張靜 徐小琴 吳爽

[摘? 要] 解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，運(yùn)算量大、題型變化多、數(shù)形互化等是其突出特點(diǎn).隨著新課改對學(xué)生探究意識和應(yīng)用意識的重視，解析幾何中也逐漸滲透存在性問題.以一道典型解析幾何試題為例，從問題的解法探究到問題推廣應(yīng)用進(jìn)行深刻剖析，以期對此類探究性問題給予方法指導(dǎo).

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;解法探究;問題推廣

解析幾何是“代數(shù)”與“幾何”溝通的橋梁，以數(shù)形互化為主要手段，巧妙地將幾何問題借助代數(shù)運(yùn)算得解.本文以2015年四川卷理科20題為探究素材，利用點(diǎn)對稱法、角平分線定理、構(gòu)造平行線段、執(zhí)果朔因法、作差法、代數(shù)消元法、化簡相消法、直接證明法8種方法求解問題，并對此存在性問題進(jìn)行推廣研究.

[?]試題再現(xiàn)

（2015年四川卷理科20題）如圖1，橢圓E：+=1（a>b>0）的離心率是，過點(diǎn)P（0，1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓E截得的線段長為2.

（1）求橢圓E的方程.

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得=恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

[?]解法探究

解題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要活動[1]. 引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度分析問題往往會產(chǎn)生不同的解題思路，一題多解有助于學(xué)生加深對知識的理解，構(gòu)建和完善數(shù)學(xué)認(rèn)知體系，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高數(shù)學(xué)解題能力.

對于問題（1），根據(jù)題目條件易得+=1. 對于問題（2），考查對=的轉(zhuǎn)化和處理，下面利用點(diǎn)對稱法、角平分線定理、構(gòu)造平行線段[2]、執(zhí)果朔因法、作差法、代數(shù)消元法、化簡相消法、直接證明法這8種方法求解.

法一：（點(diǎn)對稱法）

當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn). 若存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有==1，即

QC

=

QD

.所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y）.

當(dāng)直線l與x軸垂直時，設(shè)直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，則M，N的坐標(biāo)分別為（0，），（0，-）. 由=，有=，解得y=1，或y=2.

所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)坐標(biāo)只可能為（0，2）.

下證：對任意直線l，均有=.

當(dāng)直線l的斜率不存在時，結(jié)論成立.

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x，y）. 聯(lián)立

+

=1，

y=kx+1，有（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以x+x=-，xx=-. 因此+==2k. 易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-x，y）. 又k===k-，k=== -k+=k-，所以k=k，即Q，A，B′三點(diǎn)共線. 所以===.

故存在于點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過作點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)B′，將QB轉(zhuǎn)化成y軸右邊的QB′，由QA，QB′的斜率表達(dá)式，易證Q，A，B′三點(diǎn)共線，最后利用相似三角形的知識得出==. 該方法設(shè)而不求，在解決問題的過程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將數(shù)與形巧妙結(jié)合，避免了復(fù)雜的運(yùn)算過程.

法二：（角平分線定理）

前同解法一.

又k===k-，k===k-，所以k+k=2k--=2k-=0，又因?yàn)镼P所在直線垂直于x軸，則QP是∠AQB的角平分線. 根據(jù)角平分線定理，=.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系說明QP是∠AQB的角平分線，于是根據(jù)角平分線定理得出等式. 使用該方法解決問題的關(guān)鍵是充分認(rèn)識到等式的幾何特征，并聯(lián)想到角平分線定理. 該方法簡潔明了，對學(xué)生的初等幾何知識掌握情況具有考查性. 使用該方法需要學(xué)生具有一定的初等幾何知識儲備量和敏銳的觀察能力.

法三：（構(gòu)造平行線段）

如圖3，過A作x軸的垂線，過Q作線段QG使G點(diǎn)在垂線上且QG=QA，則AG∥PQ. 要證=，即證=，即證△ABG～△PBQ，即證B，Q，G共線.

前同解法一.

由QG=QA易知G（x，4-y），于是k===k-，k===-k+，又+==2k，故k=k，即B，Q，G共線.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過構(gòu)造平行線段，將線段比例關(guān)系轉(zhuǎn)化到相似三角形中，再利用相似三角形知識求證等式. 解決問題的關(guān)鍵在于通過轉(zhuǎn)化由比例關(guān)系聯(lián)想到相似三角形. 該方法具有一定的巧妙性，雖然過程簡單，但不易操作. 使用該方法需要學(xué)生具有獨(dú)特的審題視角.

法四：（執(zhí)果朔因法）

前同解法一.

欲證=，即=，則需證=，由等比定理得，需證=，化簡得（kxx-x）2=（kxx-x）2.

因?yàn)閤≠x，所以需證kxx-x=-kxx+x，即需證x+x=2kxx，由x+x= -，xx=-，該式顯然成立.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：從=出發(fā)，構(gòu)建代數(shù)等式，尋求等式成立的條件. 在解決問題的過程中層層遞進(jìn)，充分利用了等式的性質(zhì)，最后運(yùn)用韋達(dá)定理證明等式成立. 該方法又稱分析法，從結(jié)論出發(fā)逐步推向已知，是證明結(jié)論常用的方法之一，學(xué)生易學(xué)，但使用該方法解決問題時需要方向明確，注意等式成立的條件.

法五：（作差法）

前同解法一.

因?yàn)?=-==0，因此=. 故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：通過將等式=變形為-=0，結(jié)合韋達(dá)定理證得等式成立，從而解決問題.該方法簡單快捷，關(guān)鍵在于對等式進(jìn)行作差處理，變形后再求證，能夠大量減少計算步驟，節(jié)約時間.

