施永紅

[摘? 要] 章建躍先生在文[1]中提到：能自覺地運用一般觀念指導(dǎo)數(shù)學學習與探究活動，是學生學會學習的標志，是從“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的過程，也是理性思維得到良好發(fā)展的表現(xiàn). 新課程理念下的習題課教學，就可以通過“活用教材→深入探究→注重數(shù)學通性通法→掌握數(shù)學思想和方法→形成一般觀念→指導(dǎo)數(shù)學學習與探究活動→……”的路徑達到培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)、落實“四基”和“四能”的教學目標.

[關(guān)鍵詞] 通性通法;思想方法;核心素養(yǎng);一般觀念？搖

引言

“直線方程”是解析幾何的起始內(nèi)容，也是解析幾何的基礎(chǔ)，所以在這個單元要充分挖掘有利于育人的教學素材.其中通過習題課教學充分調(diào)動學生學習與探究的積極性，注重數(shù)學通性通法，有利于形成一般觀念，進而培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)、落實“四基”和“四能”. 下面從直線方程的習題課教學過程及課后作業(yè)批改體會等方面淺談習題課教學中形成一般觀念的路徑.

習題課典型例題分析

【課堂典例1】 人教A版課本P115B8

過點P（3，0）作直線l使它被直線l ：2x-y-2=0和l ：x+y+3=0截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程.

解法一分析：要求出過點P（3，0）的直線l的方程，還需要另外一個點，可以把l 與l的交點A的坐標設(shè)出來，因為l ：2x-y-2=0，所以設(shè)交點只需要設(shè)出橫坐標a，縱坐標用2a-2表示，即設(shè)A（a，2a-2）;再利用中點坐標公式求出l 與l的交點B的坐標B（6-a， 2-2a），把B的坐標代入l 的方程，求出a，即得A ， ，用兩點式求解.

這是平常思維比較活躍的學生提供的思路，即運用“坐標法”.

解法二分析：要求出過點P（3，0）的直線l的方程，還缺一個“方向”，經(jīng)分析斜率存在，設(shè)為k.分別聯(lián)立l ：2x-y-2=0與l的方程y=k（x-3）及l(fā) ：x+y+3=0與l：y=k（x-3）的方程，用k分別表示l 與l的交點A ， ，l 與l的交點B ， ，再利用A，B的中點是P（3，0），求出k即可.

這是另一位學生提供的思路，設(shè)出所求直線方程的方法，即“待定系數(shù)法”.從計算量大小的角度看，本例題用設(shè)點坐標法更好.

【課堂典例2】 人教A版課本P110B9

已知△ABC的頂點A（6，1），AB邊上的中線CM所在直線方程2x-y-5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，求：（1）頂點C的坐標;（2）直線BC的方程.

分析：（1）C ，4，解略.

（2）以下是兩位學生提供的不同解法.

解法一分析：設(shè)B（2n+5，n），則AB中點M ， ，把M的坐標代入直線2x-y-5=0，得2· - -5=0，得n=- ，從而B- ，- ，再用兩點式求得直線BC的方程（下略）.

解法二分析：依題意，直線BC有斜率，設(shè)為k，則直線BC方程為y-4=kx- ，聯(lián)立x-2y-5=0，得B ， ，AB中點M ， 在中線CM所在直線2x-y-5=0上，即： 2· - -5=0，解得：k= （下略）.

第一位學生運用的是“坐標法”，第二位學生運用的是“待定系數(shù)法”.同樣，從計算量大小的角度看，本題運用“坐標法”更好.

【課堂典例3】 蘇版的B組題

已知兩條直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都過點A（1，2），求過兩點P （a ，b ），P （a ，b ）的直線方程.

分析：已知兩條直線a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都過點A（1，2），即有：a +2b +1=0且a +2b +1=0，即：點P （a ，b ），P （a ，b ）的坐標（a ，b ），（a ，b ）均滿足x+2y+1=0，所以方程x+2y+1=0表示的直線必過點P ，P ，所以過兩點P （a ，b ），P （a ，b ）的直線方程為：x+2y+1=0.

