呂振華

摘要：深度教學(xué)是深度學(xué)習(xí)的促成條件，數(shù)學(xué)學(xué)科的深度教學(xué)應(yīng)超越具體的知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體數(shù)學(xué)方法和策略的習(xí)得上升到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提高。要想達(dá)到數(shù)學(xué)深度教學(xué)，教師的深度備課是關(guān)鍵。做到深度備課，教師要備教學(xué)目標(biāo)的深度和廣度，備學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和課堂切入點(diǎn)，備課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成。課堂教學(xué)中，教師教得深、教得懂和教得活，學(xué)生才能學(xué)得深、學(xué)得懂、學(xué)得活，進(jìn)而促成深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí);深度教學(xué);深度備課

從學(xué)生的角度而言，深度學(xué)習(xí)指在教師引導(dǎo)下圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。要想使學(xué)生處于深度學(xué)習(xí)之中，教師就要進(jìn)行深度教學(xué)。數(shù)學(xué)學(xué)科的深度教學(xué)，指教學(xué)應(yīng)超越具體的知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略的習(xí)得上升到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提高。要想達(dá)到數(shù)學(xué)深度教學(xué)，教師的深度備課是關(guān)鍵。做到深度備課，教師要備教學(xué)目標(biāo)的深度和廣度，備學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和切入點(diǎn)，備課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)和生成。以上三點(diǎn)分別指向教師課堂教學(xué)的教深、教懂和教活，這樣學(xué)生才能學(xué)深、學(xué)懂、學(xué)活，進(jìn)而促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升。本文以北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“乘法運(yùn)算律整理與復(fù)習(xí)”為例，進(jìn)行了實(shí)踐探索。

一、“備”教學(xué)目標(biāo)的深度和廣度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程目標(biāo)分從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等四個(gè)方面加以闡述?！薄俺朔ㄟ\(yùn)算律整理與復(fù)習(xí)”一課，既要基于教材，又要形成網(wǎng)絡(luò)，使學(xué)生融會(huì)貫通。因此，我在備課時(shí)并不是直接設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)，而是通過翻閱教材、教師教學(xué)用書（教參）等資料對(duì)乘法運(yùn)算律教學(xué)目標(biāo)的深度和廣度進(jìn)行了解。

根據(jù)北師版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容安排，有一個(gè)多月的總復(fù)習(xí)階段，其教學(xué)參考書中的“總復(fù)習(xí)課時(shí)安排建議”中，對(duì)運(yùn)算律的課時(shí)建議是1課時(shí)，此課時(shí)涉及與加法和乘法有關(guān)的5個(gè)運(yùn)算律。在整理中我發(fā)現(xiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容涉及到的簡(jiǎn)便運(yùn)算的運(yùn)算定律和性質(zhì)有8個(gè)（見表1），涉及到的乘法的運(yùn)算律最多，包括乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律。

學(xué)生從四年級(jí)上學(xué)期開始初次接觸乘法運(yùn)算律，但隨著年級(jí)的升高，算式中逐步融入了小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)，使得運(yùn)用乘法運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算會(huì)越來越復(fù)雜。尤其是乘法分配律，對(duì)四至六年級(jí)的學(xué)生來說是難點(diǎn)中的難點(diǎn)。同時(shí)，乘法分配率和初中所學(xué)的提取公因式、因式分解有著密切的聯(lián)系。乘法分配律有加法、乘法兩種運(yùn)算形式，做題時(shí)需要有效融匯乘法交換律和乘法結(jié)合律，而且實(shí)際教學(xué)中學(xué)生的乘法分配律錯(cuò)誤率往往很高，所以我將乘法運(yùn)算律單獨(dú)列為一課時(shí)，以乘法分配律為抓手來展開教學(xué)。

我查閱了四至六年級(jí)的數(shù)學(xué)教，匯總出乘法分配律的五種基本類型（見表2）。

教材中涉及到了變式，比如六年級(jí)上冊(cè)有練習(xí)題12×（[14+16-13]）等，同時(shí)涉及到了對(duì)比練習(xí)，比如六年級(jí)上冊(cè)的（[16-18]）÷[56]和[56]÷（[34+23]）。從表2可以看出，乘法分配律的五種類型到六年級(jí)下冊(cè)會(huì)全部出現(xiàn)。教材這樣設(shè)計(jì)，是基于學(xué)生的認(rèn)知水平。所以，教師要抓住時(shí)機(jī)，在小學(xué)畢業(yè)總復(fù)習(xí)階段基于學(xué)生已經(jīng)提升的認(rèn)知水平，讓學(xué)生學(xué)深、學(xué)懂、學(xué)活。我在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，有些試卷中的題目是上面5種類型中某些類型的綜合運(yùn)用，比如998×24+1002×25，我稱之為綜合型。

