挖掘函數(shù)本質(zhì)，借助函數(shù)定義進行演繹推理，再類比指數(shù)函數(shù)從特殊到一般，抽象概括對數(shù)函數(shù)的定義;單元教學，類比指數(shù)函數(shù)知識體系構建對數(shù)函數(shù)知識體系，即對數(shù)函數(shù)的概念、后續(xù)課程中對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應用等.

教學問題3：對數(shù)函數(shù)的引入能做什么？

每個新概念的引入還需要考慮它是否能產(chǎn)生新的方法，或者為其他問題的解決帶來便利.

解決方案：本節(jié)課擬在運用演繹推理得到對數(shù)函數(shù)概念及利用對數(shù)函數(shù)解決實際問題兩個環(huán)節(jié)中引導學生初步體會對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它提供了一種與指數(shù)函數(shù)不同的角度去刻畫同一個問題的變化規(guī)律.

五、教學過程設計

1. 創(chuàng)設情境，提出問題

情境：在周末參觀古生物博物館時，小明看著恐龍化石提了“我們怎么知道霸王龍是生活在白堊紀還是侏羅紀呢？”這樣的問題，大家能回答這個問題嗎？考古學家是如何利用遺址中的化石推斷恐龍生活的年代的呢？

【設計意圖】通過一個自然而真實的問題讓學生感受對數(shù)函數(shù)的實際背景，并建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系. 引導學生從另一個角度研究同一問題的變化規(guī)律，引導學生學會用數(shù)學眼光觀察世界. 通過具體數(shù)據(jù)運算的局限性，引出用函數(shù)刻畫死亡時間[x]與碳14含量[y]之間關系的必要性，體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)概念引入的必然性，為抽象對數(shù)函數(shù)做準備.

2. 演繹推理，構建概念

問題3：你所學的數(shù)學知識中，有能用來描述兩個變量所有取值之間的關系的嗎？

追問1：死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù)嗎？

追問2：數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，你能找到依據(jù)進行嚴謹?shù)耐评砼袛鄦幔?/p>

問題4：函數(shù)的定義是什么？

師生活動：學生在教師的引導下想到利用函數(shù)來描述死亡時間[x]與碳14含量[y]之間的關系，進而想到通過函數(shù)定義論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過對函數(shù)定義的回顧提煉出：函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的一種特殊對應關系. 函數(shù)有三個要點：兩個非空數(shù)集[A，B;] 兩個集合間有一個確定的對應關系;此對應關系要滿足對于集合[A]中的任意一個數(shù)[x，] 按照確定的對應關系，在集合[B]中都有唯一確定的數(shù)[y]與它對應.

問題5：在對數(shù)式中，[y]和[x]對應的集合[A，B]分別是什么？依據(jù)是什么？

問題6：從集合[A=0，1]到集合[B=0，+∞]的對應關系是什么？

追問1：畫哪個圖象？

追問2：集合[A=0，1]中任意一個數(shù)[y，] 如何用圖形刻畫？

追問3：按照對應關系，在集合[B=0，+∞]中有唯一確定的[x]與[y]對應，又如何用圖象刻畫呢？

追問4：從圖象直觀感知兩個函數(shù)圖象的確是有一個交點，但僅憑指數(shù)函數(shù)部分圖象，怎樣說明[0，+∞]上不會再有其他交點？

師生活動：師生利用信息技術作圖（如圖1），一起檢驗函數(shù)定義的三個要點，論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù).

問題8：如果將底數(shù)換成其他常數(shù)，[x]還是[y]的函數(shù)嗎？如[x=log15y，x=log3y，x=lny，x=log12y.]

問題9：你能歸納這類具體函數(shù)的一般表示嗎？

追問1：底數(shù)[a]有限制嗎？

追問2：自變量是什么？因變量是什么？符合函數(shù)的表示習慣嗎？可以怎么做？

追問3：此函數(shù)的定義域為多少？為什么？

追問4：類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義.

