[摘 要] 新加坡數(shù)學(xué)在TIMSS和PISA兩大測(cè)試中脫穎而出，備受?chē)?guó)際數(shù)學(xué)教育界關(guān)注。新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書(shū)Learning Maths將新加坡數(shù)學(xué)教育的精髓數(shù)學(xué)建模融入其中，而且在解題方法、編排方式、學(xué)習(xí)效果檢測(cè)、家庭教育、信息技術(shù)的應(yīng)用等方面具有獨(dú)特之處。通過(guò)對(duì)新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的剖析，進(jìn)一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，探討其中可資借鑒之處。

[關(guān)鍵詞] 新加坡數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)建模;Learning Maths;數(shù)學(xué)教育;教學(xué)大綱

[作者簡(jiǎn)介] 王麗美（1987—），女，山東臨沂人，碩士，滇西科技師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教育統(tǒng)計(jì)研究。

[中圖分類(lèi)號(hào)] G40-01? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2021）13-0147-04? ?[收稿日期] 2020-12-29

一、問(wèn)題提出

數(shù)學(xué)成就的國(guó)際研究在數(shù)學(xué)教育界日益受到重視，最引人注目的是由國(guó)際教育成就評(píng)價(jià)協(xié)會(huì)（IEA）主導(dǎo)的“國(guó)際數(shù)學(xué)與科學(xué)教育成就趨勢(shì)調(diào)查研究（TIMSS）”，以及由經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）主持的國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目（PISA），這兩項(xiàng)研究旨在評(píng)估不同國(guó)家及地區(qū)學(xué)生的學(xué)業(yè)成就，同時(shí)致力于尋找解釋學(xué)生數(shù)學(xué)成就差異的原因[1] （P1）。新加坡數(shù)學(xué)在TIMSS和PISA兩大測(cè)試中脫穎而出，得到了國(guó)際數(shù)學(xué)教育界的重視與關(guān)注，這也映射出新加坡數(shù)學(xué)教育的獨(dú)到之處，即加強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模思維在數(shù)學(xué)教育中的滲透。本研究從數(shù)學(xué)建模視角分析新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書(shū)Learning Maths，期望為我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的編寫(xiě)提供可借鑒的地方。

張文宇和傅海倫對(duì)新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths進(jìn)行剖析，提出了此本數(shù)學(xué)教材很好地將問(wèn)題解決與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合，優(yōu)于我國(guó)數(shù)學(xué)教材的地方[2]。郭紅敏在碩士學(xué)位論文中對(duì)新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths進(jìn)行了具體比較分析和研究，指出新加坡數(shù)學(xué)教材中例題和習(xí)題隨著年級(jí)的升高數(shù)量呈上升趨勢(shì)，認(rèn)為這本數(shù)學(xué)教材是新加坡使用范圍最廣泛、被公認(rèn)較為成功的一版教科書(shū)[3]。

本文研究的新加坡數(shù)學(xué)練習(xí)書(shū)Learning Maths正是新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！ Maths的配套練習(xí)書(shū)，涵蓋了從幼兒園到小學(xué)階段（Nursery-G6），由Singapore Asia Publishers（新亞出版社，簡(jiǎn)稱(chēng)SAP）出版。這家出版社主要出版幼兒園和中小學(xué)各科的輔導(dǎo)教材，新加坡最暢銷(xiāo)的數(shù)學(xué)練習(xí)書(shū)就是這本Learning Maths。通過(guò)對(duì)新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的剖析，進(jìn)一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，以期為我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的編寫(xiě)提供有益的借鑒。

二、新加坡數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)

新加坡的數(shù)學(xué)教育主要是突出發(fā)展邏輯演繹和歸納能力，并通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和推理技能[4]。新加坡數(shù)學(xué)最大的亮點(diǎn)就是“中西合璧”，既有東方人的學(xué)習(xí)風(fēng)格，又接軌了西方的學(xué)習(xí)方式，借鑒了西方的經(jīng)驗(yàn)，而且用全英文教學(xué)。這就形成了新加坡獨(dú)特的數(shù)學(xué)教育觀念。

