摘要：借鑒Jones等人構建“兒童統(tǒng)計思維框架”所使用的測試工具，對1～6年級小學生數(shù)據(jù)分析解釋的認知發(fā)展趨勢以及錯誤認知進行考察。研究發(fā)現(xiàn)：小學生數(shù)據(jù)分析解釋的認知發(fā)展分為快速發(fā)展時期、較快發(fā)展時期、平緩發(fā)展時期、停滯發(fā)展時期和倒退發(fā)展時期，其中1～2年級、4～5年級分別是小學生“數(shù)據(jù)之間閱讀”以及“超越數(shù)據(jù)閱讀”的快速發(fā)展時期;無法識別0數(shù)值、不能基于數(shù)據(jù)做出是與否的區(qū)分以及基于主觀經(jīng)驗預測是小學生在分析與解釋數(shù)據(jù)時常見的三種錯誤。

關鍵詞：小學生;數(shù)據(jù)分析;數(shù)據(jù)解釋;認知發(fā)展

中圖分類號：G62 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）04A-0045-07

一、問題提出

自1998年第5屆國際統(tǒng)計教學會議（International Conferences on Teaching Statistics，簡稱ICOTS）開始，統(tǒng)計教育的重點放在了對統(tǒng)計思維、推理和素養(yǎng)的研究挑戰(zhàn)上，國外統(tǒng)計教育者如Jones、Mooney等人著手基于“描述數(shù)據(jù)、組織和簡化數(shù)據(jù)、表示數(shù)據(jù)、分析和解釋數(shù)據(jù)”[1]271四個結構對中小學生統(tǒng)計思維的認知發(fā)展進行描述。

數(shù)據(jù)的分析和解釋作為統(tǒng)計思維過程中最為復雜的環(huán)節(jié)[2]，依據(jù)Curcio的分類可將其分為“數(shù)據(jù)之間閱讀”和“超越數(shù)據(jù)閱讀”兩部分，既包括了前者所指的能比較數(shù)量和使用數(shù)學概念進行數(shù)據(jù)整合的操作，也包括了后者強調的通過挖掘已有圖式，從數(shù)據(jù)中預測和推斷那些隱含的信息[3]。研究表明，小學生在此層面存在一定的困難。Putt等人發(fā)現(xiàn)70%的一年級和二年級學生接受訪談時的反應是膚淺的，不完整的[4]。類似的，Pereira-Mendoza和Mellor發(fā)現(xiàn)，雖然四年級學生對于條形圖能成功（超過95%的成功率）進行字面閱讀，但他們對于解釋（52%的成功率）和預測（不到20%的成功率）卻存在一定困難，且大多數(shù)的解釋錯誤可以追溯到計算和讀取的錯誤[5]。

就我國而言，“數(shù)據(jù)分析觀念”這一核心概念明確指出“數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心”，并要求學生能對所收集的數(shù)據(jù)“通過分析做出判斷”[6]6。作為課程目標的支點，如何發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念，如何突出數(shù)據(jù)分析這一核心？一系列問題應運而生。在深化課程改革的背景之下，開展小學生分析與解釋數(shù)據(jù)的評估探究具有一定的現(xiàn)實意義，能為小學統(tǒng)計課程與教學的設計，以及學生核心素養(yǎng)的發(fā)展提供一定的實證依據(jù)。

二、研究方法

（一）理論依據(jù)

Jones、Mooney等人以Biggs和Collis一般發(fā)展模型為基礎所構建的“兒童統(tǒng)計思維框架”是國外公認的統(tǒng)計思維發(fā)展框架之一。框架從描述、組織和簡化、表示、分析與解釋數(shù)據(jù)四個維度對小學生統(tǒng)計思維水平進行了假設與驗證，發(fā)現(xiàn)兒童會表現(xiàn)出特質的（idiosyncratic，簡稱I）、過渡的（transitional，簡稱T）、量化的（quantitative，簡稱Q）和分析的（analytical，簡稱A）四個水平[1]271。其各水平特征分別與SOLO理論中的前結構的（prestructural，簡稱P）、單一結構的（unistructura，簡稱U）、多元結構的（multistructural，簡稱M）、關聯(lián)的（relational，簡稱R）相對應。

