摘 要 數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換是學(xué)生從不同角度和不同層次理解與掌握知識(shí)本質(zhì)的過程，其轉(zhuǎn)換情況能正確反映學(xué)生的思維水平。用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換水平，能正確描述和分析學(xué)生的思維發(fā)展層次，幫助學(xué)生明晰努力方向和路徑，促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展數(shù)學(xué)思維、提升學(xué)業(yè)質(zhì)量、實(shí)現(xiàn)學(xué)科發(fā)展的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞 SOLO評(píng)價(jià) 數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換 思維發(fā)展

數(shù)學(xué)語言一般包括文字語言、圖表語言和符號(hào)語言三種。小學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀、理解或表達(dá)時(shí)都要把“一種數(shù)學(xué)語言形式轉(zhuǎn)換成已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的學(xué)習(xí)者本人能理解的數(shù)學(xué)語言形式，或者從多種不同的語言形式中篩選、組合，最終轉(zhuǎn)換成一種恰當(dāng)?shù)恼Z言形式”[1]。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換是學(xué)生從不同角度和不同層次理解與掌握知識(shí)本質(zhì)的過程，其轉(zhuǎn)換情況能正確反映學(xué)生的思維水平。SOLO理論是香港大學(xué)教育心理學(xué)教授比格斯總結(jié)的一種以等級(jí)描述為特征“可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)”的質(zhì)性評(píng)價(jià)方法。這種理論把學(xué)生思維由低到高分為前結(jié)構(gòu)、單點(diǎn)結(jié)構(gòu)、多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)和抽象拓展結(jié)構(gòu)”五個(gè)層次[2]。用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換水平能正確描述和分析學(xué)生的思維發(fā)展層次。

一、基于SOLO理論的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換評(píng)價(jià)實(shí)踐

1.用SOLO理論評(píng)價(jià)文字語言的轉(zhuǎn)換

文字語言就是“經(jīng)過加工、改造、限定和精確形成的數(shù)學(xué)化語言”[3]。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，文字語言是學(xué)生最通用、直白和易于理解的數(shù)學(xué)語言，不但是呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，而且是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)交流的媒介，還能起到補(bǔ)充和解釋的作用。對(duì)文字語言表達(dá)的數(shù)學(xué)信息，學(xué)生有時(shí)要適當(dāng)轉(zhuǎn)換才能理解其中的數(shù)量關(guān)系，并用符號(hào)直觀表達(dá)或抽象推理。用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的文字語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學(xué)生對(duì)文字語言的理解能力、正確認(rèn)識(shí)學(xué)生的抽象思維水平。

【案例1】有一種玩偶，每小盒裝4個(gè)，要5元;每大盒裝6個(gè)，要7元。如果要買40個(gè)玩偶，可以怎樣整盒買？

問題中的數(shù)學(xué)信息主要用文字語言呈現(xiàn)，學(xué)生先要認(rèn)真閱讀，弄清條件和問題之間的聯(lián)系，在解決問題過程中轉(zhuǎn)換文字語言。按照SOLO理論，學(xué)生轉(zhuǎn)換文字語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學(xué)生不會(huì)解答或隨意列式為40×5=200元、40×7=280元等。不會(huì)解答說明學(xué)生不理解題意，無法正確轉(zhuǎn)換文字語言;隨意列式雖然把文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，但列式錯(cuò)誤，說明學(xué)生不理解數(shù)量關(guān)系。

（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能正確理解題意，明確某個(gè)線索，并根據(jù)線索解決問題，但思路單一。學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)40個(gè)玩偶正好是10小盒，要5×10=50元。雖然問題中的數(shù)學(xué)信息較多，但學(xué)生只從中發(fā)現(xiàn)明顯的倍數(shù)關(guān)系，思維較簡(jiǎn)單。

