李晶

摘? 要：教材將對數(shù)函數(shù)的概念提煉為一個獨(dú)立的課時，強(qiáng)調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu). 因此，本節(jié)課強(qiáng)調(diào)通過情境的創(chuàng)設(shè)和問題的提出來引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么引入對數(shù)函數(shù)概念”“如何構(gòu)建對數(shù)函數(shù)概念”“對數(shù)函數(shù)的引入能做什么”，以便學(xué)生能在構(gòu)建概念的過程中理解概念引入的必然性，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的自我探求知識的能力.

關(guān)鍵詞：概念課教學(xué);對數(shù)函數(shù);演繹推理;類比;問題鏈

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課是人教A版《普通高中教科書[·]數(shù)學(xué)（必修）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一冊第四章第4節(jié)的內(nèi)容：是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì)，經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)方法和過程，掌握了對數(shù)的定義及運(yùn)算的基礎(chǔ)上引入的一類新的基本初等函數(shù);是對函數(shù)的概念、性質(zhì)本質(zhì)的再認(rèn)識;是基本初等函數(shù)類型的再拓廣;是研究函數(shù)路徑“背景—概念—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用”的再強(qiáng)化;是后續(xù)學(xué)習(xí)反函數(shù)的關(guān)鍵概念和必備知識;是分析和解決大量數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的重要工具.

教材將僅有400多個字符的對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括設(shè)立為一個獨(dú)立課時，更強(qiáng)調(diào)對數(shù)函數(shù)概念的建構(gòu)和動態(tài)生成，既要考慮概念的存在性與引入的必然性，又要考慮新概念與舊知識間的相互關(guān)聯(lián)和印證，對已儲備知識進(jìn)行搭橋式聯(lián)系. 與指數(shù)函數(shù)的抽象概括過程不同，本節(jié)課強(qiáng)調(diào)通過對函數(shù)定義本質(zhì)的挖掘，演繹推理、抽象概括出對數(shù)函數(shù)的定義. 在學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和科學(xué)精神.

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下.

（1）通過解決具體實(shí)例中的指數(shù)函數(shù)已知[y]求[x]的問題，感受對數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，感悟?qū)?shù)函數(shù)概念引入的必然性，夯實(shí)提出問題、分析問題、解決問題的學(xué)習(xí)能力.

（2）通過經(jīng)歷對數(shù)函數(shù)概念的構(gòu)建過程，讓學(xué)生感悟研究函數(shù)的方法，理解對數(shù)函數(shù)的概念，體會數(shù)形結(jié)合、類比、從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)演繹、歸納法的內(nèi)化，滲透邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（3）通過應(yīng)用，掌握對數(shù)函數(shù)解析式及對數(shù)型函數(shù)定義域求解;感悟指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度研究同一類問題變化規(guī)律的兩大基本初等函數(shù)類型，滲透數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

三、學(xué)生學(xué)情分析

1. 學(xué)生已具備的知識基礎(chǔ)

（1）學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識要經(jīng)歷三個階段.

經(jīng)驗(yàn)感知階段（小學(xué)階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡增長，我的個子越來越高”等.

形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“[y]隨[x]的增大而減小”，即“變量說”.

抽象概括階段（高中及以后），能脫離具體和直觀對象，進(jìn)行抽象化、符號化的概括與操作，即“集合-對應(yīng)說”.

（2）學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識，能進(jìn)行指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算.

2. 學(xué)生已具備的能力基礎(chǔ)

學(xué)生經(jīng)歷了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)方法和過程，體會了研究一般函數(shù)的方法，具備了一定類比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，積累了從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已具備了自主生成對數(shù)函數(shù)定義的基本認(rèn)知基礎(chǔ).

3. 學(xué)生可能存在的認(rèn)知困難

（1）學(xué)生在碳14衰減問題中，由指數(shù)和對數(shù)的關(guān)系，容易根據(jù)死亡生物體內(nèi)碳14殘留量[y]經(jīng)運(yùn)算推理得到生物死亡時間[x]的關(guān)系式，但是想到用函數(shù)刻畫[y]和[x]之間的關(guān)系是其認(rèn)知困難之一.

