花奎

摘要：依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》修訂編寫的蘇教版高中數學教材中，“基本不等式”（第1課時）編寫的變化比較大，主要體現在兩個方面：強化幾何直觀，拓展知識結構。其教學價值（立意）有：挖掘知識源頭，凸顯數學文化;揭示知識演化，促進分支融合。

關鍵詞：幾何直觀;知識結構;高中數學新教材;基本不等式

2020年秋學期，江蘇省大部分地區(qū)開始在高一年級使用依據《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“新課標”）修訂編寫的蘇教版高中數學教材（以下簡稱“新教材”）。剛開始使用新教材時，教師尤其要注意將其與修訂之前的舊教材做比較，找出不同之處，理解修訂意圖，這樣才能更好地設計和實施教學。在新舊教材的對比中，筆者發(fā)現“基本不等式”（第1課時）的編排變化比較大。本文重點分析新教材“基本不等式”（第1課時）編排的變化及其價值（立意），由此設計相應的教學。

一、新教材的變化

新舊教材都從不等臂天平稱量物體質量的情境出發(fā)，引出算術平均數和幾何平均數的概念;在引導學生猜想它們的大小關系后，利用作差法、分析法、綜合法等方法證明;然后通過例題和練習，引導學生應用基本不等式解決一些比較簡單的數學問題。除了根據新課標的要求調整了這一內容在高中數學知識體系中的位置，以及因為調整順序刪除了與指數有關的練習之外，新教材相對于舊教材的編排變化主要體現在兩個方面：

（一）強化幾何直觀

舊教材在證明基本不等式前，給出了“取一些數作試驗，計算結果表明ab≤a+b2（a、b≥0）”的活動陳述;在證明基本不等式后，提出了“根據下頁圖1，你能給出基本不等式ab≤a+b2的幾何解釋嗎”的思考問題。而新教材刪除了取值試驗的活動陳述，同時在證明基本不等式前，給出了幾何解釋的結果闡述，還增加了“利用‘弦圖（如下頁圖2），給出基本不等式的另一種幾何解釋”的練習。由此，突出了基本不等式的幾何意義，強化了幾何直觀。

（二）拓展知識結構

新教材在證明基本不等式后，增加了ab≤a2+b22（a、b∈R）和ab≤a+b22（a、b∈R）這兩個簡單的推論，同時說明“這兩個不等式通常可以直接使用”。還增加了“利用直角三角形三邊關系，證明1

二、教材變化的價值（立意）

（一）挖掘知識源頭，凸顯數學文化

數學史上，人們對代數關系的認識往往源于幾何圖形，因為“很多事情單憑抽象思維不易明白，加上直觀形象便清晰得多了”。比如，完全平方公式、平方差公式、解一元二次方程的配方法、三角函數公式等代數關系都是通過幾何圖形中的長度或面積關系發(fā)現的——尤其是三角函數，最初就是幾何量，后來才逐漸代數化的?；静坏仁揭膊焕?，新教材突出的幾何意義便來自歷史材料：

古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》卷六命題13中給出了兩條已知線段的幾何中項的作法：如圖3，以AB為直徑作半圓ADB，作CD⊥AB，則CD 即為AC和CB的幾何中項。3世紀末，古希臘數學家帕普斯在《數學匯編》卷三第2部分給出了兩條已知線段更多中項的作法：如圖4，以AB為直徑作半圓ADB，作CD⊥AB，連接OD，作CE⊥OD于E，則OD、CD、DE分別為AC和CB的算術中項、幾何中項和調和中項。根據這樣的中項作圖顯然可以得到基本不等式的幾何解釋。

3世紀，我國數學家趙爽在給《周髀算經》“勾股圓方圖”作注時給出了“弦圖”。 “弦圖”不僅可以證明勾股定理，而且可以解釋基本不等式。

（二）揭示知識演化，促進分支融合

數學知識具有聯(lián)系性和整體性。把握這種聯(lián)系性和整體性，才能實現深度學習，發(fā)展核心素養(yǎng)。這要求教師在數學教學中，關注不同模塊（領域）知識的融合以及同一模塊（領域）知識的演化，適當融入相關內容，把知識點變成知識鏈、知識網，從而幫助學生完善認知結構，全面把握知識。

