陶贏春

[摘 要]推理是數(shù)學的基本思維形式。教師要充分挖掘教材中有利于培養(yǎng)學生推理能力的素材和資源，引導學生合理猜想，使推理有理有據(jù);把握方法，使推理得法; 反思過程，使推理穩(wěn)中有進。最終，不斷發(fā)展學生的理性思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

[關鍵詞]推理能力;猜想;反思;數(shù)學素養(yǎng)

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）14-0064-02

數(shù)學教育的目的是教會學生以數(shù)學的視角觀察世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界。數(shù)學推理是數(shù)學思維的重要組成部分。新課標明確指出：“讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點?！蓖评硎菙?shù)學的基本思維形式，并廣泛應用于人們的學習和生活之中。新課標愈來愈重視學生數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，推理能力的培養(yǎng)自然成為重中之重。下面，筆者通過理論研究并結(jié)合自身工作經(jīng)驗，論述在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的基本策略，力圖為廣大教育同仁提供借鑒和思考。

一、合理猜想，使推理有理有據(jù)

數(shù)學家波利亞曾言：“一個優(yōu)秀的數(shù)學家一定是個猜想家，猜想是數(shù)學研究必備的基本能力?！辈孪胧峭评淼那白?，是學習數(shù)學的重要方法，也是形成數(shù)學推理的前提，很多數(shù)學規(guī)律都是通過猜想發(fā)現(xiàn)的。在教學中，教師可創(chuàng)設一定的問題情境，為學生的猜想提供機會和平臺，讓學生在觀察、分析、思考的基礎上形成某種猜想，然后通過操作、實驗、討論等形式驗證猜想，進而實現(xiàn)推理能力的不斷提升。

例如，“圓的周長”教學片段。

師：這節(jié)課我們研究圓的周長。在這之前，我們已經(jīng)學過了哪些圖形的周長？

生1：學過長方形和正方形的周長。

師：它們是如何計算的呢？

生2：長方形的周長等于長加寬的2倍。

生3：正方形的周長等于邊長的4倍。

生4：長方形的周長與它的長和寬有關。

生5：正方形的周長與它的邊長有關。

師：那么，你認為圓的周長與哪些因素有關？

生6：我猜圓的周長應該與它的直徑或者半徑有關。

生7：是的，我用圓規(guī)畫圓時，發(fā)現(xiàn)圓規(guī)兩“腳”之間的距離（半徑）越大，圓的面積就越大。

生8：我想圓的周長跟它的直徑或半徑之間應該也存在固定的倍數(shù)關系。

……

不少教師在講授圓的周長時，直接切入主題，要求學生通過實驗分析周長與直徑的關系，錯失了培養(yǎng)學生猜想和推理能力的大好時機。盡管這種“短、平、快”的教學方式最后也能使學生得出正確結(jié)論，但是學生卻不明白為什么要論證圓的周長與直徑的關系，處于“只知其一，不知其二”的朦朧狀態(tài)。教學中，教師引導學生歸納長方形和正方形的周長的相關規(guī)律，并由此猜想圓的周長與直徑或半徑之間也存在類似的規(guī)律，這不但培養(yǎng)了學生的猜想能力和推理能力，還使得下一步的探究變得水到渠成，學生在認知和思維上也形成了一個完整的鏈條。

二、把握方法，使學生推理得法

“授人以魚，不如授人以漁。”培養(yǎng)學生的推理能力，教給學生常用的推理方法和推理技巧極為必要。學生只有掌握推理方法，親歷推理的過程，才能不斷感悟推理的奧妙，從而提升推理能力。推理大致可以分為合情推理和演繹推理兩種類型，而合情推理又可以進一步分為歸納推理和類比推理。

（一）合情推理

1.歸納推理

歸納推理是人們認識世界的一種重要的思維形式，它指的是根據(jù)一類事物中部分對象具有某種性質(zhì)，由此推測出這類事物都具有這種性質(zhì)。由此可見，歸納推理是一種從個別到一般的推理過程。歸納推理通常是在人們的實踐經(jīng)驗基礎上得出結(jié)論，如通過觀察、比較、分析、實驗等形成對研究對象的共性認識，最后歸納出相關結(jié)論。

師：請同學們計算“1×1;11×11;111×111”。

生1： 1×1=1;11×11=121;111×111=12321。

師：那1111×1111呢？

生2：1111×1111=1234321。

師：同學們發(fā)現(xiàn)其中有什么規(guī)律了嗎？

生3：乘數(shù)各個數(shù)位上都是1，如果乘數(shù)的數(shù)位上有2個1，那么積各個數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到2，再從2依次減1減到1，即121。如果乘數(shù)的數(shù)位上有3個1，那么積各個數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到3，再從3依次減1減到1，即12321;如果乘數(shù)的數(shù)位上有4個1，那么積各個數(shù)位上的數(shù)字就從1依次加1加到4，再從4依次減1減到1，即1234321。

師：總結(jié)得真好。那么，現(xiàn)在你們能推出11111111×11111111的結(jié)果嗎？

生4：11111111×11111111=123456787654321。

生5：這種推理的方法真好，這類算式不管再大的數(shù)我都能算出來了。

歸納推理能夠使學生從不多的事實材料中迅速發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)規(guī)律，從而培養(yǎng)學生思維的敏捷性。教學中，教師通過引導學生分析個例，從個例中發(fā)現(xiàn)此類算式具有的一般性規(guī)律，并通過這種規(guī)律使得問題的解決變得簡單，這也證實了推理的實用價值。