（2）指數(shù)函數(shù)的概念是由具體實(shí)例觀察抽象得到的，而對數(shù)函數(shù)概念的構(gòu)建是需要利用函數(shù)的定義，通過演繹推理論證的. 因此，如何將“似乎顯然”是函數(shù)的結(jié)論推理到“確實(shí)顯然”是其認(rèn)知困難之二.

基于以上分析，本節(jié)課根據(jù)思維最近發(fā)展區(qū)理論，在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中尋找新知識的生長點(diǎn)，以概念同化的形式進(jìn)行教學(xué).

由此確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為對數(shù)函數(shù)的概念，教學(xué)難點(diǎn)為利用函數(shù)定義演繹推理對數(shù)函數(shù)的概念.

四、教學(xué)問題診斷

教學(xué)問題1：為什么引入對數(shù)函數(shù)概念？

一個新概念的引入要先考慮概念生成的合理性和必然性. 因此，本節(jié)課要解決的第一個問題就是為什么引入對數(shù)函數(shù).

解決方案：先通過對實(shí)際案例中數(shù)據(jù)的運(yùn)算、分析，發(fā)現(xiàn)對數(shù)式中兩個變量之間的關(guān)系，再借助數(shù)據(jù)的無限性和運(yùn)算的有限性之間的矛盾，引導(dǎo)學(xué)生考慮用函數(shù)刻畫兩個變量之間的關(guān)系.

教學(xué)問題2：如何構(gòu)建對數(shù)函數(shù)概念？

在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，不但要使學(xué)生掌握單個概念，而且要使學(xué)生掌握概念體系，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

從最近發(fā)展區(qū)的角度考慮，學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)是函數(shù)、指數(shù)函數(shù)知識體系的構(gòu)建. 基于這些因素，確定問題的解決方案：本節(jié)課教學(xué)，由對數(shù)運(yùn)算入手，通過設(shè)置問題鏈挖掘函數(shù)本質(zhì)，借助函數(shù)定義進(jìn)行演繹推理，再類比指數(shù)函數(shù)從特殊到一般，抽象概括對數(shù)函數(shù)的定義;單元教學(xué)，類比指數(shù)函數(shù)知識體系構(gòu)建對數(shù)函數(shù)知識體系，即對數(shù)函數(shù)的概念、后續(xù)課程中對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用等.

教學(xué)問題3：對數(shù)函數(shù)的引入能做什么？

每個新概念的引入還需要考慮它是否能產(chǎn)生新的方法，或者為其他問題的解決帶來便利.

解決方案：本節(jié)課擬在運(yùn)用演繹推理得到對數(shù)函數(shù)概念及利用對數(shù)函數(shù)解決實(shí)際問題兩個環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生初步體會對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它提供了一種與指數(shù)函數(shù)不同的角度去刻畫同一個問題的變化規(guī)律.

五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境：在周末參觀古生物博物館時，小明看著恐龍化石提了“我們怎么知道霸王龍是生活在白堊紀(jì)還是侏羅紀(jì)呢？”這樣的問題，大家能回答這個問題嗎？考古學(xué)家是如何利用遺址中的化石推斷恐龍生活的年代的呢？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個自然而真實(shí)的問題讓學(xué)生感受對數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，并建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系. 引導(dǎo)學(xué)生從另一個角度研究同一問題的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界. 通過具體數(shù)據(jù)運(yùn)算的局限性，引出用函數(shù)刻畫死亡時間[x]與碳14含量[y]之間關(guān)系的必要性，體現(xiàn)對數(shù)函數(shù)概念引入的必然性，為抽象對數(shù)函數(shù)做準(zhǔn)備.