本題不乏其他解法.上述解法是“坐標法”的典型應(yīng)用：用“直接把交點A（1，2）代入兩條直線方程”來代數(shù)化“兩條直線都過點A（1，2）”，再觀察所得方程的形式特點，得到P ，P 的坐標同時滿足的方程，此方程即為所求，體現(xiàn)了代數(shù)問題幾何化和再從幾何問題代數(shù)化的數(shù)學思想和方法.

通過本節(jié)習題課中學生的表現(xiàn)，可以看出筆者在教學中不斷強調(diào)解析幾何的最基本的思想及注重通性通法的教學效果. 解析幾何的基本思想和方法是“幾何問題代數(shù)化”和“代數(shù)問題幾何化”，而解決本節(jié)課中問題的通法就是“坐標法”和“待定系數(shù)法”. 所以在這種習題課中形成一般觀念的路徑是：活用教材→深入探究→注重數(shù)學通性通法→掌握數(shù)學思想和方法→形成一般觀念. 除了課堂中的學習與探究活動，還需要在初步形成的一般觀念指導(dǎo)下，課后通過完成作業(yè)的方式，繼續(xù)讓學生參與學習與探究活動，進而逐步形成良好的循環(huán)圈.只有形成了這樣的循環(huán)圈（即路徑），才能培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)、落實“四基”和“四能”.所以本節(jié)習題課結(jié)束后，筆者布置了如下的作業(yè)題：

已知三角形的三個頂點分別是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求角A的平分線的方程.

作業(yè)批改中發(fā)現(xiàn)的教學效果

作業(yè)題的難點是：如何把“角平分線”的條件代數(shù)化.結(jié)果在批改中發(fā)現(xiàn)學生在作業(yè)中的良好表現(xiàn)，筆者按照“如何代數(shù)化‘角平分線的條件”來將方法歸類.

【類型一】 用“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”來代數(shù)化“角平分線”的幾何條件

解法一：（待定系數(shù)法）

設(shè)出角A平分線的點斜式方程，利用角平分線的性質(zhì)求斜率（有增根，要舍根）.

解析：若角平分線的傾斜角為90°，則不可能. 設(shè)角A的平分線斜率為k，則角A的平分線方程為：y-1=k（x-4），令x=0，y=1-4k，得角A平分線與y軸的交點為N（0，1-4k），則點N到直線AB：4x-3y-13=0與到直線AC：3x+4y-16=0的距離相等，所以

= ，

即3k-4=-4k-3，所以k=-7或k= ，易得k= 是外角平分線的斜率，舍去. 所以角A平分線l的方程7x+y-29=0.

解法二：（軌跡法）

角A平分線上的動點M（x，y）滿足的幾何條件：點M到直線AB與到直線AC的距離相等. 由點到直線的距離公式，將幾何條件代數(shù)化，得到角平分線上的動點M的橫坐標x與縱坐標y的關(guān)系式，從而得到角平分線的方程. 由距離公式的特點，有增根，要舍根. 如圖1，解略.

此方法從本質(zhì)上與法一大同小異，都是利用“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”來代數(shù)化“角平分線”的幾何條件;解法一通過設(shè)直線的點斜式方程，得到角平分線的斜率;解法二通過設(shè)直線上的動點坐標直接得到角平分線上動點滿足的方程.事實上學生剛接觸解析幾何，動點軌跡的思想還很薄弱，因此法一尤其顯得難能可貴.

【類型二】 對稱轉(zhuǎn)化“角平分線”法

解法三：（坐標法）

設(shè)出對稱點坐標，通過“距離相等”代數(shù)化“對稱（角平分線特點）”的條件，求出對稱點坐標，再利用對稱性求角平分線的斜率.

解析：把直線AB，AC關(guān)于角平分線對稱，轉(zhuǎn)化為直線上的點關(guān)于角平分線對稱，即：設(shè)點C關(guān)于角A平分線的對稱點C0（或點B關(guān)于角A平分線的對稱點B0）的坐標（由于直線已知，所以所設(shè)的橫、縱坐標只有一個未知數(shù)），再用“AC=AC ”或“AB=AB ”來代數(shù)化“對稱（角平分線特點）”的條件，從而建立對稱點坐標的方程來求解.

