張仰發(fā)

【摘要】本文以《加法運(yùn)算定律》一課為例，論述數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用，具體提出以形釋數(shù)、以數(shù)化形及數(shù)形互變?nèi)N應(yīng)用方式，目的是提高學(xué)生分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 《加法運(yùn)算定律》

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）45-0081-02

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)學(xué)科中最基本的兩個(gè)研究對(duì)象，在一定條件下二者可以互相轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合思想就是利用“數(shù)”“形”互變的特點(diǎn)，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用大致可分為“以形釋數(shù)”“以數(shù)化形”“數(shù)形互變”等幾種形式，其應(yīng)用目的是使復(fù)雜抽象的問(wèn)題趨于簡(jiǎn)單化和具體化。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)科的抽象特征和小學(xué)生的思維特點(diǎn)決定了數(shù)形結(jié)合教學(xué)策略的優(yōu)勢(shì)，其將代數(shù)和幾何等不同領(lǐng)域相互關(guān)聯(lián)，幫學(xué)生構(gòu)筑起更加緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。以下，筆者以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)《加法運(yùn)算定律》一課為例，嘗試運(yùn)用上述三種數(shù)形結(jié)合形式進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，優(yōu)化學(xué)習(xí)效果。

一、以形釋數(shù)，發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律

學(xué)生在探究與數(shù)量有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，尤其面對(duì)某些較為抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系時(shí)，很難從中發(fā)現(xiàn)和把握計(jì)算規(guī)律。此時(shí)，教師可以利用數(shù)字之間的結(jié)構(gòu)特征，將數(shù)量關(guān)系設(shè)計(jì)成直觀、形象的幾何圖形，利用“形”化繁為簡(jiǎn)。這樣，學(xué)生在觀察圖形時(shí)，更容易發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的計(jì)算規(guī)律，使問(wèn)題迎刃而解。在教學(xué)《加法運(yùn)算定律》一課時(shí)，筆者針對(duì)“理解加法交換律和結(jié)合律”這一教學(xué)重點(diǎn)，詳細(xì)介紹加法交換律，先出示兩條不同顏色的線段，然后提問(wèn)：“如果第一條線段長(zhǎng)度為12cm，第二條線段長(zhǎng)度為19cm，現(xiàn)在把它們的位置互換，總長(zhǎng)發(fā)生什么變化？”（見(jiàn)圖1）學(xué)生審題時(shí)發(fā)現(xiàn)這兩條線段只是互換位置，沒(méi)有發(fā)生長(zhǎng)度的變化，認(rèn)為其總長(zhǎng)沒(méi)有發(fā)生變化。根據(jù)學(xué)生看法，筆者出示了互換位置的圖示。（見(jiàn)圖2）

以上兩個(gè)圖示直觀地呈現(xiàn)了兩條線段的位置與長(zhǎng)度，算式為：12+19=19+12，結(jié)論則為：兩條線段位置互換后，總長(zhǎng)度不變。基于此，筆者再次提問(wèn)：“經(jīng)過(guò)剛才的試驗(yàn)，我們得到了一個(gè)猜想——兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。我們要怎么驗(yàn)證這一猜想呢？”學(xué)生討論了片刻，提出“可以再舉出一些加法算式，把兩個(gè)加數(shù)交換，看看前后兩個(gè)結(jié)果有沒(méi)有改變，只要不變，就證明這個(gè)猜想是正確的”，并相應(yīng)列舉了一些加法算式來(lái)證明，如2+5=5+2，18+25=25+18等。筆者追問(wèn)：“我們能舉完所有的算式嗎？”學(xué)生齊答“不能”。于是筆者提出新的問(wèn)題：“如果要用一個(gè)簡(jiǎn)單的式子來(lái)表示所有的情況，你會(huì)怎么做？”學(xué)生一時(shí)陷入沉默，筆者提示：“可以利用符號(hào)或字母來(lái)代替數(shù)字?！辈糠謱W(xué)生受到啟發(fā)，馬上列舉出諸如“△+○=○+△”“a+b=b+a”等式子。至此，猜想的正確性獲得證實(shí)，具有概括性和理論性的加法交換律表達(dá)形式也被概括出來(lái)。