師生活動：學生從特殊到一般抽象概括出對數(shù)函數(shù)的一般表達，同時類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義. 教師板書對數(shù)函數(shù)的定義，強調(diào)對數(shù)函數(shù)的形式特點和定義域.

【設計意圖】問題3的追問1一提出來，大部分學生都會下意識地回答“是”，但并沒有經(jīng)過嚴謹?shù)厮伎? 實際上，基于已學的函數(shù)定義和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)，此處可以采取概念同化的教學方式，通過驗證對數(shù)式中死亡時間[x]與碳14含量[y]滿足函數(shù)定義的三個要點，演繹推理出死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過拆解函數(shù)定義中的條件，引導學生學習數(shù)形結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合思想方法，學習用數(shù)學的思維思考世界.

3. 例題解析，學以致用

例1? 已知函數(shù)[fx]為對數(shù)函數(shù)，且[f3=1，] 則[f9]的值為? ? ? ? .

例2? 求下列函數(shù)的定義域：

（1）[y=log3x2;]（2）[y=loga4-x a>0，a≠1.]

問題10：例2中的兩個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)嗎？

師生活動：師生共同解答，教師點撥. 這兩個函數(shù)不是對數(shù)函數(shù)，它們稱為對數(shù)型函數(shù). 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是自變量[x];底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù);整體系數(shù)是1.

【設計意圖】學生通過求對數(shù)函數(shù)解析式和對數(shù)型函數(shù)的定義域，理解對數(shù)函數(shù)的概念. 對于一個概念的完整理解，只明了本質(zhì)屬性是不夠的，因此在教材的基礎上增加了例1及問題10，意在讓學生從正、反兩個方面理解對數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵和外延.

例3? 假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過[y]年后的物價為[x.]

（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？

（2）填寫表2，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律.

師生活動：依據(jù)題意，學生建立年數(shù)[y]關于物價[x]的對數(shù)函數(shù)，用Excel軟件計算相應年數(shù)，填寫數(shù)據(jù)如表3所示.

問題11：你們從表格里可以發(fā)現(xiàn)物價具有什么變化規(guī)律？

追問1：除了物價隨年數(shù)增長而增長的規(guī)律外，還有其他變化規(guī)律嗎？如何讓表中的數(shù)據(jù)更形象直觀呢？

師生活動：畫出表格中數(shù)據(jù)對應的散點圖，如圖2所示，橫坐標是物價[x，] 縱坐標是年數(shù)[y.]

追問2：從圖象上可以更加直觀地感受到增長趨勢，那么增長的快慢程度如何呢？

追問3：如何定量描述年數(shù)“增長得越來越慢”這個特征呢？

師生活動：學生通過觀察散點圖，得出物價大約每增加1所需時間在逐漸減少. 教師再將表3中的年數(shù)做差得到表4，從數(shù)據(jù)的角度體現(xiàn)此規(guī)律.

教師講授：現(xiàn)在有兩個角度可以描述物價的變化規(guī)律：一個是從物價[x]是年數(shù)[y]的指數(shù)函數(shù)的角度;另一個是從年數(shù)[y]是物價[x]的對數(shù)函數(shù)的角度. 這兩個函數(shù)可以從不同角度描述同一個問題的變化規(guī)律：物價增長得越來越快！它們兩者之間的關系，將在后續(xù)課程中研究.

【設計意圖】學生通過解答例3了解對數(shù)函數(shù)的實際意義，并初步體會對數(shù)函數(shù)的增長特點. 再次體會指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律，為后續(xù)學習反函數(shù)做鋪墊. 在學習過程中，通過綜合使用函數(shù)的三種表示——解析式法、列表法、圖象法，幫助學生從定性的圖象直觀到定量的數(shù)量關系描述物價的變化規(guī)律，學會用數(shù)學語言表達世界.

4. 自主演練，鞏固所學

練習1：求解下列函數(shù)的定義域.