解析：如圖2. 設(shè)在AB：4x-3y-13=0上與點C關(guān)于角平分線對稱的點C a， ，且有AC=AC （所設(shè)的定點C 所滿足的幾何條件），利用兩點的距離公式，將條件代數(shù)化： 10= ，解得：a=10，或a= -2（舍），所以C （10，9）. 又C（-4，7），所以k = = . 因為CC ⊥角平分線l，所以k =-7（下略）.

或者：如圖3，在AC：3x+4y-16=0上設(shè)出與B關(guān)于角平分線對稱的點B a， . 由AB=AB 同理可得：a=0，或a=8（舍），所以B （0，4）（下略）.

注意：本題是用“角的頂點到兩邊上關(guān)于角平分線對稱的點的距離相等”來代數(shù)化“對稱（角平分線的特點）”的條件，從而建立相關(guān)對稱點坐標的方程來求解.

解法四：（數(shù)形結(jié)合法）

充分挖掘圖形的幾何特征，直接找到點B關(guān)于角平分線對稱的點的坐標.

解析：因為AC=10=2AB，取AC中點M（0，4）. 因為AM=AB=5，所以點M（0，4）與點B（7，5）必是關(guān)于角A平分線的對稱點，因為k = = ，BM⊥角平分線l，所以k =-7（下略）.？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

法四的價值在于：發(fā)現(xiàn)AC=10=2AB，自主求出AC中點M（0，4），必有AM=AB=5，所以點M（0，4）必是點B關(guān)于角A平分線的對稱點，從而由對稱性得到角A的平分線的斜率.

同樣是用“角的頂點到兩邊上關(guān)于角平分線對稱的點的距離相等”來代數(shù)化“角平分線”的條件，解法四與解法三不同的是：通過觀察探究，直接找到了點B關(guān)于角平分線對稱的點的坐標（0，4），而不是通過常規(guī)的“設(shè)點坐標、建立方程”求解.可見，充分挖掘圖形的幾何特征有利于減少代數(shù)的計算量.

【類型三】 利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等”代數(shù)化“角平分線”的條件.

解法五：（三角法）

先充分挖掘圖形的幾何特征，再找角平分線的傾斜角從而得到斜率.

因為k ·k =- · =-1，所以AC⊥AB，如圖4，角平分線的傾斜角β為AB的傾斜角α加上45°.因為k = =tanα，角平分線的斜率k=tanβ=tan（α+45°）= = =-7，由點斜式得（略）.

本方法利用圖形的幾何特征，從觀察傾斜角為切入口，利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等”代數(shù)化“角平分線”的條件，直接找到角平分線的傾斜角與角的兩邊的傾斜角的關(guān)系，從而求出斜率. （若設(shè)直線AC的傾斜角為γ，則γ=β+45°，所以β=γ-45°，tanγ=- ，亦同理可得.）

解法六：（三角法）

由角相等，挖掘傾斜角的關(guān)系，用斜率來坐標化傾斜角. 作出直線AB，AC及角A的平分線與x軸的交點，則直線AB的斜率為k = ，傾斜角為α ;角A平分線的斜率為k ，傾斜角為α ;直線AC的斜率為k =- ，傾斜角為α . 由對頂角相等及三角形外角和定理得：α -α =α -α （1），由k =tanα ，k =tanα ，k =tanα ，所以將（1）式兩邊取正切（本題有意義）：所以tan（α -α ）=tan（α -α ），所以 = ，所以 = .

所以 = 整理得：（3k -4）2=（4k +3）2，從而求出斜率（有增根，要舍根）（下略）.

此方法與解法五如出一轍，都是利用“角平分線與角的兩邊所成的角相等，由傾斜角入手來代數(shù)化“角平分線”的條件. 解法五是首先挖掘到“角的兩邊互相垂直”，很明顯解法六更具一般性.

【類型四】 利用角平分線定理求出角A平分線與BC的交點D的坐標

解法七：設(shè)點（角A平分線與BC交點D）（向量法）

利用角平分線定理，結(jié)合數(shù)乘向量，求出角A平分線與BC交點D的坐標，用兩點式得AD的方程.

解析：設(shè)角A平分線與BC交點為D，由等面積法或正弦定理易證： = = ，因為點D在線段AB上，可以把線段的距離比轉(zhuǎn)化為數(shù)乘向量： =2 ，

因為C（-4，7），D（x，y），B（7，5），所以（x+4，y-7）=2（7-x，5-y），

所以x+4=14-2x，y-7=10-2y，所以x= ，y= ，所以D ， . 又A（4，1），由兩點式得直線AD（即角平分線）的方程.

