孫鳳陽(yáng) 劉君

【摘要】證明三角形全等是初中幾何學(xué)習(xí)中的一種重要的解題方法，在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，這對(duì)學(xué)生而言，往往是難點(diǎn).教師應(yīng)當(dāng)善于歸納總結(jié)一些常見的輔助線作法，從中找出解題規(guī)律，進(jìn)而有效解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】全等三角形;輔助線;解題方法

一、引 言

添加輔助線是平面幾何問(wèn)題求解的重要手段，通過(guò)添加輔助線可以將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，對(duì)于不同情形的幾何問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ枰越獯?下面介紹證明三角形全等時(shí)常見的六種輔助線作法以及相關(guān)例題，分別是截長(zhǎng)補(bǔ)短法、倍長(zhǎng)中線法、作平行線法、補(bǔ)全圖形法、角平分線法、作垂線段法.

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法

對(duì)于求線段和差的類型題，當(dāng)題中沒(méi)有明顯的等量關(guān)系式時(shí)，我們可以將較長(zhǎng)的線段截短，或者將較短的線段延長(zhǎng)，從而獲得相等的線段，為三角形全等的判定增添?xiàng)l件，通過(guò)證明三角形全等，進(jìn)而得出線段的和、差、倍、分關(guān)系.

圖1例1 如圖1，已知AP∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點(diǎn)E，CE的連線交AP于點(diǎn)D，求證：AD+BC=AB.

分析 題中不能直接得出AD+BC=AB，所以需要構(gòu)造相等的線段.在AB上取一點(diǎn)H，使AD=AH，證明 △DAE≌△HAE，得到∠EHA=∠EDA，進(jìn)而證明△BEH≌△BEC，得到BH=BC，從而證明AD+BC=AB.

證明 在AB上截取AH=AD，連接EH.

∵AE平分∠PAB，

∴∠DAE=∠HAE.

在△DAE和△HAE中，

AD=AH，

∠DAE=∠HAE，

AE=AE，

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴∠ADE=∠AHE.

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C=180°.

∵∠AHE+∠EHB=180°，

∴∠EHB=∠C.

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBH=∠EBC.

在△BEH和△BEC中，

∠EHB=∠C，

∠EBH=∠EBC，

BE=BE，

∴△BEH≌△BEC（AAS），

∴BC=BH，

∴AD+BC=AH+BH=AB.

總結(jié) 截長(zhǎng)補(bǔ)短法是證明線段和、差、倍、分關(guān)系的有效方法，通過(guò)將線段截長(zhǎng)或補(bǔ)短，構(gòu)成相等的線段，從而構(gòu)造全等三角形，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)證明結(jié)論.

三、倍長(zhǎng)中線法

在幾何問(wèn)題中，若已知條件中涉及中線或線段中點(diǎn)時(shí)，將三角形中線延長(zhǎng)一倍，通過(guò)兩個(gè)三角形全等，將各條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析和判斷，得出證明結(jié)果.

圖2例2 如圖2，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn).

（1）求證AB+AC>2AD;

（2）若AB=5，AC=3，求AD長(zhǎng)的取值范圍.

分析 將中線AD延長(zhǎng)一倍至點(diǎn)F，證明然后△ACD≌△FBD，得到BF=AC，從而將AB，AC和2AD轉(zhuǎn)化到△ABF中，從而得出結(jié)論.

證明 （1）如圖2，延長(zhǎng)AD至F，使DF = AD，連接BF.

∵D是BC的中點(diǎn)，易證△ADC≌△FDB（SAS），

∴AC=BF.

∵在△ABF中，AB+BF>AF，

即AB+AC>2AD.

解 （2）在△ABF中，AB-BF<2AD

∵AB=5，AC=3，

∴5-3<2AD<5+3，

∴1

總結(jié) 對(duì)于含有中線或線段中點(diǎn)的三角形問(wèn)題，通過(guò)“倍長(zhǎng)中線” 可以構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，進(jìn)而在求解線段之間的關(guān)系時(shí)，轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系，這為我們解決線段之間的關(guān)系問(wèn)題提供了有效方法.

四、作平行線法

通過(guò)作平行線法將相等的角轉(zhuǎn)化，與等腰三角形中兩個(gè)相等的底角構(gòu)成等量關(guān)系，形成新的等腰三角形，達(dá)到對(duì)應(yīng)角相等的目的，構(gòu)造全等三角形，為解決問(wèn)題提供技巧.

圖3例3 如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，E是AC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD=CE，DE交BC于點(diǎn)F，DF=EF，求證：AB=AC.

分析 通過(guò)作DP∥AC，易證△DPF≌△ECF，得到DP=CE，又由BD=CE等量代換得到BD=DP，即△DBP為等腰三角形，則有∠B=∠DPB=∠ACB，可得AB=AC.

證明 作DP∥AC交BC于P.

∵DP∥AE，∴∠FDP=∠FEC，∠DPB=∠ACB.

在△DFP和△EFC中，

∠DFP=∠EFC，

DF=EF，

∠PDF=∠CEF，

∴△DFP≌△EFC（SAS），∴DP=EC.

又∵BD=CE，∴DB=DP，

∴∠B=∠DPB=∠ACB，

∴AB=AC.

總結(jié) 作平行線法可以將已知角轉(zhuǎn)化成相等的角，構(gòu)造兩個(gè)三角形全等，或通過(guò)全等構(gòu)造相等的角.作平行線法經(jīng)常應(yīng)用于以等腰三角形或等邊三角形為背景的題目中，通過(guò)作平行線構(gòu)造相等的角，從而構(gòu)造全等三角形.

五、補(bǔ)全圖形法

在一些三角形的證明問(wèn)題中，將某兩條線段（邊）延長(zhǎng)并相交于一點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)完整的圖形，便于我們找到更多的相等關(guān)系，從而構(gòu)造全等三角形，通過(guò)進(jìn)一步證明解決要求證的問(wèn)題.

圖4例4 如圖4，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于點(diǎn)D，AE⊥BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2AE.