杜巧云

摘要：幾何動(dòng)點(diǎn)問題因?yàn)榫C合考察學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，一直是幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)問題。動(dòng)點(diǎn)問題學(xué)習(xí)難點(diǎn)的攻克，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展有著不可估量的作用。本文將從軸對(duì)稱、輔助圓、旋轉(zhuǎn)三類解題模型，探討利用幾何畫板探究幾何動(dòng)點(diǎn)問題。

關(guān)鍵詞：幾何畫板 解題模型 為學(xué)而教

一、軸對(duì)稱解題模型的應(yīng)用——直觀展示，準(zhǔn)確成圖

我們需要利用圖形的直觀來尋找思路，再通過數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算解決問題。在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，若學(xué)生無法成圖，則利用幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析，將問題化抽象為具體，尋找運(yùn)動(dòng)變化中的那些量不變，圖形中又有哪些可利用的特殊位置關(guān)系。例 1： 如圖，在銳角△ ABC 中，AB = 4，∠ BAC = 45°，∠ BAC 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，M、N 分別是 AD、AB 上的動(dòng)點(diǎn)， 計(jì)算 BM + MN 的最小值。

評(píng)析：動(dòng)點(diǎn)問題的本質(zhì)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的圖形變化，題目中M、N 都是動(dòng)點(diǎn)，BM 和 MN 都是不確定的值，造成思維上的障礙。可利用軸對(duì)稱變換將 MN 轉(zhuǎn)化 ME，拖動(dòng)點(diǎn) M 再現(xiàn)圖形變化，不難發(fā)現(xiàn) MB 和 ME 的最小值 BE，拖動(dòng) N 的子對(duì)象點(diǎn)E 再現(xiàn)圖形變化， 可知 BE 的最小值為 BF，問題得解。動(dòng)態(tài)的直觀的展示整個(gè)復(fù)雜的圖形變化過程，為學(xué)生尋找最值搭建思維的臺(tái)階。有效突破“想不到”的思維瓶頸，解決“畫不出”的現(xiàn)狀。

二、輔助圓解題模型的應(yīng)用——追蹤軌跡，有跡可循

新課標(biāo)對(duì)圖形變換提出了明確要求，“能夠準(zhǔn)確觀察圖形， 還要會(huì)用語言描述的圖形運(yùn)動(dòng)形式，并能將其運(yùn)動(dòng)變化想象并外化為圖形?！眲?dòng)點(diǎn)引起的圖形變化有時(shí)很隱蔽，教師口述或者板書也很難讓大部分學(xué)生理解想象出來。幾何畫板追蹤點(diǎn)的軌跡， 化隱形為有形，給學(xué)生深度思考搭建腳手架。下面以定點(diǎn)定長(zhǎng)加點(diǎn)圓最值模型為例。

三、旋轉(zhuǎn)解題模型的應(yīng)用——條件搬家，化散為聚

當(dāng)題目中的已知條件比較分散、有等長(zhǎng)線段共端點(diǎn)、未知線段公端點(diǎn)，這時(shí)經(jīng)常利用旋轉(zhuǎn)變換，將條件集中在某一特殊三角形中進(jìn)行計(jì)算。常見的模型有，旋轉(zhuǎn)模型、費(fèi)馬點(diǎn)模型、角含半角模型。畫板編輯中的移動(dòng)點(diǎn)功能，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換，可完美的展示旋轉(zhuǎn)前后圖形相等的量，易于學(xué)生在旋轉(zhuǎn)變化圖形中尋找不變的量以及特殊三角形。

例 3：如圖，已知點(diǎn)P 為△ ABC 內(nèi)一點(diǎn)，AB = 3，BC = 4，∠ ABC = 30°，計(jì)算 PA + PB + PC 的最小值。

評(píng)析：本題中 PB、PA、PC 共頂點(diǎn)，拖動(dòng)點(diǎn) P 三條線段的長(zhǎng)度都會(huì)發(fā)生變化，這些不確定的因素成為解題的干擾。利用幾何畫板的移動(dòng)點(diǎn)功能，構(gòu)造 60°旋轉(zhuǎn)再現(xiàn)線段“搬家”過程，將三條星狀分布的共頂點(diǎn)線段 PB、PA、PC 轉(zhuǎn)化為 DE、EP、PC 首尾相連，拖動(dòng)點(diǎn) E、點(diǎn) P 可知當(dāng) D、E、P、C 四點(diǎn)共線時(shí)和最小為DC，將條件聚集在△ DBC 中進(jìn)行計(jì)算。構(gòu)造旋轉(zhuǎn)模型“化星為折， 化折為直”，直觀感知圖形位置變化，讓學(xué)生在變化的圖形中認(rèn)識(shí)永恒不變的幾何規(guī)律。

評(píng)析：平面內(nèi)點(diǎn)M 為定點(diǎn)，點(diǎn)N 為主動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A′為從動(dòng)點(diǎn)， 且 MA′長(zhǎng)度始終等于 MA，追蹤 A′的軌跡，是以 M 為圓心 MA 為半徑的圓。確定A′的運(yùn)動(dòng)軌跡，拖動(dòng)點(diǎn)N 再現(xiàn)CA′的變化過程， 當(dāng) M、A′、C 三點(diǎn)共線時(shí) CA′最小，最小值為 CF。展示 CA′ 的“前世今生”，在高階的思維探索中活化和遷移知識(shí)形成能力， 讓最值有跡可循。

四、為學(xué)而教——操作體驗(yàn)，讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生

幾何畫板探究解題模型的活動(dòng)設(shè)計(jì)，要為學(xué)生“學(xué)習(xí)”而設(shè)計(jì)， 只有通過主體實(shí)踐活動(dòng)才可形成能力。運(yùn)用幾何畫板，不是教師直接展示最值位置讓學(xué)生記憶模仿。學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)要以學(xué)為主， 讓學(xué)生親自構(gòu)造和拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)，感知圖形的生成過程，經(jīng)歷由動(dòng)點(diǎn)帶來的圖形變化全過程，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、透徹理解動(dòng)點(diǎn)問題的經(jīng)驗(yàn)。

五、結(jié)語

幾何畫板具有強(qiáng)大的交互性和動(dòng)態(tài)性，有效喚醒了學(xué)生對(duì)知識(shí)的好奇心，讓學(xué)生獲得參與探究的奇妙體驗(yàn)，為數(shù)學(xué)課堂注入了新鮮的血液。愿我們?cè)趲缀萎嫲褰虒W(xué)的引領(lǐng)下，讓學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)課堂真正發(fā)生，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革與數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提升， 開啟數(shù)學(xué)課堂的靈動(dòng)之旅。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部著 . 數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn) [M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2] 汪正貴. 為“學(xué)習(xí)”而教 [N]. 中國教師報(bào)，2021-3-24（12）.

（周至縣二曲初級(jí)中學(xué)，陜西 西安 710400）