法六：（代數(shù)消元法）

前同解法一. 這里考慮不用韋達(dá)定理.

不難得出=，而==. 借助代數(shù)消元思想，考慮不用韋達(dá)定理的消元法，分別對的常數(shù)項消元、一次項消元、常數(shù)項與一次項消元、整體消元[3]，下簡述一次項消元.

因?yàn)?kx-1=-，2kx-1= -. 又y=kx+1，y=kx+1，

從而==== =. 又因?yàn)?，所以=，即=.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：用代數(shù)式分別表示出和，觀察式子，借助代數(shù)消元思想對進(jìn)行消元處理，于是得出=，從而解決問題. 該方法充分利用了已有代數(shù)式的特點(diǎn)，通過帶入消元，回避了韋達(dá)定理，解法新穎.

法七：（化簡法）

當(dāng)直線l與x軸平行時，設(shè)直線l與橢圓相交于C，D兩點(diǎn). 如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則有==1，即QC=QD. 所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，y）.

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x，y）. 聯(lián)立

+

=1，

y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0. 其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0，所以，x+x=-，xx=-. 由=得=，化簡得[kxx+（1-y）x]2=[kxx+（1-y）x]2. 因?yàn)閤≠x，所以kxx+（1-y）x=-kxx-（1-y）x. 即（1-y）（x+x）= -2kxx，=，所以1-y= -1，y=2.

當(dāng)直線l斜率不存在時，===3-2，==3-2，所以此時=也成立.

綜上可知，存在點(diǎn)Q（0，2）使得=恒成立.

評注：通過直線l與x軸平行的特殊情況找到Q點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該滿足（0，y）的形式;然后假設(shè)直線l的斜率存在，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理對等式=進(jìn)行計算，不斷化簡等式求出y，從而得出Q點(diǎn)的坐標(biāo);最后對直線l斜率不存在的情況帶入進(jìn)行驗(yàn)證.

法八：（直接證明法）

當(dāng)直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為y=kx+1，A，B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x，y）. 設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）. 聯(lián)立

+

=1，

y=kx+1，可得（2k2+1）x2+4kx-2=0，其判別式Δ=（4k）2+8（2k2+1）>0. 所以x+x=-，xx=-. 由=得=，化簡得[（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）]（x-x）=0.因?yàn)閤≠x，所以（-2m+2k-2nk）xx+（n-1）2（x+x）=0，即=0. 要使=恒成立，則需4n-4-4（n-1）2=0，

4m=0，解得m=0，n=2（n=1舍去）. 所以求得Q（0，2）.

當(dāng)直線l斜率不存在時，===3-2， ==3-2，所以此時=也成立.

綜上可知，存在點(diǎn)Q（0，2），使得=恒成立.

評注：首先假設(shè)直線斜率存在，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，然后聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求解等式=，得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，最后對直線l斜率不存在的情況進(jìn)行帶入驗(yàn)證. 該方法思路清晰，是多數(shù)學(xué)生容易想到的方法，但這種方法步驟較多，且運(yùn)算量大. 因此，該方法對學(xué)生的運(yùn)算能力有一定的要求.

[?]問題推廣

推廣是數(shù)學(xué)研究中極重要的手段之一，數(shù)學(xué)自身的發(fā)展在很大程度上依賴于推廣[4]. 抓住問題本質(zhì)，通過對問題進(jìn)行推廣，產(chǎn)生新問題，探尋新方法，能夠拓展學(xué)生的知識視野，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和創(chuàng)造能力.問題推廣還有利于學(xué)生體會數(shù)學(xué)研究的一般思路：研究特殊問題→提出一般問題→解決新問題[5].

研究題目，將問題一般化，將P點(diǎn)一般化為P（0，m）（b>m>-b）放在y軸上，探究發(fā)現(xiàn)，存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q使等式恒成立;再考慮將一般化后的P點(diǎn)放在x軸上，仍存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q使等式成立.要證等式成立，根據(jù)角平分線定理，即證∠PQA=∠PQB，于是問題也可推廣為證明∠PQA=∠PQB.考慮雙曲線和拋物線，探究發(fā)現(xiàn)問題推廣到雙曲線、拋物線仍然成立[6].

推廣1：橢圓E：+=1（a>b>0），過點(diǎn)P（0，m）（b>m>-b）（P（m，0）（a>m> -a））的動直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn). 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q

0，

Q

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推廣2：雙曲線E：-=1（a>0，b>0），過點(diǎn)P（0，m）（P（m，0）（a>m>-a））的動直線l與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q

0，-

Q

，0

，使得=或∠PQA=∠PQB.

推廣3：拋物線E：y2=2px（p>0），過點(diǎn)P（m，0）（m>0）的動直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系xOy中，存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q（-m，0），使得=或∠PQA=∠PQB.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 李萌浩. 要專注高考考點(diǎn)更需拓寬學(xué)生視野——高三復(fù)習(xí)課一題多解教學(xué)方法探究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（09）.

[2]? 劉玲，王強(qiáng). 不忘初心任性算到底——2015年四川高考數(shù)學(xué)第20題[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016，35（08）.

[3]? 徐小琴，趙思林. 2015年高考數(shù)學(xué)四川卷理科20題探究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（15）.

[4]? 朱華偉，張景中. 論推廣[J]. 數(shù)學(xué)通報，2005（04）.

[5]? 劉成龍，胡琳. 高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的幾種類型及評析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（05）.

[6]? 周文超. 靈動的思維與執(zhí)著的探索——兩道高考題的教學(xué)思考[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（07）.