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        植樹問題中的模型建立與方法指導(dǎo)

        2021-06-28 12:46:38馮行順
        關(guān)鍵詞:植樹問題方法指導(dǎo)

        馮行順

        [摘 要]“植樹問題”的核心思想是歸納法(即從特殊情況推廣到一般情況的合情推理)和分類討論的思想方法(如兩端都栽、兩端不栽、封閉路線),以及由此衍生出來的方陣隊(duì)列問題等。其傳達(dá)的學(xué)科核心素養(yǎng)是一一化歸思想,同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到建模帶來的便捷。

        [關(guān)鍵詞]植樹問題;模型建立;方法指導(dǎo)

        [中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068(2021)17-0062-02

        “植樹問題”一課的教學(xué)重點(diǎn)是植樹時(shí)分隔的段數(shù)與植樹株數(shù)之間的關(guān)系,教學(xué)難點(diǎn)是將解決植樹問題的方法抽象成一個(gè)模型去解決類似問題。教學(xué)中,解題不是重點(diǎn),重點(diǎn)是讓學(xué)生體驗(yàn)并感知復(fù)雜問題可以從簡(jiǎn)單問題入手,也就是從特殊到一般的合情推理,歸納出數(shù)學(xué)公式和定理,將數(shù)形結(jié)合、對(duì)應(yīng)、化歸等數(shù)學(xué)思想方法囊括其中,經(jīng)歷探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和概括形成數(shù)學(xué)理論的過程,落實(shí)知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三維目標(biāo),提高學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)。

        一、探究新知,建立模型

        出示例題:市政局綠化隊(duì)在全長100 米的柏油馬路的一邊栽行道樹,一共需要多少株樹苗?

        1.補(bǔ)充信息

        師:如果請(qǐng)你來當(dāng)規(guī)劃師,還需要路政部門提供什么數(shù)據(jù)?(株距5米)

        2.理解信息

        師:株距5米,是什么意思?

        3.提出研究策略

        師:你準(zhǔn)備采取什么策略解決這個(gè)問題?

        (指點(diǎn)學(xué)生遇到較復(fù)雜問題時(shí),先進(jìn)行簡(jiǎn)化處理,如將柏油馬路的長改為“20米”去研究)

        4.自主探究

        給學(xué)生提供學(xué)具“一段20厘米長的黑膠帶(模擬柏油馬路),一段長5厘米的木方(當(dāng)作間隔)”,讓學(xué)生邊分段邊將小樹畫在黑膠帶上。

        學(xué)生自主探究:(1)用擺放、圖示的方法去研究,并完成表格。

        [柏油馬路長20米(總長) 每隔5米栽一棵(間隔) 有幾個(gè)間隔(分隔的段數(shù)) 栽了幾株樹(株數(shù)) ]

        (2)組內(nèi)分享展示。

        5.小組匯報(bào)

        方法一:用學(xué)具演示并輔助說明。

        方法二:圖示法演示。

        6.比較發(fā)現(xiàn):不論何種方法,都指向一個(gè)結(jié)果,那就是20米被等分成4小段,種下5株樹。

        師:你對(duì)分隔的段數(shù)和株數(shù)有什么發(fā)現(xiàn)?

        動(dòng)畫演示:在20米長的柏油馬路上種行道樹,一株樹緊隨一段間隔(一株樹和一段間隔黏在一起),輪到第五株樹時(shí),后面沒有續(xù)接間隔,直觀演示株數(shù)比分隔的段數(shù)多1。

        師:根據(jù)剛才畫的線段圖和多媒體演示,列出算式。

        板書:20÷5=4(段) 4+1=5(株)

        【設(shè)計(jì)意圖:如此教學(xué)淺顯易懂,通過商討栽行道樹問題,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)什么是間隔的段數(shù),同時(shí)縮減間距,化繁為簡(jiǎn),將學(xué)習(xí)難度降級(jí),目的在于讓學(xué)生在開放情境中回歸初始狀態(tài),用木方度量間隔段數(shù)的方法推算出株數(shù)和分隔的段數(shù)。在學(xué)生匯報(bào)時(shí),由學(xué)生操作轉(zhuǎn)入教師繪圖,同時(shí)配合動(dòng)畫模擬演示植樹情境,巧用一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想,揭示“多1”的原因,最后讓學(xué)生列出算式,從而幫助學(xué)生建立全面清晰的表象,初步建立植樹問題的模型?!?/p>

        二、合作研究,驗(yàn)證模型

        1.小組學(xué)習(xí)指導(dǎo)

        (1)每人隨機(jī)挑選一組數(shù)據(jù),自選方法驗(yàn)證栽行道樹問題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律。

        (2)組內(nèi)交流栽行道樹問題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律。

        2.小組合作探究

        分別分析10米、15米、25米、30米柏油馬路上種行道樹的情況。

        3.匯報(bào)交流,發(fā)現(xiàn)并檢驗(yàn)規(guī)律的真實(shí)性

        板書:全程÷每段間距=分隔的段數(shù);分隔的段數(shù)+1=株數(shù)。

        4.數(shù)形結(jié)合,解釋模型

        師:綜合分析多組數(shù)據(jù)總結(jié)出“株數(shù)=分隔的段數(shù)+1”。為什么“兩端都栽”的情形下,株數(shù)是“分隔的段數(shù)+1”呢?多的1株樹是從哪里冒出來的?

