朱曉玲

[摘? 要] 文章記載了“直線與圓的位置關(guān)系”一課的教學(xué)預(yù)設(shè)和教學(xué)過(guò)程. 教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)依托溫故知新、一題多變、一題多解，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)探究的過(guò)程，孕育創(chuàng)新思維. 通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，研究者提出多媒體的融入是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的需要和變式訓(xùn)練是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的必然選擇的認(rèn)識(shí).

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)新思維;一題多變;一題多解;培養(yǎng)

當(dāng)下，科技迅猛發(fā)展，各種各樣的科學(xué)技術(shù)影響著人們的生活，自然也不可避免地影響到教與學(xué)的方式，將多媒體技術(shù)引入課堂是實(shí)現(xiàn)教育現(xiàn)代化的重要任務(wù)，基于此，多媒體技術(shù)與課程的整合自然應(yīng)運(yùn)而生. 在多媒體輔助下，創(chuàng)設(shè)逼真的教學(xué)環(huán)境，讓知識(shí)的呈現(xiàn)一目了然，給予學(xué)生形象而直觀的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，進(jìn)而有效地拓展思維空間，孕育創(chuàng)新思維. 下面筆者以“直線與圓的位置關(guān)系”一課為例，談?wù)劺枚嗝襟w輔助教學(xué)，喚醒創(chuàng)新意識(shí)的教學(xué)思路.

[?]教學(xué)內(nèi)容分析

高中生在初中階段已經(jīng)對(duì)直線與圓的位置關(guān)系具備了一定的研究能力，雖然本班是普通班，但是學(xué)生勤于思考，并有著較好的基礎(chǔ)，從而為此節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）認(rèn)知目標(biāo)：探索判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，熟練掌握并準(zhǔn)確運(yùn)用圓的半弦、弦心距及半徑間的關(guān)系.

（2）能力目標(biāo)：通過(guò)學(xué)習(xí)，發(fā)展猜想能力和合情推理的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和方法.

（3）情感目標(biāo)：直觀、動(dòng)態(tài)感知多媒體對(duì)于研究幾何圖形的諸多優(yōu)勢(shì)，感悟數(shù)學(xué)美.

2. 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

在直觀體驗(yàn)中通過(guò)對(duì)圖形的觀察，強(qiáng)化發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的意識(shí)，滲透變化的觀點(diǎn);在問(wèn)題的解決中建立數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感受.

3. 教學(xué)方法

充分利用多媒體技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生感受幾何畫板和PPT的有效應(yīng)用.

[?]教學(xué)過(guò)程

1. 依托溫故知新感悟新知

問(wèn)題1：試著說(shuō)一說(shuō)判斷直線與圓位置關(guān)系的方法.

問(wèn)題2：圓的半弦、弦心距及半徑之間有何關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生基于初中階段對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)可以準(zhǔn)確描述以上問(wèn)題. 通過(guò)以上問(wèn)題的復(fù)習(xí)與回顧，在思考和提煉中，準(zhǔn)確得出結(jié)論.

2. 依托一題多變訓(xùn)練思維

例1：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為的點(diǎn)有幾個(gè).

分析：借助d與r的關(guān)系來(lái)判斷圓與直線的相對(duì)位置關(guān)系，這是學(xué)生可以完成的，這里學(xué)生很快通過(guò)判斷交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定點(diǎn)的個(gè)數(shù). 之后，教師再以PPT動(dòng)畫展現(xiàn)整個(gè)過(guò)程，讓學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)有3個(gè)這樣的點(diǎn).

變式題組：

變式1：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè).

變式2：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為2的點(diǎn)有幾個(gè).

變式3：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為3的點(diǎn)有幾個(gè).

變式4：試判斷圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線l：x+y+1=0的距離為5的點(diǎn)有幾個(gè).