新加坡數(shù)學(xué)特有的“CPA教學(xué)法”，也被稱(chēng)為“三步教學(xué)法”，最早是在20世紀(jì)60年代由美國(guó)心理學(xué)家杰羅姆·布魯納（Jerome Bruner）提出的[5]。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程經(jīng)歷了以下三個(gè)階段：C-Concrete具象化、P-Pictorial形象化和A-Abstract抽象化。而新加坡數(shù)學(xué)教育最大的亮點(diǎn)在于這個(gè)形象化過(guò)程，也就是“Model Drawing”。通過(guò)這種形象化環(huán)節(jié)衍生出數(shù)學(xué)建模，建立簡(jiǎn)單易懂、標(biāo)準(zhǔn)化的模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。新加坡的學(xué)生從一年級(jí)就開(kāi)始接觸這種思維模式，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題用圖像的形式進(jìn)行表現(xiàn)，讓學(xué)生直觀地理解各事物之間的聯(lián)系，更好地幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。瑞士發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰提出認(rèn)知發(fā)展階段論：2～7歲的孩子處在前運(yùn)算階段，7～11歲的孩子僅處于具體運(yùn)算的階段[6] （P112-113）。也就是說(shuō)，中小學(xué)生正處在形象思維發(fā)達(dá)的階段，而抽象邏輯思維能力還在形成中。新加坡數(shù)學(xué)“CPA教學(xué)法”正好符合發(fā)展心理學(xué)這一理論。新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱2013版明確了課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)從現(xiàn)實(shí)情境中提煉出數(shù)學(xué)建模，利用數(shù)學(xué)方法加以解決，再回歸現(xiàn)實(shí)情境給出解題方案[7]。建模思維模式應(yīng)該是新加坡數(shù)學(xué)教育最重要的特色了。

三、Learning Maths的獨(dú)特之處

SAP出版的Learning Maths完全配套新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths，涵蓋了從幼兒園到小學(xué)階段（Nursery-G6）。這套數(shù)學(xué)練習(xí)書(shū)將新加坡數(shù)學(xué)教育理念融會(huì)貫通，獨(dú)特之處主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（一）注重?cái)?shù)學(xué)建模教學(xué)法

數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界溝通的橋梁，進(jìn)入21世紀(jì)，很多國(guó)家將數(shù)學(xué)建模納入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)建模越來(lái)越受到數(shù)學(xué)教育界的重視[8]。新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths加入了新加坡數(shù)學(xué)的精髓數(shù)學(xué)建模，注重培養(yǎng)小學(xué)生的推理能力和抽象思維能力，通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題的能力。該數(shù)學(xué)書(shū)主要涵蓋了以下三種建模方法。

1.counting建模法。counting建模法是最初級(jí)的數(shù)學(xué)建模模型，主要應(yīng)用在數(shù)數(shù)、代數(shù)和運(yùn)算中。新加坡數(shù)學(xué)注重這個(gè)形象過(guò)程的建立，通過(guò)簡(jiǎn)單模型的建立，讓學(xué)生掌握解題方法和思路，形成數(shù)學(xué)思維。

2.拆分組合建模法。拆分建模法是將數(shù)（兩位數(shù)）拆分成整十?dāng)?shù)和個(gè)位數(shù)，這樣就將兩位數(shù)加法簡(jiǎn)化成一位數(shù)加法，使題目變得更簡(jiǎn)單，也能更快得出答案。組合建模法可以用在多個(gè)數(shù)組合相加的運(yùn)算中，我們經(jīng)常將整十的數(shù)組合在一起，也就是Make Ten（湊10）原則。在多個(gè)數(shù)相加的運(yùn)算中，可以用組合建模法來(lái)計(jì)算，這樣降低了題目的難度，計(jì)算速度也加快了。

3.Word Problem建模法。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)用題是常見(jiàn)的題型。應(yīng)用題是用文字來(lái)表述數(shù)量關(guān)系，包括已知條件和所求問(wèn)題。中小學(xué)生往往不能很好地理解應(yīng)用題的題意。通過(guò)Word Problem建模法主要是簡(jiǎn)化應(yīng)用題，幫助中小學(xué)生理解題意，將題目可視化，從而解出數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（二）解題方法多樣