【設計意圖】學生通過解答練習題，再次理解函數(shù)表達式對定義域的限制：分母不為0，真數(shù)大于0. 再次強化函數(shù)的三要素對函數(shù)的限制：利用對數(shù)恒等式化簡后的對應關系是一樣的，但因其定義域是不同的，所以這是兩個不同的函數(shù). 因此，在研究函數(shù)時，不能隨意化簡表達式，應先求出定義域后再化簡.

5. 課堂小結(jié)，作業(yè)布置

知識：對數(shù)函數(shù)的概念，對數(shù)函數(shù)的結(jié)構特征、定義域及應用.

方法：從實例中提出數(shù)學問題，利用已有知識對其進行推理論證，再從特殊到一般抽象歸納一類函數(shù)的概念.

作業(yè)1：通過類比，由特殊到一般推理論證[y=][logax a>0，a≠1]是函數(shù).

作業(yè)2：類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究方法，研究對數(shù)函數(shù)[y=logax a>0，a≠1]的圖象和性質(zhì).

作業(yè)3：完成課后作業(yè)第3題.

【設計意圖】學生通過回顧本節(jié)課構建的知識和應用的方法，積累研究數(shù)學問題的方法與活動經(jīng)驗，學會學習數(shù)學. 通過完成課后作業(yè)，學生將再次經(jīng)歷演繹推理的過程，再次體驗類比方法的實用性，為后續(xù)對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的學習做好鋪墊.

六、教學反思

1. 關于設計的定位

教材為何要將“對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括”設計為一個獨立的課時？要怎樣體現(xiàn)出設計的優(yōu)越性？通過反復研讀，筆者感悟到：學生在此前對數(shù)的學習中，已經(jīng)掌握了指數(shù)和對數(shù)之間的內(nèi)在關聯(lián)，對數(shù)函數(shù)概念的抽象就應在此基礎上展開，方能展現(xiàn)出這一節(jié)的獨特魅力和與眾不同. 因此，本節(jié)課最重要的兩個環(huán)節(jié)為創(chuàng)設情境和構建概念.

首先，利用碳14指數(shù)函數(shù)創(chuàng)設情境，解決以下兩個問題：學生通過運算感悟到已知一個[y]反過來可以計算[x]，得到對數(shù)式;利用數(shù)據(jù)的無限和運算的有限之間的矛盾，讓學生想到用“函數(shù)”描述兩個變量之間的關系.

其次，在構建概念中引導學生根據(jù)函數(shù)定義，進行嚴格的演繹推理，把一個“似乎顯然”的問題推理到“確實顯然”.

2. 關于遵循概念學習的規(guī)律

章建躍博士認為，從數(shù)學知識的發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵點. 本節(jié)課在具體教學中遵循以學生為中心，通過設置問題鏈引導學生參與到“為什么引入對數(shù)函數(shù)”“如何構建對數(shù)函數(shù)”“對數(shù)函數(shù)引入后有哪些作用”的新概念的建構過程中. 在知識的形成過程中遵循事物認知的一般規(guī)律，以情境問題引入，繼而轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，讓學生在明晰問題產(chǎn)生背景的基礎上從已有的數(shù)學知識入手分析問題、解決問題，從而將“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界”落實到課堂的每一處.

3. 改進之處

（1）能正確處理“預設”與“生成”之間的關系，但對學生解答例3時出現(xiàn)的口誤“建立了年數(shù)[y]關于物價[x]的指數(shù)函數(shù)”雖然有及時糾正，但是沒有深入考慮口誤產(chǎn)生的原因，此處的口誤可能代表著學生對于描述兩個變量間函數(shù)關系的規(guī)范表達有待提高.

（2）在引導學生自主構建概念的過程中，重視學生的生成性學習，但對于如何引導學生，何時介入學生的自主探究，是不是可以讓學生更主動、更開放些等方面需要加強. 例如，提出研究“兩變量之間是否為函數(shù)關系”的問題后，可組織一次數(shù)學活動，由學生分組合作探究討論研究此問題的方法，由學生定下此節(jié)課的研究方案，師生共同驗證;在例題的設置上，是否可以再大膽一些，多設置一些實際應用問題. 這些都是有待進一步嘗試的.

參考文獻：

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