筆者依據(jù)Curcio對“數(shù)據(jù)分析和解釋”的分類以及在參考Jones等人有關兒童統(tǒng)計思維研究[7]35中相關測試任務的基礎上，設計了小學生分析與解釋數(shù)據(jù)調查問卷（見表1），試圖基于學生的回答探尋他們在“數(shù)據(jù)之間閱讀”以及“超出數(shù)據(jù)閱讀”兩方面所表現(xiàn)出的數(shù)據(jù)分析解釋水平。試題間相關系數(shù)設置如表2所示，數(shù)據(jù)表明問卷信度良好。

（二）樣本選取

選取了安徽、江蘇兩省6所城區(qū)小學以及3所鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學的1598名學生進行問卷調查。其中有效問卷1541份，城區(qū)小學有效問卷885份，鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學有效問卷656份。

（三）編碼與分析

基于SOLO分類法及“兒童統(tǒng)計思維框架”對學生回答的水平進行標記，由低到高分別記為1、2、3、4。從量與質兩方面對所收集的數(shù)據(jù)進行分析。其中，量的方面主要是以SPSS19.0版統(tǒng)計軟件分析小學生分析與解釋數(shù)據(jù)的認知發(fā)展軌跡，同時也采用質性分析的方法對學生回答進行梳理，獲取有關學生錯誤認知的信息。

三、研究發(fā)現(xiàn)

（一）小學生分析與解釋數(shù)據(jù)認知發(fā)展軌跡

1.小學生數(shù)據(jù)之間閱讀認知發(fā)展軌跡

如圖1所示，不論是從“數(shù)據(jù)之間閱讀”這一整體，還是從其兩個關鍵要素來看，在小學階段學生的認知發(fā)展雖都呈現(xiàn)出整體上升的趨勢，但均在2～3年級時出現(xiàn)了一次較大幅度的下降，且在5～6年級時又再次出現(xiàn)回落的現(xiàn)象。其中，對于“數(shù)據(jù)之間閱讀”整體以及“數(shù)據(jù)比較”，相對而言1～2年級的增長速度最快，而在“數(shù)據(jù)整合”要素上，3～4年級的增長速度要快于其他時段。

就“數(shù)據(jù)之間閱讀”整體來看，通過ANOVA分析初步結果表明：數(shù)據(jù)之間閱讀的平均水平間存在顯著的年級差異（F=13.582，p=0.000<0.001）。進一步多重分析比較結果（見表3）顯示：1年級與其他5個年級以及3年級和5年級之間存在非常顯著或顯著的差異，而對于其他年級組間的差異均不具有顯著性。而就兩個關鍵要素而言，“數(shù)據(jù)比較”的事后比較結果可知1年級與3年級、4年級與5年級、4年級與6年級、5年級與6年級之間不存在顯著的差異，其他年級組間的差異則均達到了顯著性水平，即p<0.05;而對于“數(shù)據(jù)整合”要素，1年級和2年級、1年級和4年級、1年級和5年級、1年級和6年級、3年級和5年級的平均水平差異顯著，而其他各年級組間的平均水平不存在顯著差異。

綜上可知，小學生對于“數(shù)據(jù)之間閱讀”的認知具有以下階段性：1～2年級學生處于一個快速發(fā)展時期，2～3年級和5～6年級這兩個時段處于停滯發(fā)展時期，3～5年級則處于平緩發(fā)展時期;而具體到“數(shù)據(jù)比較”要素，1～2年級處于較快發(fā)展時期，在2～3年級時由于認知發(fā)展趨勢下降且差異顯著，因而在此時段處于一個倒退發(fā)展時期，之后在3～4年級進入一個快速發(fā)展時期，而在4～6年級時處于平緩發(fā)展時期;對于“數(shù)據(jù)整合”要素，學生在1～2年級處于較快發(fā)展時期，在2～3年級以及5～6年級這兩個時段則進入停滯發(fā)展時期，在3～5年級時處于平緩發(fā)展時期。

