吳鴻儒

【摘要】培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是高中教育環(huán)節(jié)中不可缺少的一部分，在日常教學(xué)過(guò)程中，教師雖然不會(huì)單獨(dú)將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)作為一門課程進(jìn)行教授，但是將數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)滲透在知識(shí)的教學(xué)中卻是十分必要的.構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)思想中比較重要的一類，通過(guò)對(duì)無(wú)法直接求解的問(wèn)題進(jìn)行抽象，然后將抽象后的問(wèn)題利用現(xiàn)有知識(shí)進(jìn)行求解框架的構(gòu)造，再結(jié)合題目所給的已知條件進(jìn)行求解，這類似于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思維.這種方法是解決復(fù)雜問(wèn)題的常用方法，也是提高學(xué)生解題效果的重要手段.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);解題應(yīng)用

一、引言

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如果學(xué)生面對(duì)復(fù)雜的綜合性題目無(wú)法正面求解計(jì)算，就會(huì)產(chǎn)生挫敗感并降低其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.構(gòu)造法就是解決這一問(wèn)題的方法之一，其利用數(shù)學(xué)建模思想對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行抽象和梳理，再構(gòu)造出解決問(wèn)題的初等模型，然后根據(jù)題目給出的信息進(jìn)行求解.這個(gè)求解的過(guò)程就是開拓?cái)?shù)學(xué)思維的過(guò)程，它可以充分鍛煉學(xué)生的思維能力，以及面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的分析能力.

二、構(gòu)造法的概念

（一）構(gòu)造法的基本概念

構(gòu)造法的含義是在面對(duì)正常思維無(wú)法直接求解的復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題目所設(shè)定的條件，以及所求問(wèn)題的特征，利用數(shù)學(xué)建模的思維，將已知的復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行抽象和分析，得出題目所給的條件和所求解問(wèn)題的結(jié)論、計(jì)算結(jié)果間的聯(lián)系[1].它利用題目中的數(shù)據(jù)、形式、變量名等特性，以題目里所設(shè)定的已知條件為基礎(chǔ)，采用自身所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)以及理論關(guān)系為工具，在思維或其他媒介中構(gòu)造出符合題目規(guī)定并且能夠體現(xiàn)求解結(jié)果的數(shù)學(xué)公式或其他對(duì)象.學(xué)生利用上述方法可將原有題目中所隱藏的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，以及數(shù)學(xué)性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型中更加清楚地體現(xiàn)出來(lái)，并且能根據(jù)其更迅速地分析題目所求解的問(wèn)題，從而更加準(zhǔn)確地得出問(wèn)題的答案.

（二）構(gòu)造思維在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)

在了解了構(gòu)造法的基本概念之后，教師在日常教學(xué)過(guò)程中不僅應(yīng)該鍛煉學(xué)生應(yīng)用構(gòu)造法去解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題，更應(yīng)該在潛移默化中培養(yǎng)他們形成構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)思維的養(yǎng)成體現(xiàn)在平時(shí)的方方面面，表現(xiàn)在學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，能夠靈活地對(duì)題目中所包含的有效信息進(jìn)行抽象，并在腦海里構(gòu)造出求解問(wèn)題的基本方法.這種思維的養(yǎng)成有利于學(xué)生在未來(lái)的學(xué)習(xí)中更加高效地解決問(wèn)題，這不僅對(duì)數(shù)學(xué)科目的學(xué)習(xí)有很大的意義，對(duì)其他理工類科目的學(xué)習(xí)也同等重要.

三、構(gòu)造法的意義

（一）對(duì)于解題的意義

構(gòu)造法是學(xué)生面對(duì)復(fù)雜題目時(shí)常用的數(shù)學(xué)解題方法，其對(duì)于求解復(fù)雜的數(shù)學(xué)題目有著明顯的優(yōu)勢(shì)，對(duì)于此類問(wèn)題而言，一般的思維方式與解題方法是無(wú)法對(duì)其進(jìn)行直接求解和計(jì)算的.構(gòu)造法相當(dāng)于利用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題抽象出符號(hào)、公式進(jìn)行中轉(zhuǎn)處理，它是一種高效的間接求解法.對(duì)于比較復(fù)雜的高中數(shù)學(xué)題目，尤其是高考數(shù)學(xué)題目，構(gòu)造法都是高效解題的重要方法.