學(xué)生再一次借助相同的分析方法，直觀而準(zhǔn)確地得出結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：例1和變式分別從直觀感知和反復(fù)訓(xùn)練中抽象出對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 以上的設(shè)計(jì)并未直接給出問(wèn)題的結(jié)論，僅僅是利用直觀功能豐富了學(xué)生對(duì)新知的直觀感悟，將知識(shí)與方法的探索融入問(wèn)題之中，激起數(shù)學(xué)思考，積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維.

例2：已知圓x2+y2=1，試求出直線l：y=k（x-2）+3與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的值，一個(gè)交點(diǎn)時(shí)呢？沒(méi)有交點(diǎn)呢？

分析：作出圖1，可以發(fā)現(xiàn)直線l本質(zhì)上就是含有參數(shù)k的過(guò)定點(diǎn)P（2，3）的直線系. 更進(jìn)一步地，一邊觀察，一邊利用幾何畫板進(jìn)行操作，從臨界位置開始，經(jīng)歷沒(méi)有交點(diǎn)到有一個(gè)交點(diǎn)，再到有兩個(gè)交點(diǎn)，再到有一個(gè)交點(diǎn)，最后回到?jīng)]有交點(diǎn)的過(guò)程，從而得出相切時(shí)直線的斜率是臨界位置的k值，這樣，通過(guò)一種自然的方式探索得出結(jié)論卻不失其本質(zhì).

變式1：如圖2，已知圓x2+y2=1，試求出直線l：x+y-m=0與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的值，一個(gè)交點(diǎn)呢？沒(méi)有交點(diǎn)呢？

變式2：如圖3，已知曲線y=，試求出直線l：y=k（x-2）+3與曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的值，兩個(gè)交點(diǎn)呢？沒(méi)有交點(diǎn)呢？

變式3：如圖4，已知曲線y=，試求出直線l：x+y-m=0與曲線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)m的值，兩個(gè)交點(diǎn)呢？沒(méi)有交點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖：由于本節(jié)課僅僅是深入研究直線與圓的位置關(guān)系，所以這里的變式訓(xùn)練主要是為了在關(guān)鍵處撥動(dòng)學(xué)生的思維. 這里從簡(jiǎn)潔干練的例2出發(fā)設(shè)計(jì)變式題組：變式1改變了直線方程，并引入了新的參數(shù)，以探究位置關(guān)系找尋到臨界位置和觀察直線縱截距的變化過(guò)程;變式2則完成了從圓到半圓的變化，引導(dǎo)學(xué)生在觀察位置關(guān)系和交點(diǎn)變化中形成認(rèn)識(shí);變式3中的曲線方程和直線方程都有了變化，從而跳躍到更加一般的情形下. 在這樣改變題設(shè)條件的變式題組中，在幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示下，讓學(xué)生更加深入地理解問(wèn)題本質(zhì)，利于在數(shù)學(xué)問(wèn)題中尋求真理，喚醒創(chuàng)新思維[1].

3. 依托一題多解活化思維

例3：已知直線l：mx+3y-4m-6=0和圓C：（x-1）2+（y-2）2=16.

（1）求證：圓C與直線l相交;

（2）試求出直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)直線l的方程，截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)呢？

分析：第（1）問(wèn)難度較小，學(xué)生可以運(yùn)用多種方法予以證明;對(duì)于第（2）問(wèn)，學(xué)生可以在直線l的動(dòng)態(tài)變化中得出弦長(zhǎng)最短時(shí)的情形，即l⊥CP（如圖5），且明晰直線l過(guò)圓心C時(shí)截得的弦長(zhǎng)AB最長(zhǎng). 不過(guò)，由于此處l⊥CP時(shí)弦長(zhǎng)AB最短這一情形說(shuō)明起來(lái)有一些難度，不失時(shí)機(jī)地運(yùn)用幾何畫板動(dòng)態(tài)證明就顯得十分必要了，它直觀而簡(jiǎn)潔地完成了證明過(guò)程.

引申：試求出直線l被圓C截得的弦與圓心C構(gòu)成的三角形面積最大時(shí)直線l的傾斜角.