2.小學生超越數(shù)據(jù)閱讀認知發(fā)展軌跡

1～6年級學生在“超越數(shù)據(jù)閱讀”及其兩個關鍵要素上的認知發(fā)展均表現(xiàn)出逐步上升的趨勢（如圖2）。其中在“超越數(shù)據(jù)閱讀”整體以及“數(shù)據(jù)預測”方面，4～5年級增長速度相對較快，而5～6年級則相對緩慢;在“數(shù)據(jù)推斷”方面，2～4年級時呈現(xiàn)出快速的增長，而在1～2年級時則相對平緩。

進一步方差分析可知（見表4），超出數(shù)據(jù)閱讀的平均水平間存在非常顯著的年級差異（F=149.406，p=0.000<0.001）。進一步多重比較可知，5年級和6年級的平均水平不具有顯著差異（p=0.972<0.05），其他年級之間的平均水平均表現(xiàn)出顯著或非常顯著的差異。結合多重比較結果發(fā)現(xiàn)，對于“數(shù)據(jù)推斷”要素1年級和2年級，4年級和5年級，5年級和6年級的數(shù)據(jù)推斷平均水平不存在顯著的差異;而其他各年級組均具有非常顯著的差異，p值均為0.000。在“數(shù)據(jù)預測”要素上，3年級和4年級，5年級和6年級的數(shù)據(jù)預測平均水平不存在顯著的差異，其他各年級組間的平均水平差異達到顯著。

因而，小學生在“超越數(shù)據(jù)閱讀”方面的認知發(fā)展具有以下階段：在4～5年級時處于快速發(fā)展的時期，在1～4年級時處于較快發(fā)展時期，而在5～6年級時則處于平緩發(fā)展時期。在“數(shù)據(jù)推斷”方面，學生在2～4年級時處于快速發(fā)展時期，而在1～2年級以及4～6年級時則處于平緩發(fā)展時期;在“數(shù)據(jù)預測”方面，學生在1～3年級以及4～5年級時處于快速發(fā)展時期，而在3～4年級以及5～6年級這兩個時段則處于平緩發(fā)展時期。

（二）小學生分析與解釋數(shù)據(jù)的認知發(fā)展趨勢及其特征

對于“數(shù)據(jù)之間閱讀”的兩個層面，有超過75%的1～6年級小學生均達到了“分析的（A）”水平?；趯W生回答的質性分析可知，大多數(shù)小學生在對數(shù)據(jù)比較時能夠認識到0數(shù)量的存在，在對數(shù)據(jù)進行整合時能夠對各項數(shù)據(jù)給出正確、合理的運算。但對于“超越數(shù)據(jù)閱讀”層面學生則相對較弱，“1～3年級絕大多數(shù)的學生均處于特質的（I）水平，大部分的4～6年級學生則處于過渡的（T）和量化的（Q）水平?！盵7]38進一步對學生回答整理分析可知，1～3年級大多數(shù)學生在對數(shù)據(jù)進行推斷時，表現(xiàn)出對題目要求的不理解，具體體現(xiàn)為無回應，或是所給出的回答仍為字面信息或是基于數(shù)據(jù)之間閱讀中所獲取的信息;在對數(shù)據(jù)預測時，則更多地表現(xiàn)出無回應，或是在預測時不是基于數(shù)據(jù)而是基于個人經(jīng)驗，隨意給出了一個脫離范圍的“荒謬”回應。處于T水平的4～6年級學生在推斷數(shù)據(jù)時，雖然能夠基于已有數(shù)據(jù)及其背景做出不能得到信息的推斷，但在推斷時只能關注其中的一個方面，而在數(shù)據(jù)預測時則僅能夠基于所給數(shù)據(jù)提供一個猶豫的回應;而處于Q水平的小學生在數(shù)據(jù)推斷時則能夠陳述出無法從圖中確定的多個方面信息，在數(shù)據(jù)預測時不僅能考慮到多個方面，還能夠嘗試基于數(shù)據(jù)以及情境的意義給出回應，但推理還不夠完整。

