【摘要】本文論述小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)的關(guān)聯(lián)策略，以《圓的面積》練習(xí)教學(xué)為例，提出利用數(shù)學(xué)情境建立關(guān)聯(lián)、利用等量關(guān)系建立關(guān)聯(lián)、利用知識(shí)相似建立關(guān)聯(lián)、利用構(gòu)圖變化建立關(guān)聯(lián)和利用動(dòng)態(tài)生成建立關(guān)聯(lián)等教學(xué)策略，以培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維獲得發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 練習(xí)設(shè)計(jì) 關(guān)聯(lián)策略 思維發(fā)展

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）09-0090-02

關(guān)聯(lián)，是將已經(jīng)知道、熟悉的概念聯(lián)想到相關(guān)的概念，這樣就可以將已知關(guān)聯(lián)未知，為學(xué)生架設(shè)思維的橋梁，幫助學(xué)生由此及彼進(jìn)行數(shù)學(xué)推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)中，教師可以把多個(gè)命題按照關(guān)聯(lián)性進(jìn)行互聯(lián)，圍繞核心知識(shí)組合成信息模塊，設(shè)計(jì)為一個(gè)習(xí)題組合，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想實(shí)現(xiàn)知識(shí)的升級(jí)，不斷促進(jìn)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的整體發(fā)展，讓學(xué)生不斷地內(nèi)化、吸收，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本文筆者以《圓的面積》練習(xí)為例，談?wù)勱P(guān)聯(lián)策略的應(yīng)用。

一、利用數(shù)學(xué)情境建立關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)練習(xí)的設(shè)計(jì)離不開(kāi)特定的數(shù)學(xué)情境，教師可以根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，將其中的數(shù)學(xué)表象進(jìn)行調(diào)取，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，從而建立數(shù)學(xué)知識(shí)間的廣泛聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)情境的關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)練習(xí)題組。在日常實(shí)踐中，教師將圓置于不同的數(shù)學(xué)情境中，可以大大增加練習(xí)設(shè)計(jì)的容量，提升練習(xí)的效果。

習(xí)題1：已知圓的半徑是15厘米，求圓的面積。

根據(jù)這道習(xí)題，筆者借助數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生建立關(guān)聯(lián)：求圓的面積，需要知道什么條件？在生活中，你發(fā)現(xiàn)圓的半徑是什么樣的？學(xué)生根據(jù)對(duì)特定情境的理解，發(fā)現(xiàn)鐘面上的分針半徑長(zhǎng)10厘米，草地上旋轉(zhuǎn)噴水裝置的射程是12厘米，茶葉罐的半徑是4厘米……這些不同的數(shù)學(xué)情境，組成了求圓的面積的練習(xí)題組。接著再讓學(xué)生根據(jù)自己選定的特定情境進(jìn)行圓的面積計(jì)算，并與同桌相互交流和驗(yàn)證。

以上環(huán)節(jié)，通過(guò)對(duì)特定數(shù)學(xué)情境的引導(dǎo)，幫助學(xué)生從現(xiàn)實(shí)視角出發(fā)建立橫向關(guān)聯(lián)，學(xué)生不僅能夠了解圓的廣泛應(yīng)用，還能夠舉一反三，找到生活原型進(jìn)行練習(xí)設(shè)計(jì)，增強(qiáng)學(xué)生的分析歸納能力，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

二、利用等量關(guān)系建立關(guān)聯(lián)

學(xué)生遇到一些比較生疏的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往會(huì)陷入困境，這時(shí)候，教師就要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入剖析，尋找過(guò)去解決問(wèn)題類(lèi)似的方法，建立等量關(guān)聯(lián)，這樣就能夠幫助學(xué)生積累豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而實(shí)現(xiàn)從未知到已知的轉(zhuǎn)化。

習(xí)題2：已知圓的半徑是10厘米，求圓的面積。

這道習(xí)題給學(xué)生的已知條件是半徑，如果沒(méi)有已知條件，怎么設(shè)計(jì)練習(xí)題組呢？筆者鼓勵(lì)并引導(dǎo)學(xué)生自行設(shè)計(jì)練習(xí)題組。學(xué)生設(shè)計(jì)出如下題組：已知圓規(guī)的兩腳距離是10厘米、已知直徑是20厘米、已知圓的周長(zhǎng)是62.8厘米、已知半圓的周長(zhǎng)是31.4厘米，等等。也有學(xué)生把圓放到平面圖形中，揭示出圓的半徑是10厘米，由此設(shè)計(jì)出練習(xí)題組。（如圖1所示）