新教材突出基本不等式的幾何意義，可以幫助學生打通代數與幾何的聯(lián)系，感悟數與形的融合;增加基本不等式的推論，可以引導學生發(fā)展知識點，形成知識鏈;而增加證明三角不等式的練習，則可以引導學生進一步發(fā)展知識鏈，并打通與三角函數的聯(lián)系。

三、教學過程

基于上述對新教材修訂的分析，“基本不等式”（第1課時）的教學要突出這兩大變化。具體教學過程及設計意圖如下：

（一）現實情境引入

利用新教材中不等臂天平稱量物體質量的情境，引出合情推理估計值a+b2和演繹推理精確值ab，從而自然提出“比較a+b2與ab的大小”這一本節(jié)課的核心問題。

[設計意圖：教材所給的情境體現了數學的應用價值，能讓學生體會到數學來源于現實的需要，也能很好地幫助學生積累運用數學知識解決實際問題的經驗。]

（二）直觀猜想結論

教師引導：“a+b2和ab叫作兩個正數a、b的算術中項和幾何中項。3世紀末，古希臘數學家帕普斯給出了中項的幾何作圖方法。如圖5，AB是⊙O的直徑，C為AB上異于端點的一點，若AC=a，CB=b，你能在圖中找到或作出長度分別為a+b2和ab的線段嗎？由此，你能發(fā)現它們的大小關系嗎？”學生合作討論，得出作圖方法以及大小關系。

[設計意圖：融入數學史料設計問題，引領學生重走數學家的探究發(fā)現之路，再現基本不等式的源頭，揭示基本不等式的幾何意義。]

（三）代數證明結論

教師引導學生嘗試用不同的方法證明基本不等式。學生首先想到“化無理為有理”，得到“把a+b2和ab平方，再作差比較”的方法。在此基礎上，教師歸納出“作差比較法”，引導學生發(fā)現平方、作差后的關鍵步驟——配方，從而得到“直接作差，再配方”的方法，即新教材中的證法1。然后，教師引導學生“執(zhí)果索因”嘗試用“分析法”證明，得到新教材中的證法2。對此，教師讓學生聯(lián)系之前學習的充要條件知識，明確“要證A，只要證B”的本質是“BA”，即B是A的充分條件。在此基礎上，教師引導學生確認每一步都是上一步的充分條件，從而反過來“由因導果”，得到新教材中的證法3。

最后，教師引導學生回顧討論幾種證法的特點：比較大小常用的方法是作差，將差值與0比較;分析法的特點是盯住結論，尋找使之成立的條件，綜合法則剛好與分析法相反。

[設計意圖：直觀猜想不能代替代數證明。代數證明可以訓練學生的推理能力和計算能力，培養(yǎng)學生的理性精神。]

（四）拓展不等式鏈

教師改編新教材中證明三角不等式的練習，提出問題：“我們知道，根據勾股定理，直角三角形的三邊可設為a、b、a2+b2。根據三角形的三邊關系，有a+b>a2+b2。這個不等式和基本不等式a+b2≥ab有不少相似的地方，比如，a、b都是正數，兩邊都是關于a、b的一次對稱式。但是也有不同的地方——前者取不到等號，而后者在a=b時取等號。你能想辦法調整一下，讓前者也能在a=b時取等號嗎？要求兩者原來相似的地方不變?！睂W生合作討論，得出“給a2+b2加上系數2”的方法。教師順勢提問：“這時，不等關系還是a+b≥2a2+b2嗎？”學生取值試驗后猜想：可能是a+b≤2a2+b2。