（二）對(duì)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的意義

在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比單純數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)要重要得多.具有良好數(shù)學(xué)思維的學(xué)生總是可以很快地找到合適的解題方法，再利用自身儲(chǔ)備的數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解[2].因此數(shù)學(xué)思維就好比醫(yī)生治病的藥方，而數(shù)學(xué)知識(shí)就像治病的良藥，藥方的確定自然是正確用藥的基礎(chǔ)，也是快速將病人醫(yī)治好的保障.構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)思維中最重要的思維方式之一，其對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有著巨大的作用，因此合理應(yīng)用構(gòu)造法進(jìn)行題目的求解，是對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和鍛煉.

四、構(gòu)造法的舉例

在面對(duì)復(fù)雜的難題時(shí)，知識(shí)的交叉應(yīng)用就顯得異常關(guān)鍵.構(gòu)造法的思想之一就是利用較為簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)，例如數(shù)列、平面向量等的性質(zhì)與運(yùn)算方式，去解決一般需要利用導(dǎo)數(shù)或是產(chǎn)生較大運(yùn)算量的題目.這就需要學(xué)生不僅要掌握構(gòu)造法的相關(guān)知識(shí)，還要熟練掌握其他數(shù)學(xué)知識(shí)，并能夠?qū)⑵潇`活運(yùn)用.基于對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)造法進(jìn)行基礎(chǔ)闡述之后，以下將針對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的幾個(gè)實(shí)例，應(yīng)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法對(duì)其求解，以具體地說(shuō)明構(gòu)造法的重要性.

（一）構(gòu)造向量

在高中數(shù)學(xué)的解題方法中，向量的應(yīng)用十分廣泛，靈活使用構(gòu)造向量法會(huì)使解題更加清晰和簡(jiǎn)單.例如，求解一個(gè)函數(shù)的最大值：fx=3 2-x+3 x+2.直接對(duì)其進(jìn)行求解過(guò)程過(guò)于復(fù)雜，而且需要利用導(dǎo)數(shù)等計(jì)算量較大的運(yùn)算方法，學(xué)生在計(jì)算時(shí)很容易出錯(cuò)、失去耐心或是在考試時(shí)浪費(fèi)大量時(shí)間[3].而此時(shí)利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法思想構(gòu)造出平面向量對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行表示，再利用平面向量的相關(guān)知識(shí)和性質(zhì)對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，不但降低了計(jì)算難度，還大大減少了完成題目所需要的時(shí)間，可以使學(xué)生在考試過(guò)程中占得先機(jī).例如，構(gòu)造平面向量a（3，3），b（ 2-x， x+2），利用向量的數(shù)量積公式求a與b的數(shù)量積，得到的結(jié)果恰好為待求函數(shù)f（x），再利用向量的基本性質(zhì)進(jìn)行比較運(yùn)算，則有a·b≤ab=6 2，至此就以向量形式實(shí)現(xiàn)了對(duì)于函數(shù)最大值的求解.其中，構(gòu)造平面向量a，b是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵，也是構(gòu)造法的實(shí)際體現(xiàn)之一.

（二）構(gòu)造數(shù)列

數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要的地位，熟練應(yīng)用構(gòu)造數(shù)列法可以更加快速地解題，并且還能提高準(zhǔn)確性，其有著很高的使用價(jià)值.但是構(gòu)造數(shù)列法對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求很高，必須要有扎實(shí)的功底，靈活的思維，才能靈活、熟練地構(gòu)造數(shù)列進(jìn)行題目的證明與求解.

1.簡(jiǎn)單數(shù)列的構(gòu)造

例如，證明不等式1+2nn<1+2n+1n+1，若要對(duì)此不等式進(jìn)行直接證明需要比較復(fù)雜的定理，還需花費(fèi)大量的時(shí)間[4]，但若采用構(gòu)造數(shù)列的方式，就可以較為輕松且清晰地解決該問(wèn)題.例如，構(gòu)造數(shù)列x1=x2=…=xn=1+2n，xn+1=1，再利用均值不等式的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到x1+…+xn+1n+1≥n+1x1·…·xn+1，因此得出n+1[]1+2nn≤1+n1+2nn+1=1+2[]n+1，結(jié)論顯然成立.

上述例題充分說(shuō)明了構(gòu)造法在求解復(fù)雜題目時(shí)的作用，熟練、靈活地掌握構(gòu)造法的相關(guān)知識(shí)可以使學(xué)生的日常解題過(guò)程更加迅速、高效，正確率也將更上一個(gè)臺(tái)階，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的自信心與成就感有著重要的作用.