在以上的教學(xué)過(guò)程中，教師先用簡(jiǎn)潔的圖形解釋加法交換律，讓學(xué)生初步感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;接著教師引導(dǎo)學(xué)生從圖形中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，提出猜想，并鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展自主探究，證實(shí)猜想的正確性。學(xué)生通過(guò)自主探究概括表達(dá)形式，認(rèn)識(shí)到在解決數(shù)字問(wèn)題時(shí)，圖形、符號(hào)與數(shù)字之間存在相通之處和內(nèi)在聯(lián)系，無(wú)形中經(jīng)歷了探尋“算理”和“算法”的過(guò)程，這是法則學(xué)習(xí)更進(jìn)一步的延伸拓展。所謂“算理”，就是計(jì)算過(guò)程中的道理，是解決“為什么這樣算”的理論，而“算法”則是計(jì)算的方法，解決“怎么算”的問(wèn)題。算理是算法的理論依據(jù)，只有充分理解“算理”，才能根據(jù)需要正確使用、靈活選擇“算法”。在上述內(nèi)容中，用列舉單一算式的方式來(lái)表現(xiàn)加法交換律，學(xué)生的思維認(rèn)知囿于數(shù)字層面，認(rèn)識(shí)的是計(jì)算方法，而圖形、符號(hào)與數(shù)字相比具有更大的融合性和普適性，能夠概括和揭示無(wú)數(shù)算式中所包含的“算理”，使其顯性化、直觀化，確保學(xué)生既“知其然”，又“知其所以然”，在理解算理的基礎(chǔ)上牢固掌握計(jì)算方法，并養(yǎng)成利用符號(hào)、畫圖等方式解決問(wèn)題的良好習(xí)慣。

二、以數(shù)化形，建構(gòu)抽象模型

雖然利用圖形這一形象化的表示方法，能夠更好地解釋數(shù)學(xué)概念、簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，但圖形缺乏精確的定量，在實(shí)際應(yīng)用中仍需要借助代數(shù)的計(jì)算，以確保能準(zhǔn)確表現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，表達(dá)出題目隱藏的信息。因此，教師應(yīng)當(dāng)充分利用圖形特點(diǎn)與已知條件之間的關(guān)系，以數(shù)化形，將“形”正確表現(xiàn)為“數(shù)”的形式，幫助學(xué)生理解概念、精確計(jì)算。在教學(xué)加法結(jié)合律時(shí)，筆者仍然采用數(shù)形結(jié)合的方式，先出示了三條長(zhǎng)度不等的線段，要求學(xué)生將其以首尾相接的形式組合起來(lái)。學(xué)生采用了不同的組合順序，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是先將前兩條線段組合起來(lái)，還是先將后兩條線段組合起來(lái)，最終獲得的線段均為相同形式的一條線段。但由于這三條線段沒(méi)有量化，學(xué)生在拼接的過(guò)程中不能真切體會(huì)加法結(jié)合律“先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變”的含義。因此，筆者對(duì)線段進(jìn)行了賦值，第一條線段長(zhǎng)12cm，第二條線段長(zhǎng)5cm，第三條線段長(zhǎng)19cm，并提問(wèn)：“先組合前兩條線段，和先組合后兩條線段，其總長(zhǎng)會(huì)變嗎？”學(xué)生根據(jù)提問(wèn)分別列出算式：（12+5）+19=36cm，12+（5+19）=36cm，最后得出“無(wú)論組合怎么變化，組合后線段的總長(zhǎng)度均不受影響”的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，筆者對(duì)教學(xué)做了進(jìn)一步延伸，將線段增加到四條、五條，并賦予不同的值，要求學(xué)生自由組合，然后觀察計(jì)算結(jié)果。學(xué)生發(fā)現(xiàn)無(wú)論哪兩個(gè)數(shù)先相加，最終的和都沒(méi)有變化，與之前的情況并無(wú)不同。通過(guò)實(shí)踐，學(xué)生深刻體會(huì)加法結(jié)合律的含義，并能自發(fā)利用符號(hào)或字母將計(jì)算方法概括表達(dá)為（△+○）+□=△+（○+□）或（a+b）+c=a+（b+c）等式子。