接著，教師提問：“那你能像之前那樣，用幾何作圖來驗證這個不等式嗎？”學生討論無果。教師提示：“如何作圖表示a2+b2？”學生想到作直角三角形，找斜邊。教師再提示：“如何作圖表示2a2+b2？”學生想到以斜邊為邊作正方形，找對角線。教師追問：“你發(fā)現a+b和2a2+b2的大小關系了嗎？”學生作圖后，發(fā)現還是無法比較。教師展開引導：“3世紀，我國數學家趙爽用‘弦圖證明了勾股定理?！覉D有直角三角形在內和在外兩種作法。在外的作法如圖6所示。你能用它發(fā)現a+b和2a2+b2的大小關系嗎？”學生恍然大悟：圖中四個直角三角形的兩條直角邊長均分別為a、b，則大正方形邊長為a+b，小正方形的對角線長為2a2+b2，根據“平行線之間垂線段最短”，有a+b≤2a2+b2。

然后，教師提問：“那你能像之前那樣，用代數計算來證明這個不等式嗎？”學生回顧之前證明基本不等式的幾種方法，發(fā)現這里的a2+b2是一個整體，必須通過平方才能拆開，從而得到“把a+b和2a2+b2平方，再作差比較”的方法。

這時，教師出示教材中的練習：“設0°<α<90°，利用直角三角形三邊關系，證明1

自然地，教師引導學生綜合這一不等式和基本不等式，得到不等式鏈a+b2ab≤2a2+b22，即2ab≤a+b≤2a2+b2。

[設計意圖：改編教材練習融入教學，引導學生關注基本不等式的本質特征（關于正數a、b的一次對稱式），從而構造新的關于正數a、b的一次對稱式，拓展得到不等式鏈。]

（五）升級不等式鏈

教師提出問題：“回顧兩個不等式‘平方，再作差比較的證明過程，你還能發(fā)現什么不等式？”學生有點茫然。教師提示：“也就是說，這兩個不等式平方后能得到什么？”學生恍然大悟，得到升級的不等式鏈ab≤a+b22≤a2+b22，即2ab≤（a+b）22≤a2+b2，即4ab≤（a+b）2≤2（a2+b2）。

然后，教師提問：“那你還能像之前那樣，用幾何作圖來驗證這個不等式嗎？”并提示：“之前是一次式，用圖形的長度來表示，現在是二次式，用圖形的什么來表示呢？”學生想到圖形的面積，合作討論作出內外都有直角三角形的“弦圖”（如圖7），將ab、a2+b2、（a+b）2分別用圖中兩個直角三角形的面積和、小正方形的面積、大正方形的面積表示，從而用圖中面積的不等關系驗證上述“升級”的不等式鏈。

這時，教師引導學生進一步發(fā)現“平方升級”前的不等式鏈要求a、b是非負數，而“平方升級”后的不等式鏈只要求a、b是實數。

[設計意圖：改編教材推論的編寫融入教學，繼續(xù)引導學生關注基本不等式的本質特征（關于正數a、b的一次對稱式），從而構造關于正數a、b的二次對稱式，“升級”得到不等式鏈。]

（六）嘗試應用結論

教師引導學生完成新教材中的兩道例題。例1讓學生初步體驗運用基本不等式證明不等式，體會“積為定值，和有最小值”這一基本事實。例2讓學生了解應用基本不等式求最值，有時要對所給的表達式做變形或轉化，以滿足“一正，二定，三相等”三個條件。

最后，在課堂小結中，教師特別讓學生體會兩個不等式鏈中ab、a+b、a2+b2，ab、（a+b）2、a2+b2等式子的結構特征。在課后作業(yè)中，引導學生思考如何利用已有一次、二次式構造新的一次、二次乃至三次式如構造一次式aba+b并比較同次式的大小，發(fā)現更多不等式。這進一步培養(yǎng)了學生的代數“結構感”，豐富了學生的知識結構。

參考文獻：

[1] 徐彥輝.例析代數問題解答中“結構感”的培養(yǎng)[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（10）.