2. 演繹推理，構(gòu)建概念

問題3：你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識中，有能用來描述兩個變量所有取值之間的關(guān)系的嗎？

追問1：死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù)嗎？

追問2：數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，你能找到依據(jù)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砼袛鄦幔?/p>

問題4：函數(shù)的定義是什么？

師生活動：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下想到利用函數(shù)來描述死亡時間[x]與碳14含量[y]之間的關(guān)系，進(jìn)而想到通過函數(shù)定義論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過對函數(shù)定義的回顧提煉出：函數(shù)是兩個實(shí)數(shù)集之間的一種特殊對應(yīng)關(guān)系. 函數(shù)有三個要點(diǎn)：兩個非空數(shù)集[A，B;] 兩個集合間有一個確定的對應(yīng)關(guān)系;此對應(yīng)關(guān)系要滿足對于集合[A]中的任意一個數(shù)[x，] 按照確定的對應(yīng)關(guān)系，在集合[B]中都有唯一確定的數(shù)[y]與它對應(yīng).

問題5：在對數(shù)式中，[y]和[x]對應(yīng)的集合[A，B]分別是什么？依據(jù)是什么？

問題6：從集合[A=0，1]到集合[B=0，+∞]的對應(yīng)關(guān)系是什么？

追問1：畫哪個圖象？

追問2：集合[A=0，1]中任意一個數(shù)[y，] 如何用圖形刻畫？

追問3：按照對應(yīng)關(guān)系，在集合[B=0，+∞]中有唯一確定的[x]與[y]對應(yīng)，又如何用圖象刻畫呢？

追問4：從圖象直觀感知兩個函數(shù)圖象的確是有一個交點(diǎn)，但僅憑指數(shù)函數(shù)部分圖象，怎樣說明[0，+∞]上不會再有其他交點(diǎn)？

師生活動：師生利用信息技術(shù)作圖（如圖1），一起檢驗(yàn)函數(shù)定義的三個要點(diǎn)，論證死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù).

問題8：如果將底數(shù)換成其他常數(shù)，[x]還是[y]的函數(shù)嗎？如[x=log15y，x=log3y，x=lny，x=log12y.]

問題9：你能歸納這類具體函數(shù)的一般表示嗎？

追問1：底數(shù)[a]有限制嗎？

追問2：自變量是什么？因變量是什么？符合函數(shù)的表示習(xí)慣嗎？可以怎么做？

追問3：此函數(shù)的定義域?yàn)槎嗌伲繛槭裁矗?/p>

追問4：類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義.

師生活動：學(xué)生從特殊到一般抽象概括出對數(shù)函數(shù)的一般表達(dá)，同時類比指數(shù)函數(shù)給出對數(shù)函數(shù)的定義. 教師板書對數(shù)函數(shù)的定義，強(qiáng)調(diào)對數(shù)函數(shù)的形式特點(diǎn)和定義域.

【設(shè)計(jì)意圖】問題3的追問1一提出來，大部分學(xué)生都會下意識地回答“是”，但并沒有經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厮伎? 實(shí)際上，基于已學(xué)的函數(shù)定義和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)，此處可以采取概念同化的教學(xué)方式，通過驗(yàn)證對數(shù)式中死亡時間[x]與碳14含量[y]滿足函數(shù)定義的三個要點(diǎn)，演繹推理出死亡時間[x]是碳14含量[y]的函數(shù). 通過拆解函數(shù)定義中的條件，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合，體會數(shù)形結(jié)合思想方法，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

3. 例題解析，學(xué)以致用

例1? 已知函數(shù)[fx]為對數(shù)函數(shù)，且[f3=1，] 則[f9]的值為? ? ? ? .

例2? 求下列函數(shù)的定義域：

（1）[y=log3x2;]（2）[y=loga4-x a>0，a≠1.]

