許娟

【摘要】數(shù)學(xué)模型因?yàn)楦叨瘸橄?，學(xué)生往往容易把它們混淆。本文從學(xué)習(xí)進(jìn)階的角度為學(xué)生提供學(xué)習(xí)路徑，為學(xué)生區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)模型建立切實(shí)可行的行動(dòng)指南。

【關(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)進(jìn)階? 模型? 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)某一主題的過程中，對(duì)于主題內(nèi)概念的想法與理解程度逐漸加深的發(fā)展過程，一般呈現(xiàn)為圍繞核心概念展開的一系列由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、相互關(guān)聯(lián)的概念序列。

我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)模型乃是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！睌?shù)學(xué)模型因?yàn)楦叨瘸橄螅瑢W(xué)生往往容易把它們混淆。本文從學(xué)習(xí)進(jìn)階的角度為學(xué)生提供學(xué)習(xí)路徑，為學(xué)生區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)模型建立切實(shí)可行的行動(dòng)指南。

一、三“階”設(shè)計(jì)，區(qū)分運(yùn)算規(guī)律模型

“階”以學(xué)情的把握與分析為重要依據(jù)，是一個(gè)漸次遞進(jìn)的過程，學(xué)習(xí)進(jìn)階是學(xué)習(xí)者與知識(shí)之間主客體共同作用的結(jié)果。對(duì)于“乘法結(jié)合律和分配律”模型，學(xué)生“錯(cuò)用”“亂用”的情況很嚴(yán)重，教師教學(xué)時(shí)可以根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)三“階”學(xué)習(xí)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，逐步實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)性和發(fā)展性目標(biāo)。

1.第一階

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了加法、乘法的運(yùn)算規(guī)律，用字母怎么表示？

加法交換律? ? ? ? ? ? ?，加法結(jié)合律? ? ? ? ? ? ?，適用于? ? ? ? ? ? 運(yùn)算;

乘法交換律? ? ? ? ? ? ?，乘法結(jié)合律? ? ? ? ? ? ?，適用于? ? ? ? ? ? 運(yùn)算。

第一階為什么這樣設(shè)置？

反思學(xué)生的常見錯(cuò)誤：25×12=25×10×2，沒有凸顯分配律與其他四條運(yùn)算律的實(shí)質(zhì)性區(qū)別。

2.第二階

加法交換律、結(jié)合律只適用加法運(yùn)算，乘法交換律、結(jié)合律只適用乘法運(yùn)算，這四條運(yùn)算律都是單一運(yùn)算的規(guī)律。教師由此很自然地提出問題：“加法和乘法之間有什么運(yùn)算規(guī)律呢？”讓學(xué)生對(duì)知識(shí)加深印象，不容易弄混概念。

例如，一張桌子50元，一把椅子20元，購(gòu)買課桌椅3套，一共要用多少元？

學(xué)生列式：（50+20）×3=50×3+20×3。

教師提問：為什么這樣算？

實(shí)際意義：一套桌椅70元，3套桌椅210元;3張桌子150元，3把椅子60元，一共210元。

算理推導(dǎo)：（50+20）×3=（50+20）+（50+20）+（50++20）=（50+50+50）+（20+20+20）= 50×3+20×3。

3.第三階

把具體的數(shù)據(jù)換成字母a、b、c（如圖2），總結(jié)出乘法分配律：（a+b）×c =a×c+b×c。

三階設(shè)計(jì)，包含了圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言，如果學(xué)生能夠在三種語(yǔ)言之間自主轉(zhuǎn)換，也就完全理解了乘法分配律。

二、拾“階”而上，區(qū)分度量單位模型

1. 一維長(zhǎng)度、二維面積單位的區(qū)分

將“階”的知識(shí)嵌入錯(cuò)題辨析，不僅有利于教師進(jìn)行精準(zhǔn)的結(jié)構(gòu)性補(bǔ)償教學(xué)，而且有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如：一間會(huì)議室面積是64平方米，如果用邊長(zhǎng)是8分米的方磚鋪地面，需要多少塊方磚？

有的學(xué)生錯(cuò)誤地列式：64÷8=8（塊）。

根據(jù)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師需要進(jìn)行補(bǔ)償性教學(xué)：

（1）區(qū)分概念，教師比畫1分米、1平方分米、1米、1平方米的大小。

（2）再現(xiàn)性情景應(yīng)用，根據(jù)鋪方磚的場(chǎng)景（如圖3），列式：6400-64-64-64……

（3）生成性情景應(yīng)用，教師提問：減去多少個(gè)64呢？最終列式：6400÷64=100。

8分米? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 64平方分米

對(duì)長(zhǎng)度、面積單位模型的區(qū)分，教師不僅僅是讓學(xué)生復(fù)習(xí)之前學(xué)過的知識(shí)，更是為了層層進(jìn)階，讓學(xué)生建立新的學(xué)習(xí)策略。

2.整數(shù)、小數(shù)長(zhǎng)度單位的區(qū)分

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾精辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué);但另一方面，它是創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”，并指出“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使他們能看得見摸得著”。

0.6米=6（? ?），要在括號(hào)里填合適的單位名稱，學(xué)生會(huì)在“毫米”“分米”“厘米”三個(gè)單位之間猜想。天津的一位教師在上課時(shí)，讓學(xué)生在尺上標(biāo)注0.6米，學(xué)生給出了3種不同的答案。

如圖（圖4、圖5、圖6）：

圖4中，學(xué)生認(rèn)為，有6個(gè)“毫米格”，0.6米就是6毫米。圖5中，學(xué)生認(rèn)為，有6個(gè)“厘米格”，0.6米就是6厘米。圖6中，學(xué)生認(rèn)為，0.6米是6分米，手指著沒有刻度的米尺，從0.6米（6分米）、0.7米（7分米）、0.8米（8分米）、0.9米（9分米），一直數(shù)到1米。前面兩位學(xué)生忽然發(fā)現(xiàn)：0.6米標(biāo)在6毫米、6厘米處太小了。學(xué)生在數(shù)數(shù)和比畫的過程中積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是知識(shí)、是過程、是經(jīng)歷，主體性、動(dòng)態(tài)性、活動(dòng)性是其主要特征。學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中、在“數(shù)學(xué)化”的過程中、在“數(shù)學(xué)探究”的過程中，獲得了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在“0.6米=6分米”的教學(xué)中，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)發(fā)揮了關(guān)鍵作用，學(xué)生從中享受到了學(xué)習(xí)進(jìn)階的成功。

（作者單位：江蘇省句容市教師發(fā)展中心）