        【設(shè)計(jì)意圖:有了夯實(shí)的基礎(chǔ),教師放權(quán)讓學(xué)生自由研究后合作交流,再給不同數(shù)組配圖,幫助學(xué)生證實(shí)之前的推斷,發(fā)現(xiàn)兩端都栽的數(shù)學(xué)規(guī)律。在這個(gè)過程中,學(xué)生對(duì)化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想有了深切體會(huì),并通過反復(fù)證明,最終確信:分隔段數(shù)+1=株數(shù)。學(xué)生依仗線段圖,利用數(shù)形結(jié)合、圖文配合,讓思維發(fā)展有了肥沃的土壤,并感受到數(shù)學(xué)思想方法的魅力。】

        模型的建立不能完全由教師牽著學(xué)生進(jìn)行,而應(yīng)該由學(xué)生合力創(chuàng)建,在建立模型的過程中落實(shí)合作研究、交流展示等學(xué)習(xí)方法。教師要做的只是提供技術(shù)指導(dǎo),做出戰(zhàn)略部署,而一磚一瓦都要由學(xué)生拼搭。如教師只是提供幾組數(shù)據(jù)作為素材,由學(xué)生自由選擇一組數(shù)據(jù)作為“全程”和“間距”來構(gòu)建模型,進(jìn)行栽樹操作。學(xué)生可以自由發(fā)揮,大膽創(chuàng)新。學(xué)生拿著選好的數(shù)據(jù)進(jìn)行小組合作,自創(chuàng)模型:可以是在公路上栽樹,可以是在圍墻上插紅旗,可以是汽車長途行駛的途中每隔一段距離加油一次,形形色色,不一而足。最后發(fā)現(xiàn),無論是在哪種情境下建立的模型,最后兩端都栽樹(起止兩處端點(diǎn)都各進(jìn)行一次獨(dú)立試驗(yàn)),那么試驗(yàn)次數(shù)就比間隔段數(shù)多1,這個(gè)試驗(yàn)可以是栽樹間隔也可以是鋸木頭,甚至是敲鐘,間隔數(shù)可以是距離間隔,也可以是時(shí)間間隔。所有模型都指向一個(gè)規(guī)律(也是模型的主要性質(zhì)和課程重點(diǎn)),那就是兩端都栽的情況下,“栽樹株數(shù)=間隔數(shù)+1”。

        三、教學(xué)反思

        1.線索流暢、簡(jiǎn)明易懂,歸功于不斷改進(jìn)

        新課伊始,引出例題,迅速確立課程內(nèi)容,緊接著將植樹問題中的數(shù)據(jù)改小。教師在學(xué)生自主探究時(shí)指導(dǎo)有方,點(diǎn)到為止,讓學(xué)生利用學(xué)具擺放或者自主畫出線段圖,解析問題后列式。學(xué)生在手腦并用中初步建立了植樹問題的模型。一開始,讓學(xué)生自主探索20米柏油馬路上種行道樹的規(guī)律時(shí),學(xué)生在畫線段圖的過程中感到阻礙重重,不知從何下手。此時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生用黑膠帶代替柏油馬路,用木方代替5米的間隔,邊度量邊標(biāo)記行道樹,最終推算出行道樹株數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。

        在學(xué)生匯報(bào)操作結(jié)果后,教師指示學(xué)生繪制線段圖,其用意在于給學(xué)生搭建研究方法的臺(tái)階,由粗笨的黑膠帶操作升級(jí)到靈巧的畫線段圖、列算式,從而厘清間距、分隔的段數(shù)、株數(shù)三者之間的數(shù)量關(guān)系,一舉攻克重點(diǎn)和難點(diǎn)。經(jīng)過一番探究,學(xué)生對(duì)栽行道樹問題中間距、分隔的段數(shù)、株數(shù)的數(shù)量關(guān)系已初步建立了模型,為后續(xù)的檢驗(yàn)埋下伏筆。這也反映教師對(duì)學(xué)生的方法指導(dǎo)嚴(yán)謹(jǐn)有序,循序漸進(jìn)。

        2.注重實(shí)踐、體驗(yàn),探究隱藏的數(shù)學(xué)思想方法

        教師的指導(dǎo)給學(xué)生創(chuàng)造了更多體驗(yàn)的機(jī)會(huì),借助圖示和動(dòng)畫揭示問題本質(zhì),能使學(xué)生清醒地認(rèn)識(shí)到株數(shù)并不是簡(jiǎn)單等于分隔的段數(shù)。學(xué)生在首次探究后,教師趁機(jī)追問“你能找出什么規(guī)律”,啟發(fā)學(xué)生透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律。這樣將解決問題的經(jīng)過原原本本地展現(xiàn)出來,可讓學(xué)生縱觀全局,形成謀略。在探究栽行道樹問題的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律的本質(zhì)時(shí),教師動(dòng)畫演示“20米的柏油馬路上一株樹緊隨一段間隔,第五株樹身后沒有跟隨一段間隔”,有助于學(xué)生直觀發(fā)現(xiàn)株數(shù)比分隔的段數(shù)多1。這里,動(dòng)畫演示巧用一一對(duì)應(yīng)的思想方法揭示多1的真相,幫助學(xué)生建立起全面穩(wěn)定的表象,進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型,為后續(xù)研究一端栽樹和兩端都不栽樹的情形打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

        (責(zé)編 羅 艷)

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