馬曉娟

摘 要：獨立重復(fù)實驗是研究隨機現(xiàn)象的重要途徑之一，很多概率模型的建立都以獨立重復(fù)實驗為背景。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與實際現(xiàn)象之間的橋梁，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。本文以“獨立重復(fù)實驗與二項分布”教學(xué)為例，探討了如何開展高中數(shù)學(xué)建?；顒?。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;獨立重復(fù)實驗

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2021）30-0059-02

引 言

近年來，數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模這兩個術(shù)語使用的頻率越來越高，人們對數(shù)學(xué)建模的關(guān)注程度也與日俱增。數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在它的傳統(tǒng)領(lǐng)域——物理領(lǐng)域繼續(xù)取得重要進展，還迅速進入人們生產(chǎn)和生活的許多新領(lǐng)域，如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、醫(yī)學(xué)、社會等領(lǐng)域。人們樂于在外出時乘坐舒適、快捷又安全的大型客機，其整個設(shè)計過程是由一種將數(shù)學(xué)與計算機相結(jié)合的被稱為計算機輔助設(shè)計（CAD）的先進的數(shù)學(xué)技術(shù)完成的。其生產(chǎn)過程則是用工程師建立的控制生產(chǎn)過程的數(shù)學(xué)模型，對控制裝置做出相應(yīng)的設(shè)計和計算后實現(xiàn)的。為了保障人民的生命健康，醫(yī)學(xué)專家經(jīng)常開發(fā)和研制新的藥物和醫(yī)療器械，而一種新藥或器械的試制必須經(jīng)過反復(fù)實驗，以獲得充足的數(shù)據(jù)，并利用數(shù)學(xué)方法模擬療效數(shù)學(xué)模型后方可分析療效，從而有效地指導(dǎo)臨床治療[1]。

高中數(shù)學(xué)新教材和舊教材相比，更注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用和對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，注重應(yīng)用數(shù)學(xué)知識構(gòu)建模型，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、內(nèi)容分析

獨立重復(fù)實驗與二項分布是用事件的獨立性來研究一類問題，概率論中被稱為伯努利概型，伯努利概型是概率論中研究較多的數(shù)學(xué)模型之一，概括了許多實際問題，因而很有實用價值。它也為今后進一步學(xué)習概率論奠定了基礎(chǔ)。值得一提的是，我們由伯努利概型可以解決一類“隨機游動”的問題。下面，筆者將結(jié)合教材中的例題，以及醉漢隨機游走和姚明投球命中率的實例，按照數(shù)學(xué)建模的五個步驟，建立二項分布模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。這也是這節(jié)課的重點，即理解獨立重復(fù)試驗、二項分布，并應(yīng)用二項分布模型解決一些簡單的實際問題。學(xué)生可采用自主探究、合作交流的形式，從具體事例中歸納出數(shù)學(xué)概念，充分體會知識的發(fā)現(xiàn)過程，進而發(fā)展自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);利用二項分布的有關(guān)知識解釋生活中的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語言表達世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)[2]。

二、學(xué)生情況分析

學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)：通過前面的學(xué)習，學(xué)生已經(jīng)初步掌握了有關(guān)概率和統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，如可能事件概率、互斥事件概率、條件概率、相互獨立事件概率的求法、隨機變量分布及簡單的組合知識。另外，學(xué)生也學(xué)習過一些研究問題的方法，如特殊到一般、具體到抽象等，且有了一定的抽象概括能力。這為學(xué)生學(xué)習本節(jié)內(nèi)容做好了知識和方法上的鋪墊。

可能遇到的困難：本節(jié)內(nèi)容是從生活實例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出抽象n重伯努利實驗的概型，并利用伯努利概型的有關(guān)知識解釋生活中的一些現(xiàn)象。這對學(xué)生抽象概括能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)語言的表達能力要求較高。利用一個新的概率模型解釋生活中的現(xiàn)象對學(xué)生來說有一定的困難。教學(xué)難點：利用二項分布模型來解決實際問題，即伯努利模型的構(gòu)建。

三、教學(xué)過程設(shè)計

（一）分析實例

實例1：隨機游走模型

想象在曼哈頓東西南北格點化的街道中有一個醉漢，他每次到達一個交叉路口時都會隨機選擇向東、向北兩個方向中的一個，然后繼續(xù)前行;在走到下一個路口時又隨機選擇一個方向……如此繼續(xù)下去，這個醉漢回到家的概率是多少？

模型假設(shè)：醉漢每個時間單位到達一個交叉路口，向東或者向北前進，向東的概率為p，向北的概率為1-p，假設(shè)醉漢的家在點M（4，3）處（見圖1），求經(jīng)過7個時間單位后醉漢剛好到家的概率。

模型建立與求解：

將醉漢看成質(zhì)點，總共經(jīng)過7次移動，向東4次，向北3次，經(jīng)過7個單位后，醉漢剛好到家的概率為P=C47p4（1-p）3，滿足二項分布。

實例2：姚明投球

姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次投籃的命中率相同，請問他4投3中的概率是多少？（以上有關(guān)數(shù)據(jù)由學(xué)生課前查閱資料并收集整理）

模型假設(shè)：假設(shè)姚明每次投籃的命中率是相同的。

模型建立與求解：

問題：姚明作為中鋒，他職業(yè)生涯的罰球命中率為0.8，假設(shè)他每次投籃的命中率相同，請問他4投3中的概率是多少？設(shè)姚明投中球的個數(shù)為x，x的分布列是怎樣的？

學(xué)生活動：小組合作討論。

分解問題：（1）在4次投籃中他恰好命中3次的情況有幾種？（2）說出每種情況的概率是多少？（3）上述四種情況能否同時發(fā)生？（4）設(shè)姚明投中球的個數(shù)為x，x的分布列是怎樣的？

教師行為：引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，讓學(xué)生大膽去說，教師逐步修正，完善學(xué)生的說法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

答案（學(xué)生拿自己的草稿在投影下講）：

Ai表示姚明第i次投中球，則表示姚明第i次沒投中球。姚明4投3中包含以下事件：，，

，共種，每種事件的概率為。故4投3中的概率為。x的分布列為（見表1）。

上述解答是一個對前面所學(xué)知識的應(yīng)用過程。學(xué)生看到最后的結(jié)果，有一種“撥開云霧見青天”的感覺，這不就是二項式定理嗎？學(xué)生熱情高漲，把對知識的學(xué)習和掌握過程變成了對知識的探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、創(chuàng)新的過程。