（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問題的不同線索，并形成不同的解題思路，但只能孤立分析，不能從整體認(rèn)識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)。學(xué)生除了想到只買小盒的方案外，還想到大盒和小盒組合購買方案中的一種情況，如買7小盒、2大盒，要付5×7+7×2=49元。列式迅速、正確，說明學(xué)生轉(zhuǎn)換文字語言流暢，但思維不開闊、方法不全面。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生不但能發(fā)現(xiàn)問題中多個(gè)相關(guān)聯(lián)的信息和線索，而且能靈活解決問題。除單點(diǎn)結(jié)構(gòu)和多點(diǎn)結(jié)構(gòu)方案外，還想到買4大盒、4小盒或者6大盒、1小盒中的一種購買方案。解決問題思路多樣并正確，說明學(xué)生分析問題思路清晰，把文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言流暢，但沒能正確決策、優(yōu)化購買方案。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學(xué)生能把數(shù)學(xué)信息進(jìn)行有機(jī)整合，多角度、多層次地有序分析問題和解決問題（見表1）。

學(xué)生列表解決問題的過程是把文字語言轉(zhuǎn)換為圖表語言。在轉(zhuǎn)換過程中，學(xué)生不但能正確理解數(shù)學(xué)信息間的相互關(guān)系，而且能用符號(hào)語言有序列舉，還能發(fā)現(xiàn)最優(yōu)化方案：總盒數(shù)最少、用錢最少的方案1。

2.用SOLO理論評(píng)價(jià)圖表語言的轉(zhuǎn)換

圖表語言是“包含一定數(shù)學(xué)信息的各種圖表、用來對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象和數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行描述的直觀性語言”[4]。圖形、圖像或表格比較直觀、形象。如果能根據(jù)圖表語言的直觀意義描述圖表語言的知識(shí)本質(zhì)，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握就能由感性認(rèn)識(shí)逐漸上升為理性認(rèn)識(shí)。對(duì)圖表語言表達(dá)的數(shù)學(xué)信息，學(xué)生有時(shí)要適當(dāng)轉(zhuǎn)換才能描述直觀模型的意義、揭示空間形式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的深層理解。恰當(dāng)應(yīng)用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的圖表語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學(xué)生對(duì)圖表語言的理解能力、正確認(rèn)識(shí)學(xué)生的具體形象思維水平和抽象思維水平。

【案例2】說說每幅圖中涂色部分的分?jǐn)?shù)含義，它們有什么共同特點(diǎn)？

問題中的數(shù)學(xué)信息用圖表語言呈現(xiàn)。學(xué)生先要仔細(xì)觀察每幅圖，然后用分?jǐn)?shù)表示，再分析每個(gè)分?jǐn)?shù)的含義，最后說出它們的共性。學(xué)生解決問題離不開圖表語言的轉(zhuǎn)換。按照SOLO理論，學(xué)生轉(zhuǎn)換圖表語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學(xué)生知道每幅圖的總份數(shù)和涂色份數(shù)，但不會(huì)用分?jǐn)?shù)表示，只能隨意表達(dá)，說明他們不理解圖表語言或轉(zhuǎn)換圖表語言“答非所問”。

（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)。從左向右觀察，第一幅圖是把一個(gè)物體平均分成4份，涂色3份，用? 表示;第二幅圖是把一個(gè)長(zhǎng)方形平均分成8份，涂色5份，用? 表示;第三幅圖是把一條1米長(zhǎng)的線段平均分成5份，涂色3份，用? 表示;第四幅圖是把6個(gè)○平均分成3份，涂色1份，用? 表示。學(xué)生能正確理解圖表語言所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息，根據(jù)圖形寫分?jǐn)?shù)是把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，但只能就圖說圖，不能有更多的分?jǐn)?shù)意義聯(lián)想。

（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能結(jié)合每幅圖形正確說出分?jǐn)?shù)及其含義，甚至能舉一反三地想到其他平均分的對(duì)象，如由長(zhǎng)方形想到正方形、由1米長(zhǎng)的線段想到1千克或1升的物體等、由6個(gè)○想到12個(gè)蘋果或20支鉛筆等。學(xué)生能把平均分的對(duì)象延伸為更多物體、圖形、計(jì)量單位、許多物體組成的整體，但無法溝通彼此之間的聯(lián)系，沒能在數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中抽象出它們的共同特征。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能溝通數(shù)學(xué)信息之間的聯(lián)系并解決問題，正確說出分?jǐn)?shù)及其含義，知道這些分?jǐn)?shù)是把一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或一些物體組成的整體平均分的結(jié)果，知道分?jǐn)?shù)與平均分的對(duì)象無關(guān)，只與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。學(xué)生把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言——分?jǐn)?shù)和單位“1”，是根據(jù)已有信息進(jìn)行抽象概括的結(jié)果，但沒能歸納分?jǐn)?shù)意義。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學(xué)生能理解知識(shí)的本質(zhì)，對(duì)所有圖形抽象、歸納和演繹，具有較高層次的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示涂色部分、說出每個(gè)分?jǐn)?shù)的含義后，先抽象、認(rèn)識(shí)單位“1”，再概括分?jǐn)?shù)意義——把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份就是分?jǐn)?shù)。學(xué)生把圖表語言抽象、轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言“1”，再轉(zhuǎn)換為文字語言，概括出分?jǐn)?shù)的意義，體驗(yàn)分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)是先分后數(shù)的數(shù)，學(xué)生通過轉(zhuǎn)換認(rèn)識(shí)到平均分的對(duì)象是單位“1”，實(shí)現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)的一般認(rèn)識(shí)。

