【摘 要】教學(xué)蘇教版五下《圓的面積》一課，對教材內(nèi)容進(jìn)行大膽“取舍”，舍去煩瑣的數(shù)數(shù)、計(jì)算、告知，力求激發(fā)兒童猜想、驗(yàn)證、建模，這有助于知識(shí)更自然地進(jìn)入課堂，喚醒學(xué)習(xí)潛能，促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)思維更好地生長。

【關(guān)鍵詞】生命數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;猜想;驗(yàn)證;建模

【中圖分類號】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2021）09-0011-03

【作者簡介】周麗琴，江蘇省宜興市陽羨小學(xué)（江蘇宜興，214200）教導(dǎo)主任，高級教師，宜興市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

【設(shè)計(jì)理念】

1.舍“繁”求“趣”，支持“大膽猜想”。

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為，合情推理就是猜想?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也明確指出了合情推理的重要性，提出“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維”。在探究圓面積計(jì)算方法的教學(xué)中，教師一般會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生把以r為邊長的正方形與圓進(jìn)行對比，直觀感知圓面積可能是正方形面積的4倍少一些，3倍多一些;然后在教師指導(dǎo)下，分步、分組用數(shù)方格和計(jì)算的方法得到三個(gè)圓的面積;最后得到圓面積和小正方形面積的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓面積是小正方形面積的3倍多一點(diǎn)。這種按部就班的推導(dǎo)活動(dòng)，會(huì)在一定程度上限制學(xué)生的創(chuàng)造性思維。因此，筆者設(shè)計(jì)了“猜一猜”的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自由說說“這個(gè)3倍多一點(diǎn)可能會(huì)是哪個(gè)數(shù)”，直接把關(guān)于圓面積的猜想推到了πr2。其間，舍去了多次數(shù)方格的煩瑣，壓縮了探究時(shí)間，借助“三次猜想”，一步步逼近知識(shí)核心。

2.舍“近”求“遠(yuǎn)”，支持“殊途同歸”。

在探究新知的過程中，學(xué)生應(yīng)該有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程。因此，筆者根據(jù)學(xué)生的不同起點(diǎn)嘗試通過轉(zhuǎn)化進(jìn)行認(rèn)知突破，大膽舍棄了面積的直接計(jì)算，給足時(shí)間和空間讓學(xué)生經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)過程，感悟公式推導(dǎo)的多樣性，驗(yàn)證猜想的正確性。學(xué)生通過把圓轉(zhuǎn)化成長方形、三角形、梯形等不同的圖形，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，最后殊途同歸得出了圓面積計(jì)算公式。這些不同的研究素材既保證了研究對象的豐富性，又保證了學(xué)生參與探究活動(dòng)的積極性。按照教材的安排，本節(jié)課要應(yīng)用圓面積計(jì)算方法解決實(shí)際問題。為了最大限度地讓學(xué)生看到平面圖形之間的緊密聯(lián)系（通過剪拼可以相互轉(zhuǎn)化），充分感受演繹推理的力量，經(jīng)歷知識(shí)結(jié)論的形成過程，筆者果斷舍去面積計(jì)算的部分，把更多時(shí)間放在不同的轉(zhuǎn)化上，讓學(xué)生經(jīng)歷了完整的“破繭成蝶”的過程，沉浸在思維之旅“原來也可以如此”的興奮之中，真正讓知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的生命，從而浸潤其生命。

3.舍“魚”求“漁”，支持“曲徑通幽”。

數(shù)學(xué)是抽象的，怎樣使抽象的知識(shí)具象化？如何幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)意義賦予？是直奔結(jié)論地照本宣科，還是曲徑通幽地自主跋涉？無疑，舍“魚”求“漁”的探尋更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。建模的過程其實(shí)就是歸納的過程。圓的面積和以前學(xué)過的平面圖形的面積有著截然不同的思考角度，為什么不可以把兩個(gè)完全相同的圓拼成我們學(xué)過的圖形？為什么沿著直徑剪圓后不能拼成我們學(xué)過的圖形？筆者試著讓學(xué)生自己找原因，從而得出：沿著直徑剪開得到的半圓無法拼成我們學(xué)過的圖形;沿著半徑平均分成四份，看拼成的圖形，有點(diǎn)像平行四邊形，為了使它更像平行四邊形，平均分的份數(shù)應(yīng)該更多。然后讓學(xué)生說出自己想平均分的份數(shù)，電腦隨機(jī)演示16等分、32等分、48等分、200等分、1000等分……直至學(xué)生聯(lián)想到把圓無數(shù)等分時(shí)拼成的就是一個(gè)長方形。這種“化曲為直”“化曲為方”的方法，可以幫助學(xué)生的思維從“合情”走向“合理”。

4.舍“知”求“識(shí)”，支持“思緒放飛”。

本節(jié)課，教材的安排是轉(zhuǎn)化成長方形后推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算方法，然后運(yùn)用公式解決實(shí)際問題。在大部分學(xué)生都能掌握這種轉(zhuǎn)化的背景下，筆者思考：就一種轉(zhuǎn)化是否顯得過于單一？這樣的安排是否還是傳統(tǒng)的知識(shí)學(xué)習(xí)課堂？基于此，為了更大限度地拉伸學(xué)生思維的張力，釋放學(xué)生生命的潛能，體現(xiàn)“生命課堂”的精髓，筆者大膽引導(dǎo)學(xué)生多線并進(jìn)（轉(zhuǎn)化成長方形、三角形、梯形），經(jīng)歷了“定向（想轉(zhuǎn)化成什么圖形）—操作（怎樣轉(zhuǎn)化）—比較（轉(zhuǎn)化前后圖形的聯(lián)系）—推理（從已知推出未知）”的探究過程，最終殊途同歸，得到圓的面積的計(jì)算方法。