學(xué)生把這道練習(xí)題放到其他變化的題目中，不管是什么已知條件，結(jié)果都必須與半徑是等量的。通過(guò)不斷地轉(zhuǎn)換等量條件，推導(dǎo)得出一組練習(xí)模塊。很顯然，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教會(huì)學(xué)生找準(zhǔn)等量關(guān)系，透過(guò)現(xiàn)象抓住問(wèn)題的本質(zhì)，這是非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，通過(guò)尋找等量關(guān)系建立關(guān)聯(lián)，學(xué)生學(xué)會(huì)了轉(zhuǎn)換說(shuō)法，變換不同的條件。雖然條件的表達(dá)方式不同，但內(nèi)容其實(shí)是一樣的，這樣就能訓(xùn)練學(xué)生思維的辯證性，從而感受數(shù)學(xué)思維的力量。

三、利用知識(shí)相似建立關(guān)聯(lián)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過(guò)某一事物聯(lián)想到相似的其他事物，從而產(chǎn)生新的設(shè)想，這是利用知識(shí)相似性建立關(guān)聯(lián)的一種學(xué)習(xí)模式。在圓的面積學(xué)習(xí)中，學(xué)生對(duì)平面圖形的線條、色彩等已經(jīng)能進(jìn)行抽象、對(duì)比的聯(lián)想，因此在圓的面積練習(xí)設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過(guò)知識(shí)的相似性幫助學(xué)生展開(kāi)想象、聯(lián)想，與已有的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，從而構(gòu)建模塊練習(xí)題組。

習(xí)題3：如圖2所示，正方形的邊長(zhǎng)是6厘米，求陰影部分的面積。

筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：如果正方形中的圓的個(gè)數(shù)不是1個(gè)，而是4個(gè)，9個(gè)，14個(gè)，等等。通過(guò)改變圓的個(gè)數(shù)這樣的相似性關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生探尋其中的方法，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。由此導(dǎo)出了如下習(xí)題模塊。（如圖3所示）

對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，求出組合圖形的面積，這是比較重要的一種題型，也是教學(xué)的重中之重。以上環(huán)節(jié)，教師通過(guò)改變組合圖形的元素，尋找圖形的相似性，在相似性知識(shí)的關(guān)聯(lián)下組成相似的圖形，引導(dǎo)學(xué)生從中找規(guī)律、找方法，這是筆者設(shè)計(jì)模塊練習(xí)的基本原則，學(xué)生借助知識(shí)的相似性建構(gòu)關(guān)聯(lián)，能夠從中感知數(shù)學(xué)的變化，感知數(shù)學(xué)的變化規(guī)律，體會(huì)數(shù)學(xué)的規(guī)律之美。

四、利用構(gòu)圖變化建立關(guān)聯(lián)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以根據(jù)平面構(gòu)圖引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，通過(guò)改變組合圖形的擺放位置，或者縮放圖形的大小構(gòu)建題組模塊，建立關(guān)聯(lián)，構(gòu)建練習(xí)題組的設(shè)計(jì)模塊，幫助學(xué)生溝通已有的知識(shí)，拓展數(shù)學(xué)思維。

習(xí)題4：正方形面積是10平方米，求圓的面積。（如圖4所示）

筆者在學(xué)生完成這道習(xí)題之后，進(jìn)行了如下拓展：圓和正方形放在一起會(huì)怎么樣？如果正方形變大會(huì)怎么樣？變小又會(huì)怎么樣？還會(huì)怎樣變化呢？在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生一步步獲得思維的拓展，列舉出正方形變成梯形、正方形變成長(zhǎng)方形等情況，構(gòu)建了幾種不同的習(xí)題模塊。（如圖5所示）

學(xué)生在習(xí)題練習(xí)中發(fā)現(xiàn)，組合圖形既有面積和，也有面積差，還有揭示兩種圖形倍比關(guān)系的情形，不管哪一種，都需要找到已知條件，并通過(guò)條件的代換獲取有用的解決方法。由此，學(xué)生明確了平面圖形的面積內(nèi)涵，并認(rèn)識(shí)到可以通過(guò)改變圖形的位置，用不同的組合圖形梳理和辨析圖形之間的關(guān)系。