2.類比推理

與歸納推理不同，類比推理指的是依據(jù)兩類事物的本質(zhì)相似性，根據(jù)某類事物具有某一性質(zhì)或規(guī)律而推測出另一類事物也具有該性質(zhì)或規(guī)律。由此可以看出，類比推理是一種從個別到個別的推理方法。類比推理是學生分析和解決問題的重要手段，其有利于學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、創(chuàng)新問題，還可以有效地培養(yǎng)學生的知識遷移能力，激活學生的創(chuàng)造性思維。

例如， “比的基本性質(zhì)”教學片段。

師：我們知道，兩個數(shù)相除，又叫作這兩個數(shù)的比。那么，與除法相比，比的前項相當于什么？比的后項相當于什么？比號又相當于什么？

生1：比的前項相當于被除數(shù)，比的后項相當于除數(shù)，比號相當于除號。

師：與分數(shù)相比，比的前項、后項和比號與分數(shù)存在怎樣的對應關系呢？

生2：比的前項相當于分子，比的后項相當于分母，比號相當于分數(shù)線。

師：除法算式商不變的規(guī)律是什么？

生3：被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

師：分數(shù)的基本性質(zhì)呢？

生4：分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

師：根據(jù)比與除法、分數(shù)的關系，并結(jié)合商不變規(guī)律以及分數(shù)的基本性質(zhì)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：由于比和除法、分數(shù)具有對應關系，所以商不變規(guī)律和分數(shù)的基本性質(zhì)應該也適用于比。

生6：也就是說比的前項和后項同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，比值的大小不變。

類比推理的過程實質(zhì)上是“再創(chuàng)造”的過程。教學中，教師從新舊知識的銜接點入手，使學生在比和除法、分數(shù)之間建立起本質(zhì)的聯(lián)系。學生通過類比推理把商不變規(guī)律和分數(shù)的基本性質(zhì)遷移至對“比”的理解之中，由此推理出比的基本性質(zhì)，不但有效溝通了新舊知識的聯(lián)系，還培養(yǎng)了學生的類比推理能力。

（二）演繹推理

演繹推理具有驗證結(jié)論正確性的作用，經(jīng)常用于邏輯推理和數(shù)學證明中。在小學數(shù)學教學中，盡管較少要求嚴格、縝密的演繹推理，但是演繹推理可以提升學生思維的嚴密性，使學生的思維更具靈活性和連貫性。教師在教學中向?qū)W生滲透演繹推理的方法和理念，對于學生的數(shù)學思維發(fā)展具有重要意義。

例如，在教學中，教師引導學生根據(jù)“兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形”推出“只有一組對邊平行的四邊形不是平行四邊形”;由“銳角的度數(shù)小于直角，直角的度數(shù)小于鈍角”推出“銳角的度數(shù)小于鈍角”;由“所有的長方形都是平行四邊形，所有的正方形都是長方形”推出“所有的正方形都是平行四邊形”。

教學中，教師引導學生用嚴謹?shù)臄?shù)學語言表述演繹推理的基本過程，體驗演繹推理的基本思想，能夠提升學生思維的縝密性和數(shù)學表達能力。

三、反思過程，使推理穩(wěn)中有進

數(shù)學家波利亞曾言：“ 沒有一道題目可以解決得十全十美，總剩下些工作要做， 經(jīng)過充分的探討總結(jié)， 總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答， 而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平。”教學中，教師引導學生及時對推理過程進行回顧和反思，不但能夠使學生對推理過程的認識更加清晰，還能夠使學生及時吸納、內(nèi)化一些有意義的推理經(jīng)驗和方法。

例如， “比的基本性質(zhì)”教學片段。

師：你們是如何發(fā)現(xiàn)比的基本性質(zhì)的？

生1：我一開始想到的是比和除法、分數(shù)之間的關系，然后才進一步猜想商不變規(guī)律和分數(shù)的基本性質(zhì)對于“比”也是適用的。

師：做出這樣的推理，最重要的依據(jù)是什么？

生2：是比和除法、分數(shù)之間的密切聯(lián)系。

師：你是如何驗證自己的結(jié)論的？

生2：我把比寫成分數(shù)或除法的形式，再利用分數(shù)的基本性質(zhì)和商不變規(guī)律來驗證。

……

教學中，教師引導學生對推理的過程進行了反思。通過回溯推理過程，學生對推理過程的理解更加深刻，為積累推理經(jīng)驗，促進推理能力的進一步發(fā)展奠定了良好基礎。

推理能力是學生核心素養(yǎng)的重要組成部分，推理能力的培養(yǎng)應該貫穿小學數(shù)學教學的始終。然而，推理能力的培養(yǎng)并不是一蹴而就的，需要經(jīng)過長期的積累和感悟。因此，教師要充分挖掘教材中有利于培養(yǎng)學生推理能力的素材和資源，傳授學生常用的推理方法，引導學生用推理的方式思考問題、解決問題，不斷發(fā)展學生的理性思維，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（責編 羅 艷）