在翻閱教學(xué)參考書等資料之后，我對(duì)運(yùn)算律本質(zhì)的理解逐漸加深。運(yùn)算律改變了運(yùn)算順序，但是沒有改變運(yùn)算結(jié)果，同時(shí)能夠使運(yùn)算變得更簡(jiǎn)便更合理。運(yùn)算律既是算理的彰顯，也是運(yùn)算本質(zhì)的彰顯。算理是重要的，絕不可以簡(jiǎn)單地把算理理解為依附于運(yùn)算的一種性質(zhì)，而應(yīng)當(dāng)把算理理解為運(yùn)算的本質(zhì)，即運(yùn)算與算理等價(jià)。

運(yùn)算律看似和計(jì)算有關(guān)，但它不是機(jī)械的計(jì)算，而是體現(xiàn)思維訓(xùn)練的計(jì)算，不能單靠機(jī)械地學(xué)習(xí)、書山題海戰(zhàn)術(shù)來習(xí)得。運(yùn)算律指向《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中“數(shù)感”和“運(yùn)算能力”兩個(gè)關(guān)鍵詞。數(shù)學(xué)運(yùn)算技能有三個(gè)層次，即算法的正確、簡(jiǎn)潔和巧妙。因此，數(shù)學(xué)運(yùn)算過程不僅是思維品質(zhì)不斷優(yōu)化的過程，也是不懈進(jìn)取、不斷追求完美的習(xí)慣養(yǎng)成過程。計(jì)算不只是為了求得正確的結(jié)果，也不只是局限于探索多樣的算法，而是學(xué)習(xí)了多樣的算法之后，學(xué)會(huì)如何選擇合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑。

運(yùn)算律包含著變中不變和符號(hào)化數(shù)學(xué)思想，對(duì)發(fā)展學(xué)生的辯證思維和代數(shù)思維起著非常重要的作用。乘法運(yùn)算律中的字母表達(dá)式是對(duì)乘法運(yùn)算律算理的高度總結(jié)和概括，所有乘法運(yùn)算律的解題方法都是以字母表達(dá)式為基礎(chǔ)的。以乘法分配律為例，即使再難的題，都能轉(zhuǎn)化成拆分型、不完整型和等值變形，再轉(zhuǎn)化成正用型和反用型，最終回歸到字母表達(dá)式。

基于以上對(duì)教材、教學(xué)參考書和乘法運(yùn)算律本質(zhì)的理解，我設(shè)計(jì)了如下的教學(xué)目標(biāo)：一是引導(dǎo)學(xué)生加深理解乘法運(yùn)算律本質(zhì)，鞏固知識(shí)技能，查缺補(bǔ)漏;二是引導(dǎo)學(xué)生自主溝通知識(shí)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，自覺選擇合理、簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑;三是引導(dǎo)學(xué)生形成自覺整理知識(shí)，回顧、反思自己學(xué)習(xí)過程中的方法和策略的良好習(xí)慣;四是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想。

二、“備”學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和課堂切入點(diǎn)

雖然對(duì)教師而言有些課的課堂效果很好，但是實(shí)際教學(xué)中若不依據(jù)學(xué)情，學(xué)生學(xué)不懂，依然不是深度學(xué)習(xí)。所以，備課時(shí)，教師要以學(xué)生的原有認(rèn)知為起點(diǎn)，使其弱點(diǎn)充分顯露，要什么不會(huì)就講什么，誰(shuí)不會(huì)就給誰(shuí)講，要引導(dǎo)他們主動(dòng)思考，并留出足夠的思考時(shí)間。讓學(xué)生思考為什么這樣解答，即思考每道題的解題方法，就是算理。學(xué)生把算理講明白了，這道題自然就會(huì)了。因此，講算理就是本課的切入點(diǎn)。為了充分展現(xiàn)學(xué)生的原有認(rèn)知，備課時(shí)我是這樣做的：班級(jí)中每個(gè)學(xué)生都備有一個(gè)錯(cuò)題本，讓他們提前在錯(cuò)題本中或者平時(shí)接觸的習(xí)題中找一道個(gè)人沒有做對(duì)的，至今仍然不太懂的乘法運(yùn)算律的題，匯總到組長(zhǎng)處，再由組長(zhǎng)匯總到一起作為全班錯(cuò)題集。我將全班錯(cuò)題集進(jìn)行了分類，發(fā)現(xiàn)大部分錯(cuò)題集中在乘法分配律上，于是把這些錯(cuò)題分成了6類（基本類型+綜合型）。這樣，我基本掌握了全班學(xué)生的錯(cuò)題趨勢(shì)。同時(shí)，這本錯(cuò)題集，也是對(duì)學(xué)生平時(shí)易錯(cuò)題進(jìn)行的匯總，錯(cuò)題集中顯露的問題也是本課的教學(xué)起點(diǎn)。然后，以此有針對(duì)性地引出課堂教學(xué)。