練習(xí)5：正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積。（如圖6所示）

筆者在學(xué)生進(jìn)行解答之后，引導(dǎo)他們思考：正方形的面積和圓的面積是什么關(guān)系？你還能找出哪些相關(guān)類(lèi)似圖形的陰影部分面積呢？學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)將圖形的相同部分進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)，由此建立關(guān)聯(lián)，列舉出了如下情形。（如圖7）

學(xué)生在練習(xí)中進(jìn)一步學(xué)會(huì)了分析圖形之間的數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)到陰影部分的面積是將各部分進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移后拼接得到的一組新圖形，其本質(zhì)就是圓內(nèi)接正方形后形成的，從而找到了解決辦法。

以上環(huán)節(jié)，教師通過(guò)挖掘各類(lèi)圖形的位置關(guān)系，幫助學(xué)生建立千變?nèi)f化的關(guān)聯(lián)，通過(guò)辨析解答，重新建構(gòu)系統(tǒng)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

五、利用動(dòng)態(tài)生成建立關(guān)聯(lián)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往會(huì)運(yùn)用靜態(tài)的圖形建立關(guān)聯(lián)，引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想，但通過(guò)動(dòng)態(tài)的生成也能夠建立關(guān)聯(lián)。教師應(yīng)積極挖掘生活中的素材，根據(jù)不同的生成路徑，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)不同的動(dòng)態(tài)圖形，進(jìn)一步熟悉圓的面積知識(shí)，并在熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)上發(fā)展數(shù)學(xué)空間觀念。

習(xí)題6：一元硬幣的面積是多少？

很顯然，這樣的問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)并沒(méi)有太大的思維含量，學(xué)生只需要量出硬幣的半徑或者直徑，就能夠順利求出面積大小。為此筆者啟發(fā)學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想：如果硬幣可以滾動(dòng)起來(lái)那么面積會(huì)怎么樣呢？假設(shè)有兩枚硬幣，其中一枚硬幣固定，另一枚沿著固定的硬幣滾動(dòng)一周，那么滾動(dòng)的面積是多少呢？假設(shè)固定兩枚硬幣，第三枚硬幣沿著這兩枚硬幣的周長(zhǎng)滾動(dòng)一周那么面積會(huì)是多少呢？如果固定兩枚硬幣，第3枚沿著邊緣滾動(dòng)一周呢？再假設(shè)，如果這枚硬幣沿著正方形的邊緣滾動(dòng)一周呢？如果這枚硬幣沿著正三角形的邊緣滾動(dòng)一圈呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)聯(lián)想，建構(gòu)了圓與圖形的動(dòng)態(tài)生成，學(xué)生將圓與其他圖形之間建立關(guān)聯(lián)，由此構(gòu)建了一組圓的面積計(jì)算模塊題組。（如圖8所示）

在這些練習(xí)模塊題組中，學(xué)生的思路一下子被打開(kāi)，并根據(jù)這些模塊練習(xí)展開(kāi)分析，認(rèn)為先要找出硬幣的運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的圖形是什么，并且要確定這個(gè)圖形就必須找出半徑和直徑，由此學(xué)生再次鞏固了運(yùn)用圓的面積計(jì)算方法來(lái)解決問(wèn)題的知識(shí)。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，雖然圖形狀態(tài)發(fā)生了改變，但是運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)還是沒(méi)變的。

以上環(huán)節(jié)，教師通過(guò)動(dòng)態(tài)的生成，幫助學(xué)生建立關(guān)聯(lián)，組建了習(xí)題模塊，指導(dǎo)學(xué)生在解法上尋找共同點(diǎn)，從變化中感受數(shù)學(xué)的不變之美，由此獲得解決問(wèn)題的有效策略。

總而言之，在數(shù)學(xué)練習(xí)設(shè)計(jì)中，關(guān)聯(lián)策略是習(xí)題教學(xué)比較高層次的一個(gè)體現(xiàn)，需要教師花更多的時(shí)間鉆研教材，梳理知識(shí)的核心點(diǎn)，挖掘生長(zhǎng)點(diǎn)，同時(shí)將看似零碎的習(xí)題組成一個(gè)個(gè)題組模塊，幫助學(xué)生發(fā)揚(yáng)個(gè)性、提升潛能、提高素養(yǎng)。事實(shí)上，關(guān)聯(lián)性策略主要是引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)約化、模塊化、集成化，從而完善數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

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【作者簡(jiǎn)介】黎瑞（1977— ），女，廣西興業(yè)人，大學(xué)本科學(xué)歷，學(xué)士學(xué)位，一級(jí)教師，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 林 劍）