考慮到小學(xué)生的思維方式以形象思維為主，筆者仍以圖形為切入點(diǎn)，利用圖形直觀的特點(diǎn)演示不同相加順序這一條件，幫助學(xué)生理解加法結(jié)合律的運(yùn)算形式。在隨后的教學(xué)中，筆者給圖形賦予明確的數(shù)字信息，將原本具體的圖形內(nèi)容抽象化，同時(shí)利用增減線段的方式將具有特殊性的具體圖例一般化、普遍化，用以論證加法結(jié)合律的正確性。這一環(huán)節(jié)承接加法交換律的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，以學(xué)生熟悉的圖形為開(kāi)端，利用具體數(shù)據(jù)對(duì)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)的討論上升到對(duì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和總結(jié)，最終形成具有高度抽象化和普適性的數(shù)學(xué)模型，充分詮釋數(shù)形結(jié)合思想中以“數(shù)”化“形”的思想，這一過(guò)程增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)視角，使其更牢固地掌握從具體內(nèi)容中總結(jié)規(guī)律、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，形成嚴(yán)謹(jǐn)而具有邏輯性的數(shù)學(xué)思維。

三、數(shù)形互變，解決數(shù)學(xué)難題

小學(xué)生對(duì)直觀圖形感受能力較強(qiáng)，對(duì)抽象問(wèn)題的理解則存在一定的難度，因此教師應(yīng)當(dāng)致力于順應(yīng)小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，將數(shù)形結(jié)合思想與學(xué)生的已有知識(shí)及生活經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生能循著認(rèn)知基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)難題。

當(dāng)完成上述兩個(gè)運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)后，筆者請(qǐng)學(xué)生舉出一些生活中的實(shí)例，并選擇適合的加法運(yùn)算定律來(lái)解決問(wèn)題。例如：小A同學(xué)計(jì)劃買2雙單價(jià)為127元的跑鞋，2本單價(jià)為19元的書(shū)，2把單價(jià)為33元的玩具槍，以及2條單價(jià)為11元的毛巾，他必須快速判斷出手上的400元錢是否夠用，請(qǐng)問(wèn)應(yīng)當(dāng)如何解決？學(xué)生觀察數(shù)字后，按順序列出算式：127+127+19+19+33+33+11+11=127+33+127+33+19+11+19+11=380，這個(gè)計(jì)算過(guò)程，實(shí)際上是先利用加法交換律調(diào)整數(shù)字前后位置，再利用加法結(jié)合律進(jìn)行“湊整法”簡(jiǎn)便計(jì)算。那么，為了使算式看起來(lái)更簡(jiǎn)潔明了，可以指導(dǎo)學(xué)生把一個(gè)加法結(jié)合數(shù)視為一個(gè)整體，即“127+33”為△，代表160元，“19+11”為○，代表30元，根據(jù)題意計(jì)算△+△+○+○，可迅速得出“380元”的結(jié)果。本例來(lái)自學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，先從實(shí)物提取數(shù)字信息，再將其化為更易理解的數(shù)學(xué)圖形，賦值后進(jìn)行計(jì)算，迅速解決了問(wèn)題。這一過(guò)程是對(duì)加法交換律和加法結(jié)合律的實(shí)際運(yùn)用，不僅能幫助學(xué)生迅速便捷地解決問(wèn)題，同時(shí)也使學(xué)生加深理解數(shù)學(xué)之于生活的意義?？偟膩?lái)說(shuō)，掌握數(shù)形互變的方法，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維靈活性，以及提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，都有明顯的促進(jìn)作用。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系具體化、形象化，同時(shí)能夠豐富表象、拓寬思路、引發(fā)聯(lián)想、訓(xùn)練思維，幫助學(xué)生快速找到解題思路。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，積極地通過(guò)以形辯數(shù)、以數(shù)化形、數(shù)形互變等方式，幫助學(xué)生提升分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，提高數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

（責(zé)編 黃健清）