Learning Maths里面的題目對(duì)應(yīng)新加坡數(shù)學(xué)教材，采用“從易到難，螺旋上升”的編排方式，而且題目的靈活度比較高，同一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以用多種不同的解題方法和思路。比如加法運(yùn)算題，可以用6種解題思路來(lái)充分認(rèn)識(shí)加法概念——counting建模法、數(shù)位拆分組合法、豎式計(jì)算、湊整原則、兩位數(shù)的豎式計(jì)算、進(jìn)位加法。同時(shí)，這套書(shū)重視數(shù)學(xué)應(yīng)用題，從小學(xué)一年級(jí)就開(kāi)始涉及求解應(yīng)用題，每個(gè)模塊的學(xué)習(xí)中，先給出一頁(yè)的范例供學(xué)生思考，然后配有相應(yīng)的應(yīng)用題來(lái)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在養(yǎng)成數(shù)學(xué)邏輯思維模式的同時(shí)，還可以鍛煉中小學(xué)生的英語(yǔ)閱讀水平。

（三）重視編排方式的合理性

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)采用內(nèi)容上小跨度的螺旋模式，題目依據(jù)“由易到難、螺旋上升”的規(guī)律去設(shè)計(jì)，使題目的跨度合理，將知識(shí)和內(nèi)容很好地銜接起來(lái)。新加坡數(shù)學(xué)教科書(shū)比較重視例題呈現(xiàn)的完整性，幾乎所有的例題都呈現(xiàn)完整性。而這本Learning Maths每道題都附有詳細(xì)的解答過(guò)程，讓中小學(xué)生養(yǎng)成良好的作答習(xí)慣，也供家長(zhǎng)和學(xué)生參考[3]。

（四）配套的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果檢測(cè)

從一年級(jí)開(kāi)始，每本書(shū)目錄的后面都有一張Work Performance，也就是學(xué)習(xí)效果表。通過(guò)學(xué)習(xí)效果表學(xué)生能很清楚地看到題目的進(jìn)度和掌握度。而且每本書(shū)都有一個(gè)配套的在線學(xué)習(xí)資料，可以在線檢測(cè)最近的學(xué)習(xí)效果，資料后面都附有詳細(xì)的答案可以參考。這種形式的學(xué)習(xí)可以有效檢測(cè)中小學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的自我監(jiān)控和調(diào)控能力。

（五）融入家庭數(shù)學(xué)教育

新加坡數(shù)學(xué)教材My Pals are Here！Maths中有“Home Maths”欄目，而這套Learning Maths完全可以作為“Home Maths”，成為學(xué)校教育與家庭教育的一個(gè)橋梁。該欄目主要是讓家長(zhǎng)和學(xué)生一起做數(shù)學(xué)活動(dòng)，給家長(zhǎng)參與孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有意義、具體的建議。這樣不僅可以增進(jìn)親子關(guān)系，也可以提高孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，實(shí)現(xiàn)家庭與學(xué)校教育的有效結(jié)合[9] （P9）。

（六）信息技術(shù)的使用

信息技術(shù)的使用是新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的又一大特色，教材的很多內(nèi)容都與信息技術(shù)深度融合。這給學(xué)生提供了豐富的資源，有利于學(xué)生掌握利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的能力。特別是幾何畫(huà)板在教學(xué)活動(dòng)中的靈活使用，充分發(fā)揮了“以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)”的新課程模式的作用，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)生自主探究的能力。

四、啟示

通過(guò)對(duì)新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的分析，我們可以看出新加坡練習(xí)冊(cè)建立在最新版2013版的新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的基礎(chǔ)上，而且完全匹配新加坡最受歡迎且使用率最高的數(shù)學(xué)教材;充分融入了新加坡數(shù)學(xué)教學(xué)理念和數(shù)學(xué)教學(xué)法，將數(shù)學(xué)建模貫穿始終;合理的編排方式和完善的配套資源，可有效地檢測(cè)學(xué)習(xí)效果?？偨Y(jié)新加坡數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的獨(dú)特之處，以期為中國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的修訂和編寫(xiě)提供一些幫助。

（一）數(shù)學(xué)建模思想的滲透

早在2001年，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》中就提出，小學(xué)數(shù)學(xué)具體鮮明的階段性、初始性特點(diǎn)，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)指導(dǎo)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽成數(shù)學(xué)建模并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展[ 10 ]。中國(guó)與新加坡有相似的東方文化，我們可以多借鑒新加坡獨(dú)特的數(shù)學(xué)教育理念，結(jié)合我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教育的具體情況，來(lái)指導(dǎo)我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的編寫(xiě)和制定。充分發(fā)揮數(shù)學(xué)建模思想對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的指導(dǎo)作用，讓小學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（二）關(guān)注教材配套資源的審核和規(guī)范