問題10：例2中的兩個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)嗎？

師生活動：師生共同解答，教師點(diǎn)撥. 這兩個函數(shù)不是對數(shù)函數(shù)，它們稱為對數(shù)型函數(shù). 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)是自變量[x];底數(shù)是大于0且不等于1的常數(shù);整體系數(shù)是1.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過求對數(shù)函數(shù)解析式和對數(shù)型函數(shù)的定義域，理解對數(shù)函數(shù)的概念. 對于一個概念的完整理解，只明了本質(zhì)屬性是不夠的，因此在教材的基礎(chǔ)上增加了例1及問題10，意在讓學(xué)生從正、反兩個方面理解對數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵和外延.

例3? 假設(shè)某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經(jīng)過[y]年后的物價為[x.]

（1）該地的物價經(jīng)過幾年后會翻一番？

（2）填寫表2，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說明該地物價的變化規(guī)律.

師生活動：依據(jù)題意，學(xué)生建立年數(shù)[y]關(guān)于物價[x]的對數(shù)函數(shù)，用Excel軟件計(jì)算相應(yīng)年數(shù)，填寫數(shù)據(jù)如表3所示.

問題11：你們從表格里可以發(fā)現(xiàn)物價具有什么變化規(guī)律？

追問1：除了物價隨年數(shù)增長而增長的規(guī)律外，還有其他變化規(guī)律嗎？如何讓表中的數(shù)據(jù)更形象直觀呢？

師生活動：畫出表格中數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖2所示，橫坐標(biāo)是物價[x，] 縱坐標(biāo)是年數(shù)[y.]

追問2：從圖象上可以更加直觀地感受到增長趨勢，那么增長的快慢程度如何呢？

追問3：如何定量描述年數(shù)“增長得越來越慢”這個特征呢？

師生活動：學(xué)生通過觀察散點(diǎn)圖，得出物價大約每增加1所需時間在逐漸減少. 教師再將表3中的年數(shù)做差得到表4，從數(shù)據(jù)的角度體現(xiàn)此規(guī)律.

教師講授：現(xiàn)在有兩個角度可以描述物價的變化規(guī)律：一個是從物價[x]是年數(shù)[y]的指數(shù)函數(shù)的角度;另一個是從年數(shù)[y]是物價[x]的對數(shù)函數(shù)的角度. 這兩個函數(shù)可以從不同角度描述同一個問題的變化規(guī)律：物價增長得越來越快！它們兩者之間的關(guān)系，將在后續(xù)課程中研究.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過解答例3了解對數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，并初步體會對數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn). 再次體會指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是從不同角度刻畫同一個問題的變化規(guī)律，為后續(xù)學(xué)習(xí)反函數(shù)做鋪墊. 在學(xué)習(xí)過程中，通過綜合使用函數(shù)的三種表示——解析式法、列表法、圖象法，幫助學(xué)生從定性的圖象直觀到定量的數(shù)量關(guān)系描述物價的變化規(guī)律，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.

4. 自主演練，鞏固所學(xué)

練習(xí)1：求解下列函數(shù)的定義域.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過解答練習(xí)題，再次理解函數(shù)表達(dá)式對定義域的限制：分母不為0，真數(shù)大于0. 再次強(qiáng)化函數(shù)的三要素對函數(shù)的限制：利用對數(shù)恒等式化簡后的對應(yīng)關(guān)系是一樣的，但因其定義域是不同的，所以這是兩個不同的函數(shù). 因此，在研究函數(shù)時，不能隨意化簡表達(dá)式，應(yīng)先求出定義域后再化簡.

5. 課堂小結(jié)，作業(yè)布置

知識：對數(shù)函數(shù)的概念，對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征、定義域及應(yīng)用.

方法：從實(shí)例中提出數(shù)學(xué)問題，利用已有知識對其進(jìn)行推理論證，再從特殊到一般抽象歸納一類函數(shù)的概念.

作業(yè)1：通過類比，由特殊到一般推理論證[y=][logax a>0，a≠1]是函數(shù).

作業(yè)2：類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究方法，研究對數(shù)函數(shù)[y=logax a>0，a≠1]的圖象和性質(zhì).