本方法的價值是：利用數(shù)乘向量把角平分線中的距離比 = = 轉(zhuǎn)化為 =2 ，使得二維的距離代數(shù)運算（二元）轉(zhuǎn)化為一維的代數(shù)運算（一元），大大減少了計算量;但是本方法要求學生對“角平分線的性質(zhì)”很熟悉.

通過比對發(fā)現(xiàn)，凡是能夠充分挖掘圖形的幾何特征的方法，如法四、五、六、七等，計算量都比較小. 可見解析幾何中數(shù)學運算素養(yǎng)的發(fā)展，是與數(shù)形結(jié)合、直觀想象的素養(yǎng)發(fā)展緊密聯(lián)系的.

筆者在批改作業(yè)的時候，深深為學生的拓展思維所折服. 即使是基礎(chǔ)較弱的孩子，也有閃光的智慧. 很明顯，學生已經(jīng)逐步形成了解決解析幾何問題的一般觀念：作圖（數(shù)形結(jié)合挖掘可代數(shù)化的幾何條件），設(shè)點（求定點坐標或求動點軌跡），或者根據(jù)題意設(shè)方程（本題是設(shè)直線方程的點斜式）. 一般觀念不僅能引領(lǐng)學生開展前后一致、邏輯連貫的學習活動，而且還能激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，使發(fā)現(xiàn)數(shù)學對象的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律成為可能，從而使學生應(yīng)用概念思維的一般觀念解釋較大范圍的一系列相關(guān)現(xiàn)象，感受一般觀念的普適性以及在解決數(shù)學問題中的威力[1] ，這樣才能逐漸發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).

筆者認為學生在作業(yè)中令人眼前一亮的驚艷的表現(xiàn)，必是這一段時間的課堂教學積累的成效;通過解析幾何中的問題解決，學生充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問題，而不是機械地復(fù)述數(shù)學，可以使學生體驗數(shù)學的思想方法，構(gòu)建自己的數(shù)學觀念，激發(fā)學生的自主性特征，即自尊、自信、自律和自我激勵，培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣[2]，這樣的“活用教材習題，掌握思想方法，形成一般觀念”教學只要持之以恒，學生的數(shù)學學科素養(yǎng)必定得到不斷提升.

教學后的反思

“坐標法”是解決解析幾何問題的通性通法，也是解析幾何的核心思想和方法，即“幾何問題代數(shù)化”. 在教學中我們要反復(fù)強調(diào)“先直觀感知圖形性質(zhì)、再用坐標代數(shù)化”的一般觀念，概括起來就是：

1. 數(shù)形結(jié)合（充分挖掘圖形的幾何特征，使得幾何條件可以坐標化;同時重視代數(shù)式子幾何化）.

2. 在坐標系中設(shè)點坐標（定點或動點），然后利用幾何條件，求出定點;或者求出動點坐標x，y的關(guān)系，即點的軌跡方程（注意純粹性和完備性），通過研究方程來研究圖形性質(zhì)（本單元的圖形是直線;之后會學習圓及橢圓、雙曲線、拋物線，由一般觀念同理可得）.

3. 如果圖形是直線，則設(shè)出方程的相關(guān)形式，即待定系數(shù)法;注意直線方程各種形式的適用條件. 若采用點斜式，應(yīng)先分類考慮斜率不存在的情況;若采用截距式，應(yīng)先分類判斷截距是否為零（本單元的圖形是直線;之后會學習圓及橢圓、雙曲線、拋物線，由一般觀念同理可得）.

當學生在老師的引導(dǎo)下概括出以上三點，同時把“數(shù)學運算”的核心素養(yǎng)扎實落地，那么以后再持續(xù)學習解析幾何可以說“走遍天下都不怕了”，這就是“一般觀念”的威力！

參考文獻：

[1]? 章建躍. 核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)4）——《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫[J]. 中學數(shù)學教學參考，2019（28）.

[2]? 何小亞. 數(shù)學學與教的心理學[M]. 廣州：華南理工大學出版社，2016.