【主要教學(xué)片段】

1.提出猜想，初步驗(yàn)證。

（1）提出猜想：以正方形的邊長為半徑畫一個(gè)圓，正方形的面積可以怎樣表示？看著圖形猜一猜，圓的面積大約是正方形的幾倍？你是怎么想的？如果每個(gè)小方格表示1平方厘米，你能用數(shù)方格的方法算出圓的面積嗎？要使得到的面積更準(zhǔn)確，你準(zhǔn)備怎樣數(shù)？

（2）適時(shí)小結(jié)：我們通過猜測—數(shù)方格—計(jì)算，最終發(fā)現(xiàn)圓的面積總是正方形的面積的3倍多一些。

2.再次猜想，溝通聯(lián)系。

（1）繼續(xù)猜想：再大膽猜測，這個(gè)“3倍多一些”可能會(huì)是什么數(shù)？

（2）回憶溝通：回想一下，上學(xué)期我們學(xué)習(xí)的平行四邊形面積計(jì)算公式是怎樣推導(dǎo)的？由此可見，一種新的圖形的面積計(jì)算公式，我們一般可以怎樣推導(dǎo)？那圓的面積計(jì)算公式我們可以怎樣推導(dǎo)呢？

（3）探索轉(zhuǎn)化：看著圓想一想，要把它轉(zhuǎn)化成我們想要的圖形，你準(zhǔn)備怎么辦？（拼一拼）能不能把兩個(gè)完全一樣的圓拼成我們已經(jīng)學(xué)過的圖形？（不能）那怎么辦？（剪一剪）怎么剪？（沿著直徑剪）好，聽你的，把它沿著直徑剪開，能不能拼成我們學(xué)過的圖形？（不能）那怎么辦？（沿著半徑剪）

（4）感受“化曲為直”：這是沿著半徑把圓平均分成四份，看拼成的圖形，有點(diǎn)像什么？（平行四邊形）為了使它更像平行四邊形，你覺得應(yīng)該怎么樣？（分得更多）你想把它平均分成多少份？（16、32、48、1000……）繼續(xù)這樣平均分成無數(shù)份，拼成的就是一個(gè)——（長方形）

（5）思索多種拼法：這是把圓平均分成16份后的小扇形，想辦法拼成我們學(xué)過的圖形。

3.操作驗(yàn)證，殊途同歸。

（1）展示拼法：學(xué)生拼成的有長方形、梯形、三角形。

（2）推導(dǎo)公式：重點(diǎn)研究轉(zhuǎn)化成長方形的情況?？粗@兩個(gè)圖形想一想，拼成的長方形與原來的圓有什么關(guān)系？誰來說一說你的發(fā)現(xiàn)？

（3）探究其他轉(zhuǎn)化。

來看轉(zhuǎn)化成梯形的情況。梯形的面積怎么算？拼成梯形的上下底之和相當(dāng)于圓的什么？梯形的高又相當(dāng)于圓的什么？根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法，怎樣計(jì)算圓的面積？

再一起來研究拼成三角形的情況。三角形的面積計(jì)算公式是什么？你能像研究前兩種情況那樣來研究這種情況嗎？能根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法來計(jì)算圓的面積嗎？還有沒有用不同方法也推導(dǎo)出了圓面積計(jì)算公式的？（根據(jù)一個(gè)小扇形的面積再乘16也可以推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式）

（4）溝通不同轉(zhuǎn)化之間的聯(lián)系：剛才，我們把圓轉(zhuǎn)化成長方形、梯形、三角形，推導(dǎo)出了圓的面積計(jì)算公式，從而驗(yàn)證了我們前面的猜測是正確的。同學(xué)們，猜想、驗(yàn)證、轉(zhuǎn)化都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重要的思考方法，我們在以后的學(xué)習(xí)中要注意運(yùn)用它們來探究新的知識(shí)。

4.全課總結(jié)。

這節(jié)課，你有什么收獲？哪些地方給你留下了深刻的印象？

【教后反思】

本節(jié)課對教材進(jìn)行了二度開發(fā)，省略了面積計(jì)算環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生對圖形轉(zhuǎn)化的多樣性進(jìn)行了探究，使學(xué)生的生命潛能得到了釋放，他們有了充足的時(shí)間進(jìn)行自主探索。不少學(xué)生反饋，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，感受到了數(shù)學(xué)的樂趣，知道了原來再多思考一點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)更多更美的風(fēng)景。當(dāng)課堂留給學(xué)生的不僅僅是知識(shí)，還有情感的需求、思想的激勵(lì)時(shí)，就是生命數(shù)學(xué)的最大呈現(xiàn)，也是筆者執(zhí)教這節(jié)課最大的收獲。然而，因?yàn)橐还?jié)課時(shí)間有限，很多環(huán)節(jié)未能充分展開，像數(shù)方格、公式推導(dǎo)等都未能給更多學(xué)生表達(dá)的機(jī)會(huì)。另外，本節(jié)課不少問題都具有較強(qiáng)的思考性，如為什么要沿著半徑剪？圓轉(zhuǎn)化成梯形、三角形后公式怎么來推導(dǎo)？教學(xué)時(shí)未能顧及大多數(shù)學(xué)生的接受能力，且因?yàn)檠芯繉ο蟮亩鄻有?，影響了一些學(xué)生對圓轉(zhuǎn)化成長方形后的理解。

在以后的教學(xué)中，筆者一定注意把“為了人，為了發(fā)展師生的生命”作為出發(fā)點(diǎn)，把“生成人，生成師生的健全生命”作為落腳點(diǎn)，以期最大限度地釋放學(xué)生生命的潛能，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更好地生長。