作業(yè)3：完成課后作業(yè)第3題.

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過回顧本節(jié)課構(gòu)建的知識和應(yīng)用的方法，積累研究數(shù)學(xué)問題的方法與活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 通過完成課后作業(yè)，學(xué)生將再次經(jīng)歷演繹推理的過程，再次體驗(yàn)類比方法的實(shí)用性，為后續(xù)對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

六、教學(xué)反思

1. 關(guān)于設(shè)計(jì)的定位

教材為何要將“對數(shù)函數(shù)概念的抽象概括”設(shè)計(jì)為一個獨(dú)立的課時？要怎樣體現(xiàn)出設(shè)計(jì)的優(yōu)越性？通過反復(fù)研讀，筆者感悟到：學(xué)生在此前對數(shù)的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了指數(shù)和對數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，對數(shù)函數(shù)概念的抽象就應(yīng)在此基礎(chǔ)上展開，方能展現(xiàn)出這一節(jié)的獨(dú)特魅力和與眾不同. 因此，本節(jié)課最重要的兩個環(huán)節(jié)為創(chuàng)設(shè)情境和構(gòu)建概念.

首先，利用碳14指數(shù)函數(shù)創(chuàng)設(shè)情境，解決以下兩個問題：學(xué)生通過運(yùn)算感悟到已知一個[y]反過來可以計(jì)算[x]，得到對數(shù)式;利用數(shù)據(jù)的無限和運(yùn)算的有限之間的矛盾，讓學(xué)生想到用“函數(shù)”描述兩個變量之間的關(guān)系.

其次，在構(gòu)建概念中引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)定義，進(jìn)行嚴(yán)格的演繹推理，把一個“似乎顯然”的問題推理到“確實(shí)顯然”.

2. 關(guān)于遵循概念學(xué)習(xí)的規(guī)律

章建躍博士認(rèn)為，從數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程的合理性、學(xué)生思維過程的合理性上加強(qiáng)思考，是落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵點(diǎn). 本節(jié)課在具體教學(xué)中遵循以學(xué)生為中心，通過設(shè)置問題鏈引導(dǎo)學(xué)生參與到“為什么引入對數(shù)函數(shù)”“如何構(gòu)建對數(shù)函數(shù)”“對數(shù)函數(shù)引入后有哪些作用”的新概念的建構(gòu)過程中. 在知識的形成過程中遵循事物認(rèn)知的一般規(guī)律，以情境問題引入，繼而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生在明晰問題產(chǎn)生背景的基礎(chǔ)上從已有的數(shù)學(xué)知識入手分析問題、解決問題，從而將“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界”落實(shí)到課堂的每一處.

3. 改進(jìn)之處

（1）能正確處理“預(yù)設(shè)”與“生成”之間的關(guān)系，但對學(xué)生解答例3時出現(xiàn)的口誤“建立了年數(shù)[y]關(guān)于物價[x]的指數(shù)函數(shù)”雖然有及時糾正，但是沒有深入考慮口誤產(chǎn)生的原因，此處的口誤可能代表著學(xué)生對于描述兩個變量間函數(shù)關(guān)系的規(guī)范表達(dá)有待提高.

（2）在引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)建概念的過程中，重視學(xué)生的生成性學(xué)習(xí)，但對于如何引導(dǎo)學(xué)生，何時介入學(xué)生的自主探究，是不是可以讓學(xué)生更主動、更開放些等方面需要加強(qiáng). 例如，提出研究“兩變量之間是否為函數(shù)關(guān)系”的問題后，可組織一次數(shù)學(xué)活動，由學(xué)生分組合作探究討論研究此問題的方法，由學(xué)生定下此節(jié)課的研究方案，師生共同驗(yàn)證;在例題的設(shè)置上，是否可以再大膽一些，多設(shè)置一些實(shí)際應(yīng)用問題. 這些都是有待進(jìn)一步嘗試的.

參考文獻(xiàn)：

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