3.用SOLO理論評(píng)價(jià)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換

符號(hào)語言是“人工創(chuàng)造的、用來表達(dá)思維觀念的一種語言，包括字母、數(shù)字、邏輯符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)和圖形符號(hào)等”[5]。符號(hào)語言表達(dá)的數(shù)學(xué)公式、運(yùn)算程序、運(yùn)算定律和運(yùn)算法則等都非常簡(jiǎn)潔、凝練和抽象。這種抽象性和簡(jiǎn)潔性常使學(xué)生難以理解。因此，對(duì)符號(hào)語言表達(dá)的數(shù)學(xué)信息，學(xué)生有時(shí)要適當(dāng)轉(zhuǎn)換才能較好地表現(xiàn)知識(shí)的外延和內(nèi)涵，從而理解符號(hào)語言的具體含義。恰當(dāng)應(yīng)用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的符號(hào)語言轉(zhuǎn)換水平，有助于教師了解學(xué)生對(duì)符號(hào)語言的理解能力，正確認(rèn)識(shí)學(xué)生的抽象思維水平。

【案例3】用豎式計(jì)算14×12，并編故事說明每一步表示的意思。

學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)14×12豎式計(jì)算時(shí)，學(xué)生先要認(rèn)真閱讀，弄清符號(hào)語言的含義和題目的要求，再在符號(hào)語言轉(zhuǎn)換中探究計(jì)算法則、理解計(jì)算道理。按照SOLO理論，學(xué)生轉(zhuǎn)換符號(hào)語言的結(jié)構(gòu)層次如下。

（1）前結(jié)構(gòu)。學(xué)生的思路紊亂，計(jì)算比較隨意，如把個(gè)位乘個(gè)位的積寫在個(gè)位，十位乘十位的積寫在十位（如圖2），說明學(xué)生不理解乘法運(yùn)算程序，無法把符號(hào)語言（橫式）正確轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語言（豎式）。

（2）單點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能正確編故事，如同學(xué)們進(jìn)行體操表演，站成12行，每行14人。求表演隊(duì)伍一共有多少人。學(xué)生可以先算2行（3行、4行或6行）的人數(shù)，再算6個(gè)2行（4個(gè)3行、3個(gè)4行或2個(gè)6行）的人數(shù)，即14×2×6（14×3×4、14×4×3或14×6×2）的人數(shù)。這種把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語言的方法，思路單一、本質(zhì)相同，都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)（新知）轉(zhuǎn)化為兩位數(shù)乘一位數(shù)（舊知）。

（3）多點(diǎn)結(jié)構(gòu)。學(xué)生能根據(jù)題目中的數(shù)學(xué)信息發(fā)現(xiàn)不同解決問題的思路：不但會(huì)用單點(diǎn)結(jié)構(gòu)中的方法解答，而且會(huì)先算2行人數(shù)（如圖3），再算10行人數(shù)，最后算總?cè)藬?shù)，即14×2=28，14×10=140，140+28=168。學(xué)生畫圖分析問題是先把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為圖表語言，再把圖表語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言。轉(zhuǎn)換過程說明學(xué)生能用乘法分配律先算2個(gè)14，再算10個(gè)14，最后求12個(gè)14，但沒能與豎式聯(lián)系起來。

（4）關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)。學(xué)生不但能畫圖分析問題和解決問題，而且能溝通橫式與豎式之間的聯(lián)系，并把橫式運(yùn)算過程用豎式記錄下來（如圖4）。無論橫式還是豎式，都是把符號(hào)語言轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語言，說明學(xué)生已經(jīng)理解先算2行人數(shù)、再算10行人數(shù)，最后算12行人數(shù)的方法。