我國(guó)數(shù)學(xué)教材配套資源良莠不齊，而新加坡完整的教材配套措施和嚴(yán)格的教材審核制度是一種有益的借鑒[ 11 ]。針對(duì)我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教育大綱和數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)完全配套的數(shù)學(xué)叢書(shū)，題目應(yīng)依據(jù)“由易到難、螺旋上升”的規(guī)律去設(shè)計(jì)，使題目的跨度合理，銜接性更強(qiáng)。特別是增強(qiáng)題目的靈活度，使我國(guó)小學(xué)生在透徹理解數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)上，采用多種數(shù)學(xué)解題思路和角度去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。并且加大數(shù)學(xué)應(yīng)用題的比例，讓數(shù)學(xué)題目更加接近生活，使數(shù)學(xué)生活化，從而激發(fā)小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的答案要充分體現(xiàn)完整性，既引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)重視數(shù)學(xué)過(guò)程，又為小學(xué)生提供學(xué)習(xí)的幫助。

（三）重視家庭教育和學(xué)習(xí)效果的檢測(cè)

數(shù)學(xué)教育中家庭教育占有不可忽視的地位，也是家長(zhǎng)了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況和檢測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種途徑。2015年10月，教育部下發(fā)了《關(guān)于加強(qiáng)家庭教育工作的指導(dǎo)意見(jiàn)》，2019年新修訂的《全國(guó)家庭教育指導(dǎo)大綱》，以習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想特別是習(xí)近平關(guān)于教育的重要論述為指導(dǎo)，進(jìn)一步明確了家長(zhǎng)在家庭教育中的主體責(zé)任，希望家長(zhǎng)在不斷全面學(xué)習(xí)家庭教育知識(shí)的基礎(chǔ)上，更加系統(tǒng)掌握家庭教育的科學(xué)理念和方法[ 12 ]。我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)可以加入“Home Maths”欄目，并增加在線配套練習(xí)系統(tǒng)，使家長(zhǎng)參與學(xué)校教育，更科學(xué)地指導(dǎo)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也為家長(zhǎng)指導(dǎo)孩子提供素材。

（四）注重信息技術(shù)與教材的深度融合

新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths與信息技術(shù)深度融合，給數(shù)學(xué)教育帶來(lái)勃勃生機(jī)。2019年2月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《中國(guó)教育現(xiàn)代化2035》開(kāi)啟了教育現(xiàn)代化的新征程，讓信息技術(shù)發(fā)揮最大的優(yōu)勢(shì)，將數(shù)學(xué)學(xué)科與信息技術(shù)深度融合，更好地為教學(xué)和學(xué)生服務(wù)。這一重要政策要求我們重視信息技術(shù)與教材的深度融合，充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為實(shí)現(xiàn)中國(guó)教育現(xiàn)代化2035貢獻(xiàn)一份力量。

2017年7月，為貫徹落實(shí)《關(guān)于加強(qiáng)和改進(jìn)新形勢(shì)下大中小學(xué)教材建設(shè)的意見(jiàn)》，國(guó)務(wù)院決定成立國(guó)家教材委員會(huì)，足以彰顯國(guó)家對(duì)于教材的重視程度。通過(guò)對(duì)新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)書(shū)Learning Maths的剖析，進(jìn)一步挖掘新加坡數(shù)學(xué)教育的內(nèi)涵，以期為我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)叢書(shū)的編寫(xiě)提供有益的借鑒。

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Abstract： The outstanding performance of Singapore mathematics education in TIMSS and PISA has attracted much attention from the international mathematics education circles. Singapore mathematics exercise book learning maths incorporates mathematical modeling which is the essence of Singapore mathematics education. This book has its own unique features in problem solving methods， compilation methods， testing of learning effects， family education， application of information technology and so on. Through the analysis of Learning Maths， a primary school math book in Singapore， this paper further explores the connotation of Singapores mathematics education， hoping to provide a useful reference for Chinas mathematics education.

Key words： Singapore mathematics; mathematical modeling; Learning Maths; mathematics education; syllabus