王舒鈺 張小玲

【摘要】向量思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想之一，在高中數(shù)學(xué)教科書(shū)中，許多定理都運(yùn)用了向量法進(jìn)行證明，如正余弦定理.在高考數(shù)學(xué)中，向量法常與其他重要知識(shí)，如立體幾何、圓錐曲線、三角函數(shù)、不等式等一起設(shè)計(jì)出題.本文主要探究了近三年向量法在立體幾何與圓錐曲線中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】向量法;高考數(shù)學(xué);立體幾何;圓錐曲線

【基金項(xiàng)目】國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目No.11601265; 泉州市高層次人才創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目No.2017Z033.

2017年新課程標(biāo)準(zhǔn)在幾何與代數(shù)這一專(zhuān)題中指出了掌握向量法的必要性，并且在新教材第二冊(cè)第六章中系統(tǒng)學(xué)習(xí)了向量，可見(jiàn)向量在整個(gè)高中階段學(xué)習(xí)中所占的重要地位.由于向量具有代數(shù)形式和幾何形式的兩種表示方法，這使得它常用來(lái)解決空間、平面中的圖形問(wèn)題.

一、向量法在立體幾何中的應(yīng)用

向量法作為一種用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的方法，主要是借助空間直角坐標(biāo)系把抽象的空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題.向量法在立體幾何中的運(yùn)用主要體現(xiàn)在三個(gè)方面：一是利用向量法求解空間中直線和平面間的位置關(guān)系，如平行、垂直;二是利用向量法求解空間中的距離問(wèn)題;三是結(jié)合法向量求解空間中的角問(wèn)題.高考中常以計(jì)算直線與平面的夾角、兩平面的夾角為主，例如下列兩道例題.

解析 近五年全國(guó)Ⅰ卷對(duì)向量法在立體幾何中的運(yùn)用都在第18題設(shè)問(wèn)，第一問(wèn)通?？疾榭臻g中直線與平面或兩平面之間的位置關(guān)系，如平行、垂直，其目的在于檢測(cè)學(xué)生對(duì)空間位置關(guān)系及其求證條件的掌握.第二問(wèn)以計(jì)算直線與平面、兩平面間夾角的正弦值或余弦值為主.對(duì)第二問(wèn)采用向量法的解題策略體現(xiàn)了程序化的思想，先根據(jù)題目信息建立合理的空間直角坐標(biāo)系，確定所求兩平面的法向量m，n，兩個(gè)法向量所成的角或補(bǔ)角即為所求的二面角，在計(jì)算中需要注意兩個(gè)法向量的方向.雖然對(duì)第一問(wèn)的證明，通常也可以用建立空間直角坐標(biāo)系的方法與第二問(wèn)一同求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，但在實(shí)際求解中仍建議學(xué)生對(duì)第一問(wèn)采用幾何的方法，這樣既可以避免因向量坐標(biāo)運(yùn)算錯(cuò)誤導(dǎo)致的失分，也可以在第二問(wèn)運(yùn)用向量法求解后，將第一問(wèn)中涉及的線段或平面用向量表示，進(jìn)行檢驗(yàn)，提高準(zhǔn)確率.

向量法還能解決綜合法難以解決的問(wèn)題，如點(diǎn)到平面的距離、空間夾角等，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，雖對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有較高要求，但可以幫助學(xué)生克服因空間想象力不足而帶來(lái)的畏懼心理，降低空間想象的難度.

二、向量法在圓錐曲線中的應(yīng)用

圓錐曲線作為解析幾何中的重難點(diǎn)，是每年高考的必考題，題目以圓錐曲線為主線，融合向量、方程、函數(shù)等知識(shí)，具有很強(qiáng)的綜合性.向量法作為解決幾何問(wèn)題的代數(shù)方法，在圓錐曲線問(wèn)題的求解中，能幫助學(xué)生用向量表達(dá)式表述平面圖形的位置或線段長(zhǎng)度的關(guān)系，明確解題方向，簡(jiǎn)化解題思路，例如下列兩道高考題中都涉及了對(duì)向量法的應(yīng)用.

三、總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入向量，為問(wèn)題的解決與簡(jiǎn)化提供了有力的工具，同時(shí)向量作為推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，學(xué)生對(duì)它的掌握能為其后繼的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).基于向量與代數(shù)、幾何之間的緊密聯(lián)系，有關(guān)向量知識(shí)的考題在高考中所占分?jǐn)?shù)比重逐漸增大.結(jié)合向量的坐標(biāo)表達(dá)形式，在立體幾何中可用于證明線線、線面、面面的平行和垂直，以及利用平面的法向量求解夾角問(wèn)題、距離問(wèn)題等;在圓錐曲線中，更多利用向量的相等、共線、垂直求解坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，在這當(dāng)中通常涉及韋達(dá)定理的使用.不難看出，在解題時(shí)，向量法可以幫助我們多角度分析問(wèn)題，是一個(gè)不錯(cuò)的思考方向，但是具體的靈活運(yùn)用，離不開(kāi)對(duì)習(xí)題的探索與總結(jié).

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