譚雪梅

關(guān)鍵詞：金課;泰勒公式;極限

陳寶生部長在2018年召開的新時(shí)代中國高等學(xué)校本科教育工作會(huì)議上第一次提出“金課”，明確指出：大學(xué)生要有效“增負(fù)”，講有深度、有難度、有挑戰(zhàn)度的“金課”。高等數(shù)學(xué)作為各大高校理工類的公共必修課之一，在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及考研過程中占有重要的地位。高等數(shù)學(xué)這門課程的研究對(duì)象是函數(shù)，研究方法是極限，因此能夠熟練地掌握極限的計(jì)算方法顯得至關(guān)重要。泰勒公式內(nèi)容比較抽象，形式也比較特殊，學(xué)生一般較難吃透泰勒公式的實(shí)質(zhì)，更難掌握對(duì)此公式的靈活運(yùn)用。因此，泰勒公式教學(xué)一直是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程及應(yīng)用中的一個(gè)難點(diǎn)。為了使學(xué)生能夠更好地理解和運(yùn)用泰勒公式求極限，本文結(jié)合作者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，旨在金課理念下以泰勒公式的教學(xué)及在求極限過程中的應(yīng)用為例，探討高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革。

一、提出問題

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，我們總是要求學(xué)生用所學(xué)的已知的知識(shí)點(diǎn)來求未知的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到能夠?qū)?fù)雜的問題簡單化的目的。對(duì)函數(shù)的研究也是一樣，我們希望用簡單的函數(shù)來表示復(fù)雜的函數(shù)，在我們所學(xué)的函數(shù)中，多項(xiàng)式函數(shù)具有形式簡單，易于理解和易于計(jì)算等這些優(yōu)點(diǎn)。因此文章首先給出泰勒公式研究的主要問題，是將復(fù)雜的函數(shù)如何用多項(xiàng)式近似的表示出來，水到渠成就成為我們著重考慮的問題，后續(xù)以及如何運(yùn)用該公式來求極限，對(duì)于這些問題的回答，就是我們今天要介紹的泰勒公式。

二、解決問題

高等數(shù)學(xué)是大一新生的一門公共必修課程，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)知能力和邏輯思維能力都還停留在高中階段，他們?cè)趧傞_始學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，腦海中還沒有清晰的連續(xù)、逼近等概念。其實(shí)，利用多項(xiàng)式近似表示給定的某一函數(shù)的思想，在函數(shù)的連續(xù)和微分的學(xué)習(xí)中就有體現(xiàn)。

通過觀察圖形，我們可以得到，具有相同切線的多項(xiàng)式比只有交點(diǎn)的多項(xiàng)式逼近效果要好，也就是說一次多項(xiàng)式比零次多項(xiàng)式近似效果要好。那么自然地就會(huì)想到，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近函數(shù)的效果是否會(huì)越好？我們通過圖2來回答這個(gè)問題，此圖是利用多項(xiàng)式來逼近正弦函數(shù)的效果。

在這個(gè)圖形中，發(fā)現(xiàn)有一次，三次，五次及七次多項(xiàng)式，結(jié)論是在這些多項(xiàng)式中，用七次多項(xiàng)式來逼近正弦函數(shù)的效果更好。那么關(guān)鍵問題是如何求得這樣的多項(xiàng)式呢？于是引入泰勒中值定理如下：

定理：如果函數(shù)（x）在‰處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么存在‰的一個(gè)鄰域，對(duì)于該鄰域內(nèi)的任意x，有：

三、應(yīng)用

利用泰勒公式來求極限時(shí)，大多數(shù)學(xué)生遇到的困難是不太確定函數(shù)展開的階數(shù)。我們需要注意極限的形式，然后根據(jù)題目的形式來確定泰勒公式展開的階數(shù)。這里，我將分成三種情況來舉例學(xué)習(xí)：

四、總結(jié)

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，解決數(shù)學(xué)問題往往需要有限、無限的相互轉(zhuǎn)換，在解決某些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往是事半功倍的效果，這也對(duì)泰勒公式的存在具有重要意義。在實(shí)踐教學(xué)過程中，通過例子探討了泰勒公式在求極限時(shí)的應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)到了泰勒公式應(yīng)用求極限的方便和實(shí)際性。