（三）小學生分析和解釋數(shù)據(jù)的錯誤認知分析

通過對學生回答的質性分析，可以發(fā)現(xiàn)“數(shù)據(jù)比較時對于0數(shù)值的忽視;數(shù)據(jù)推斷時聚焦于數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)間信息的讀取;基于主觀經(jīng)驗給出預測”[8]51是小學生分析和解釋數(shù)據(jù)過程中常見的三種錯誤，明確使用率分別為34.6%、32.8%及19.3%。

排在首位的錯誤認知是在含有0數(shù)量的多個數(shù)據(jù)比較時，表現(xiàn)出對于0數(shù)值的忽視。通過與學生的交流訪談可以發(fā)現(xiàn)，較低的讀取顯示水平以及缺乏一定的數(shù)學表達轉換能力是產生此錯誤認知的兩個主要原因。而對于第二種錯誤認知類型，由于小學數(shù)學教材中從未出現(xiàn)過此種問題，因而這是小學生對于數(shù)據(jù)推斷的一種自然認識。通過對回答的分析及訪談了解到，形成此錯誤認知的兩個主要原因為：一是部分學生對于題意的錯誤理解，將“不能得到的信息”理解為不能直接看出來的信息;二是由于部分學生讀取顯示能力不足，即不能對0數(shù)量信息給出正確的描述。綜合以上兩種錯誤原因可以看出，學生讀取顯示水平的高低會直接影響到他們有關“數(shù)據(jù)之間閱讀”和“超越數(shù)據(jù)閱讀”的水平。

四、結論與建議

（一）研究結論

依據(jù)方差分析結果中平均差異的數(shù)值以及差異性是否顯著等標準，可將小學生分析與解釋數(shù)據(jù)認知發(fā)展劃分為五個階段（見表5），分別為快速發(fā)展時期、較快發(fā)展時期、平緩發(fā)展時期、停滯發(fā)展時期和倒退發(fā)展時期。

（2）大多數(shù)小學生在數(shù)據(jù)之間閱讀時不僅能識別0數(shù)量的存在，而且能對數(shù)據(jù)進行正確整合;但在超越數(shù)據(jù)閱讀時，1～3年級學生更多的是關注自己的主觀經(jīng)驗或是一些特殊的、不相關的數(shù)據(jù)，而4～6年級學生雖然能試圖或穩(wěn)定地使用定量推理作為他們統(tǒng)計推斷的依據(jù)，但一般只專注于數(shù)據(jù)的一個方面或多個方面，還不能將多個方面進行整合，也不能將數(shù)據(jù)與其情境進行有效聯(lián)系。

（3）無法識別0數(shù)值、不能基于數(shù)據(jù)做出是與否的區(qū)分以及基于主觀經(jīng)驗預測是小學生分析與解釋數(shù)據(jù)的三種共性認知錯誤。

（二）思考與建議

1.把握學生認知發(fā)展快速期，合理設計統(tǒng)計課程內容

認知發(fā)展軌跡顯示，1～2年級是學生“數(shù)據(jù)之間閱讀”的快速發(fā)展時期。事實上，與數(shù)據(jù)比較、整合這兩種操作相關的知識點——比較數(shù)的大小、數(shù)的加減法以及對數(shù)據(jù)的簡單分析，正是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》第一學段所提出的具體內容。而且所調查學校所使用的人教版以及蘇教版教材均在2年級下冊設置了“數(shù)據(jù)收集與整理”的章節(jié)，提供了較多類似于“這個月共有多少天？多云比下雨多幾天？”[9]等數(shù)據(jù)之間閱讀的學習機會，占兩版教材“統(tǒng)計與概率”板塊習題的41.2%左右。而在“超越數(shù)據(jù)閱讀”方面，4～5年級是學生認知發(fā)展的快速時期。不僅課標將“能解釋統(tǒng)計結果，根據(jù)結果作出簡單的判斷和預測”[6]6列為第二學段課程內容，在教材中也通過“平均數(shù)”“條形統(tǒng)計圖”“統(tǒng)計表”“折線統(tǒng)計圖”等章節(jié)提供了諸如“你怎樣評價這兩支籃球隊”[10]等問題，但數(shù)量較少，僅有9.7%左右?？梢?，數(shù)學課程與教學對學生分析與解釋數(shù)據(jù)的認知發(fā)展，在一定程度上起到推動與促進的作用。因而，在課程與教學設計時可以結合學生認知發(fā)展的快速階段，為學生提供相應要素的學習機會，特別對于現(xiàn)有教材中鮮有出現(xiàn)“含有0數(shù)量的統(tǒng)計圖”等問題，幫助學生的數(shù)據(jù)分析與解釋水平獲得均衡、快速發(fā)展。