（5）抽象拓展結(jié)構(gòu)。學(xué)生能把握問題實(shí)質(zhì)，會(huì)用更一般的方法解決問題，并形成清晰的邏輯體系。學(xué)生能正確列出不同豎式計(jì)算14×12，并掌握豎式的簡(jiǎn)潔書寫方法與算理，理解位值制（如圖5）。符號(hào)語言（橫式）轉(zhuǎn)換為新的符號(hào)語言（豎式），學(xué)生不但能從中抽象出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的一般算法，而且為后續(xù)解決兩、三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法計(jì)算奠定了基礎(chǔ)。

二、基于SOLO理論的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換評(píng)價(jià)反思

數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換情況是學(xué)生思維水平的具體體現(xiàn)，SOLO評(píng)價(jià)可以幫助學(xué)生準(zhǔn)確了解自己的思維層次，有助于學(xué)生提升學(xué)業(yè)水平、促進(jìn)思維進(jìn)階、實(shí)現(xiàn)學(xué)科發(fā)展。

1.SOLO評(píng)價(jià)能提升學(xué)生學(xué)業(yè)水平

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平是學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)后的學(xué)業(yè)質(zhì)量表現(xiàn)，是學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)的實(shí)際反映。數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換情況是小學(xué)生學(xué)業(yè)水平的一種外化體現(xiàn)。教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換情況用SOLO理論進(jìn)行恰當(dāng)評(píng)價(jià)，有助于學(xué)生明確自己的學(xué)業(yè)水平現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)自己的成功或不足之處，從而有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺，以便今后能用最短時(shí)間、最優(yōu)方案解決類似問題，使自己的學(xué)業(yè)水平不斷有更多、更快的提升。

2.SOLO評(píng)價(jià)能促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)階

學(xué)生根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，正確認(rèn)識(shí)自己的思維層次，就會(huì)在教師的引導(dǎo)下和教師、同學(xué)或自己進(jìn)行對(duì)話，并在對(duì)話中學(xué)會(huì)反思和合作。前結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生不理解題意時(shí)，可以在教師引導(dǎo)或同學(xué)講解下學(xué)會(huì)分析已知條件、問題或解題思路，也可以由思維水平高的同學(xué)補(bǔ)充分析;單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的學(xué)生思維單一時(shí)，可以根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果嘗試用不同方法解決問題，使自己的思考更深刻、更全面……這樣，學(xué)生的思維水平就會(huì)通過SOLO評(píng)價(jià)逐漸由粗糙到精確、由淺顯到深刻、由特殊到一般地實(shí)現(xiàn)思維的不斷進(jìn)階。

3.SOLO評(píng)價(jià)能幫助學(xué)生學(xué)科發(fā)展

如果教師能根據(jù)學(xué)生的客觀差異用SOLO理論評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換水平，就會(huì)鼓勵(lì)部分學(xué)生熟練轉(zhuǎn)換、允許部分學(xué)生只會(huì)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換甚至不會(huì)轉(zhuǎn)換，學(xué)生就會(huì)“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[6]，課堂就會(huì)慢慢形成一種優(yōu)秀文化，學(xué)生在這種課堂文化的熏陶下，正確地評(píng)價(jià)自我，養(yǎng)成虛心向他人學(xué)習(xí)、熱情幫助同伴的和諧互助的學(xué)習(xí)共同體;就會(huì)在數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換中逐漸養(yǎng)成獨(dú)立思考、大膽質(zhì)疑和勇于創(chuàng)新的習(xí)慣，對(duì)知識(shí)的理解更深刻、思維更嚴(yán)謹(jǐn)、表達(dá)更準(zhǔn)確。

參考文獻(xiàn)

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[2] 比格斯，科利斯.學(xué)習(xí)質(zhì)量評(píng)價(jià)：SOLO分類理論（可觀察的學(xué)習(xí)成果結(jié)構(gòu)）[M].高凌飚，張洪巖，譯.北京：人民教育出版社，2010：29.

[3][4][5] 盧清榮.數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)[M].南京：河海大學(xué)出版社，2019：9.

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[責(zé)任編輯：陳國慶]