師：回想一下，我們都學(xué)習(xí)了哪些與乘法有關(guān)的運(yùn)算律？字母表達(dá)式是什么？你能用語(yǔ)言描述一下嗎？ （學(xué)生邊回答，我邊板書乘法交換律、乘法結(jié)合律和乘法分配律的字母表達(dá)式）

師：我們來看這些字母表達(dá)式，等號(hào)左右兩邊的式子是相等的?？吹降忍?hào)左邊的字母表達(dá)式，我們就要想到右邊的（用手擋住一半）。同樣看到右邊的，就要想到左邊的。

師：老師已經(jīng)讓你們把至今仍然不太懂的乘法運(yùn)算律的題目匯總到組長(zhǎng)處，這樣每組是四道題。下面，請(qǐng)?jiān)诮M長(zhǎng)帶領(lǐng)下，小組同學(xué)一起試著先解決一下。要求會(huì)的同學(xué)說明白你為什么這樣解題，不會(huì)的同學(xué)認(rèn)真聽，不明白的地方直接問講題的同學(xué)。如果有誰(shuí)也不會(huì)的題目，舉手告訴老師，我們寫到黑板上，一起解決。

這時(shí)的小組合作、生生互動(dòng)，教師必須深入其中，聽講題的學(xué)生是怎么講的，為下一個(gè)環(huán)節(jié)做好鋪墊。在班級(jí)交流中，要規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，為理解算理打好基礎(chǔ)。同時(shí)，教師要將小組也解決不了的題目及時(shí)寫在黑板上。這樣，在小組合作環(huán)節(jié)，講題的學(xué)生成了“小老師”，將自己對(duì)乘法運(yùn)算律的理解再次提煉，聽的學(xué)生在這種氛圍下主動(dòng)思考，實(shí)現(xiàn)了“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

在班級(jí)匯報(bào)環(huán)節(jié)和練習(xí)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)上，我同樣關(guān)注學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算律算理的理解。在傾聽學(xué)生講算理時(shí)主要關(guān)注兩個(gè)方面，即運(yùn)算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點(diǎn)。比如125×8.8，這道題有兩種算法，分別是“原式=125×（8+0.8）=125×8+125×0.8=1000+100=1100”“原式=125×8×1.1=1000×1.1=1100”，這兩種算法都對(duì)。我問學(xué)生：“為什么要把8.8拆成8+0.8？”如果學(xué)生的回答圍繞運(yùn)算結(jié)構(gòu)和數(shù)字特點(diǎn)來回答就說明他基本明白了。一個(gè)學(xué)生說：“因?yàn)榘?.8拆成8+0.8就使算式符合乘法分配律的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，同時(shí)125分別和8、0.8相乘能得到整數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)便?！蔽依^續(xù)追問：“為什么要把8.8拆成8×1.1？”學(xué)生說：“因?yàn)榘?.8拆成8×1.1，就使算式符合乘法結(jié)合律的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，同時(shí)125和8相乘能得到整數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)便?！碑?dāng)然，這是備課時(shí)我的一種設(shè)想，在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生不一定會(huì)回答得如此完美，正是因?yàn)椴煌昝?，才需要教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，不斷規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，使學(xué)生的思維逐步“數(shù)學(xué)化”。

三、“備”課堂教學(xué)的預(yù)設(shè)與生成

備課時(shí)若事無巨細(xì)，備足細(xì)節(jié)，那么上課時(shí)雖會(huì)有“意外”，教師也會(huì)成竹在胸，不至于手忙腳亂，可能還會(huì)有可貴的生成。備課時(shí)不僅要備教學(xué)環(huán)節(jié)，還要對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行預(yù)設(shè)：預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)什么問題，如果出現(xiàn)了某種問題，該如何處理。

以本課為例，在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)的問題是：我們都學(xué)習(xí)了哪些與乘法有關(guān)的運(yùn)算律？字母表達(dá)式是什么？你能用語(yǔ)言描述一下嗎？預(yù)設(shè)的方案有三種：

第一種，學(xué)生能夠順利地回答出這三個(gè)問題，這樣就直接進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)。