2.深挖學生認知錯誤源頭，提高描述數(shù)據(jù)的基礎能力

通過對學生常見錯誤認知的分析發(fā)現(xiàn)，讀取顯示水平的高低會對數(shù)據(jù)的比較和推斷等較為復雜的分析活動產生一定的影響。尤其是在對含有0數(shù)量的多個數(shù)據(jù)顯示進行描述、比較時，第一學段學生更容易忽視統(tǒng)計圖中0數(shù)量的存在。由訪談以及教材梳理可知，教材中缺乏此種問題的學習機會是引起此種錯誤認知的主要原因之一。因而，在課程以及教學設計時應結合第一學段學生的認知特征，多為低年級學生提供含有0數(shù)量統(tǒng)計圖信息讀取的學習機會，通過設置描述數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)間閱讀以及數(shù)據(jù)推斷的相應問題，引導學生對更具親緣性的真實圖、圖像統(tǒng)計圖、符號圖等進行讀取、比較、整合與推斷，也可以利用所收集的真實數(shù)據(jù)（例如七月高溫紅色預警的天數(shù)）自然地形成含有0數(shù)量的統(tǒng)計圖，幫助低學段學生結合具體情境對含有0數(shù)量的數(shù)據(jù)集進行表示與分析，了解其中所表達的信息，在積累數(shù)據(jù)收集、分類、組織、表示、分析的經(jīng)驗同時，感知0數(shù)量的存在及其表示。

3.基于數(shù)據(jù)分析層次性，增加數(shù)據(jù)推斷學習機會

Watson指出“幫助學生基于數(shù)據(jù)作出一個合理的、可能性較高的預測與推斷是統(tǒng)計教育的目標之一?！盵11]研究結果表明，對于數(shù)據(jù)的推斷與預測，各年級學生大多處于特質（I）的水平，中低年級學生很難基于數(shù)據(jù)做出較為合理的預測，更多是基于自己的主觀想法。這可能與“人教版、蘇教版較少提供此類問題的學習機會有關?！盵8]51因而可以考慮在2年級正式接觸統(tǒng)計知識時，將對數(shù)據(jù)的推斷納入到課程內容之中，并在設計時將其安排在描述數(shù)據(jù)問題之后，引導學生在對統(tǒng)計圖表字面信息讀取的同時，思考其對立面——“統(tǒng)計圖沒有告訴你哪些信息”，促使他們通過對正、反問題的思考與交流，逐步形成基于數(shù)據(jù)區(qū)分是與否的能力。同時，可以借鑒《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》中所提及的：“雖然小孩子常常對與自己相關的數(shù)據(jù)最感興趣，但是把他們的數(shù)據(jù)放在一起會引起他們對一組數(shù)據(jù)的注意”。[12]在教學設計時，為學生搭建實做統(tǒng)計與交流的平臺，利用他們所收集的多個數(shù)據(jù)或兩組數(shù)據(jù)，鼓勵他們通過觀察、比較，豐富信息提取的視角與維度，發(fā)現(xiàn)其趨勢與模式等超出數(shù)據(jù)表層意義的信息，并鼓勵他們表達自己的思考與觀點，通過小組、全班的交流，豐富、完善所得到的信息。這不僅有助于一些原本基于自身經(jīng)驗進行推斷的學生能夠通過交流、比較逐步認識到數(shù)據(jù)的作用，而且也有助于部分學生能夠進一步結合數(shù)據(jù)的上下文情境，從中認識到“僅基于少量數(shù)據(jù)所尋找到的規(guī)律作出的判斷可能是不全面的”，要使得推斷更為合理，還需要收集更多的數(shù)據(jù)，并結合情境從數(shù)據(jù)中獲取更多的規(guī)律與信息。

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責任編輯：李韋