學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后，易生成以下思路：

解法1：如圖6，從三角形的面積入手，求以AB為底邊，圓心C到直線l的距離為高的三角形面積. 設(shè)直線l的方程為y-2=k（x-4），則圓心C到直線l的距離是d=，弦AB=2，S=AB·d=3. 令t=（0

t-

+. 當(dāng)t=時(shí)，即k=±2時(shí)，μ=，（S）=8. 當(dāng)斜率k不存在時(shí)，S=3<8. 所以當(dāng)直線傾斜角是arctan2或π-arctan2時(shí)，面積最大.

解法2：從面積的表示入手得出面積公式S=absinθ，且圖6中的三角形為等腰三角形，當(dāng)兩半徑夾角為90°時(shí)面積最大，從而借助等腰直角三角形線段的大小關(guān)系易得r=d，進(jìn)而得出正確結(jié)論.

解法3：由解法1中S=AB·d=md，且m2+d2=r2，易想到借助基本不等式解決本題：當(dāng)且僅當(dāng)m=d時(shí)面積最大，進(jìn)而得出正確結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖：這樣的問(wèn)題在后期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到，這里教師鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，引導(dǎo)學(xué)生更深層次地看待問(wèn)題，從一般性解法到創(chuàng)新解法，逐步開啟思維閘門，更好地把握知識(shí)間的聯(lián)系.

[?]教學(xué)反思

1. 多媒體的融入是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的需要

新課程教學(xué)以發(fā)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，著力創(chuàng)設(shè)利于數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)思維的教學(xué)情境，將思維能力的培養(yǎng)落到行動(dòng)上[2]. 多媒體的融入為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)注入了新的活力，學(xué)生在直觀體驗(yàn)的刺激下形成了新的活動(dòng)體驗(yàn)，完成了重難點(diǎn)的突破，實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)新思維的孕育. 本課中，學(xué)生對(duì)位置關(guān)系的理解很大程度上來(lái)自于對(duì)直觀圖形和動(dòng)態(tài)圖形的直觀感悟，利用幾何畫板進(jìn)行演示既培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象，又讓學(xué)生直觀感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，同時(shí)很好地孕育了創(chuàng)新思維.

2. 變式訓(xùn)練是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的必然選擇

變式訓(xùn)練不僅可以優(yōu)化解決問(wèn)題的思路，也是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的必然選擇，它是教師課堂訓(xùn)練的最重要方式. 本課中的一題多解和一題多變正是學(xué)生在自我探索和集體討論中獲得的結(jié)論. 通過(guò)這樣的訓(xùn)練形式將學(xué)生的已有知識(shí)完整匯總，真正做到“一葉知秋”. 同時(shí)，教師在預(yù)設(shè)的框架下應(yīng)對(duì)學(xué)生的生成作出肯定、鼓勵(lì)和說(shuō)明，如一名學(xué)生在一題多解的活動(dòng)中聯(lián)想到“補(bǔ)三角形為菱形，且該菱形為正方形時(shí)面積最大”這一思路，這就是一個(gè)很好的創(chuàng)新思維的活動(dòng)歷程，筆者自然給予了極大的表?yè)P(yáng). 就這樣，在一來(lái)二去的交流中，讓學(xué)生真正理解和掌握問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了創(chuàng)新思維的生長(zhǎng).

總之，如何有效地溝通多媒體與課堂教學(xué)碰撞出創(chuàng)造的火花是新課程下每個(gè)一線數(shù)學(xué)教師都需要思考的問(wèn)題. 創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)并非一蹴而就的，需要融入每一節(jié)課中，融化在每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，需要利用多媒體技術(shù)，需要聚焦每一個(gè)教學(xué)元素，讓學(xué)生真正進(jìn)入數(shù)學(xué)思考的過(guò)程，從而提升創(chuàng)新思維能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 耿克非. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力[J]. 安徽教育，2004（11）.

[2]? 左俊鳳. 充分利用教材培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2003（02）.