第二種，學(xué)生能回答出3個(gè)乘法運(yùn)算律的名字，但是字母表達(dá)式不一定正確，用學(xué)生的語(yǔ)言描述也可能千差萬別。這時(shí)需要以訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范性作為切入點(diǎn)，讓其他學(xué)生發(fā)現(xiàn)回答中的漏洞，學(xué)生之間互相補(bǔ)充。這樣生生互動(dòng)，補(bǔ)充啟發(fā)，會(huì)有較好的課堂生成。

第三種，如果全班都忘記了，就由教師啟發(fā)?？梢猿鍪境朔ń粨Q律的內(nèi)容，在黑板板書乘法交換律的字母表達(dá)式和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述方法，然后選擇2～3名學(xué)生進(jìn)行復(fù)述。接著，請(qǐng)學(xué)生想一想：乘法結(jié)合律和乘法分配律的字母表達(dá)式是什么？引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言復(fù)述。如果學(xué)生無法用自己的語(yǔ)言描述乘法運(yùn)算律，尤其是其中的乘法分配律，教師可直接示范，即在用語(yǔ)言表述同時(shí)用手指黑板相應(yīng)表達(dá)式幫助學(xué)生理解。

這樣，教師在上課之前便已經(jīng)將課堂可能出現(xiàn)的情況全部預(yù)設(shè)出來，無論學(xué)生出現(xiàn)哪些問題，教師基本都可以處理，從而使課堂更高效。當(dāng)然，如果授課班級(jí)是教師自己班的學(xué)生，教師對(duì)學(xué)情基本了解，預(yù)設(shè)的時(shí)候可能更輕松一些;但即便如此，我們也不能掉以輕心，要對(duì)本班學(xué)生做好充分預(yù)設(shè)，最好在相應(yīng)環(huán)節(jié)寫入相對(duì)應(yīng)的學(xué)生姓名，根據(jù)學(xué)情，因材施教。

在小組合作和班級(jí)交流環(huán)節(jié)，我的理想設(shè)置是：小組交流中，學(xué)生有幾道題目是不會(huì)的，最好是乘法分配律6種類型都有，乘法結(jié)合律的題型也有，用磁扣把不會(huì)的題固定在黑板上，然后全班交流。引導(dǎo)學(xué)生分類，形成網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，每種類型解決一道題，然后進(jìn)入練習(xí)環(huán)節(jié)。實(shí)際上，教學(xué)不可能如此順利，所以我進(jìn)行了更多預(yù)設(shè)：如果學(xué)生在小組交流時(shí)所有的題都解決了，那就請(qǐng)學(xué)生歸納乘法運(yùn)算律知識(shí)體系，形成網(wǎng)絡(luò)，再進(jìn)入練習(xí);如果需要全班交流的題型不全面，缺少類別，就先把黑板上的題分類解決，再讓學(xué)生補(bǔ)充，形成網(wǎng)絡(luò)體系。在練習(xí)環(huán)節(jié)，我設(shè)置了兩道乘法分配律的綜合型題，其中有一道是7.5×5.3+25×0.51 ，這道題有多種解法，同時(shí)需要學(xué)生對(duì)特殊數(shù)據(jù)有敏感度。我預(yù)設(shè)時(shí)希望學(xué)生都能總結(jié)出來，實(shí)際教學(xué)中學(xué)生可能都總結(jié)出來，也可能差強(qiáng)人意，所以我將所有方法都進(jìn)行了匯總，以備上課之用。

其實(shí)，教師備課時(shí)的預(yù)設(shè)終是紙上談兵，因?yàn)樯险n時(shí)即使對(duì)所學(xué)內(nèi)容很熟悉的學(xué)生也可能會(huì)問出許多教師意想不到的問題，這是正常的;但是教師的預(yù)設(shè)可以作為緩沖區(qū)，能大大緩解教師和學(xué)生之間的課堂隔閡，使教師的“教案”向以學(xué)生為本的“學(xué)案”無限靠攏。這樣，就算課堂中出現(xiàn)了預(yù)設(shè)之外的生成，由于教師已經(jīng)提前進(jìn)行了各種角度的思考，并有解決的預(yù)案，也能避免意外生成使課堂教學(xué)偏離方向。

南京大學(xué)鄭毓信教授說：“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求聯(lián);數(shù)學(xué)基本技能的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求變;數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)，不應(yīng)求全，而應(yīng)求用?！睆?fù)習(xí)課尤其需要如此。學(xué)生的時(shí)間是有限的，沒有深度備課，深度教學(xué)和深度學(xué)習(xí)便無從談起。所以，上好課應(yīng)從深度備課開始。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）