【摘要】指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要組成部分，內(nèi)涵過于抽象，學(xué)生理解時有偏差，參與度不高。基于此，本文簡要概述高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教學(xué)，并圍繞教學(xué)分析及教學(xué)方案進行創(chuàng)新探究，設(shè)置教學(xué)案例發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)? 指數(shù)函數(shù)分析? 思維培養(yǎng)? 信息技術(shù)

【中圖分類號】G633.6 ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）35-0161-04

2021的高考剛剛結(jié)束不久，高考命題堅持立德樹人，優(yōu)化情境設(shè)計，增強試題開放性、靈活性，充分發(fā)揮了高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用。高考引導(dǎo)我們數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中重視知識生成，激發(fā)學(xué)生潛能，轉(zhuǎn)變課堂教學(xué)方式。

一、問題的緣起

（一）高中指數(shù)函數(shù)內(nèi)涵過于抽象，教師在設(shè)計教學(xué)方案時有時會設(shè)計過難，學(xué)生理解會有偏差、參與度不高。學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的分析有時候只停留在表面，沒有挖掘其本質(zhì)意義。指數(shù)函數(shù)具有多樣化的特征，但是在日常教學(xué)中教師沒有引導(dǎo)學(xué)生深入思考進行挖掘多種解題思路。

（二）教師沒有及時轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，還是采用“填鴨式”的教學(xué)方法，這樣就不能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、問題的思考

首先，素質(zhì)教育理念下數(shù)學(xué)教育的變化。隨著素質(zhì)教育在我國高中教學(xué)領(lǐng)域的實施，不難發(fā)現(xiàn)現(xiàn)階段的教材、教學(xué)任務(wù)、目標以及方式都有了新的改善，全面分析指數(shù)函數(shù)課程教學(xué)現(xiàn)狀，適當對課程教學(xué)進行優(yōu)化，選擇符合學(xué)生接受的知識，促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，遵循高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本需求。從教學(xué)方式方面來看，需要結(jié)合現(xiàn)代化技術(shù)，不斷探索新的教學(xué)方向和手段，嚴格把握學(xué)生思想的階段性特征，面向全體學(xué)生進行綜合性培養(yǎng)，鼓勵其獨立思考、勇于質(zhì)疑，利用數(shù)學(xué)知識的銜接性特征培養(yǎng)思辨精神和創(chuàng)新精神，在此基礎(chǔ)上激發(fā)對高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。其次，指數(shù)函數(shù)學(xué)情分析。指數(shù)函數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修一的內(nèi)容，這一時期的學(xué)生思維正處于由具象到抽象過渡的重要階段，對新知識具有一定的憧憬，且獨立意識較強，需要得到一定的尊重來滿足內(nèi)心需求，具有主動學(xué)習(xí)的意識，好奇心會更加強烈。在素質(zhì)教育理念下，要求教師將指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識點拆分成具體的階段性步驟，從而引導(dǎo)學(xué)生進行自主探索并逐漸形成完善的思維，同時及時轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，改變以往填鴨式的教學(xué)模式，真正做到以人為本、尊重差異。

三、問題的實踐

（一）創(chuàng)新指數(shù)函數(shù)的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境是最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，是時代性原則的具體表現(xiàn)，在實際的教學(xué)過程中教師可以自主開發(fā)教學(xué)資源，選擇與生活息息相關(guān)的信息衍生為新的指數(shù)函數(shù)，為了加上記憶提高效果，可以選擇能夠動手實踐的內(nèi)容。

在高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)教學(xué)的過程中，為引導(dǎo)學(xué)生正確掌握重點知識，教師應(yīng)合理地對教學(xué)方法進行改進，如巧妙運用情境教學(xué)法，調(diào)動課堂積極性、活躍氛圍，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情;合理應(yīng)用信息技術(shù)，以形助數(shù)，增強學(xué)生的直觀理解，順利突破知識難點;通過典型問題的分析與歸納，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)水平的提升。

案例1：指數(shù)函數(shù)的情境引入

故事情境：國際象棋起源于古印度，傳說印度國王渴望一種新鮮刺激的游戲。某天，宰相西薩帶著他發(fā)明的棋盤獻給國王，國王打算重賞他。西薩說：“陛下，請您在棋盤上的第1個小格里，賞給我2粒麥子;在第2個小格里給4粒;第3個小格里給8粒……以此類推，以后每一個小格的麥粒數(shù)都是前一小格的兩倍，直到放滿棋盤上所有的64個格子。”國王爽快地答應(yīng)了。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，即使全印度甚至全世界的麥粒都拿來，也兌現(xiàn)不了對西薩的諾言。

問題1：西薩用了一個神秘的函數(shù)，使麥粒產(chǎn)生了爆炸性的增長。如何計算棋盤上第64個小格里所放的麥粒數(shù)呢？

問題2：假設(shè)棋盤上第x個小格里所放的麥粒數(shù)為y，如何來刻畫y與x之間的函數(shù)關(guān)系呢？

通過教師的指導(dǎo)，學(xué)生不難得出y=2x，x∈N?的函數(shù)關(guān)系式。

設(shè)計意圖：通過經(jīng)典故事的情境引入，讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)的爆炸性增長，激發(fā)探究欲望。從實際問題中抽象出函數(shù)模型，提升數(shù)學(xué)抽象與建模能力，為構(gòu)建指數(shù)函數(shù)的概念做好“鋪墊”。

問題3：《莊子》中寫道“一尺之錘，日取其半，萬世不竭?！奔僭O(shè)截取次數(shù)為x后，木槌剩余量為y，請寫出它們之間的函數(shù)表達式。

學(xué)生答案：y=（）x，x∈N?

【設(shè)計意圖】讓同學(xué)們體驗不同的指數(shù)函數(shù)模型，教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)文化史。

問題4：你能通過以上舉例抽象出一般性的數(shù)學(xué)模型嗎？

通過案例引入后，由特殊到一般進行歸納，初步建立函數(shù)模型y=ax（a>0且a≠1，x∈R）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。接下來引導(dǎo)學(xué)生分析y=ax的底數(shù)a的范圍?？梢越Y(jié)合上節(jié)課研究指數(shù)與指數(shù)冪的運算，把函數(shù)的定義域擴充為實數(shù)集R，那么對底數(shù)a的取值有什么要求呢？為什么？可以分小組討論。讓學(xué)生對定義式中的關(guān)系有著一定掌握，并通過兩種情況進行表述，如：第一，如果a=0或a<0，以及x<0，ax就沒有意義，第二，a=1時，y=ax=1的情況不在研究的范圍。教師引導(dǎo)，得出指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R，為了提升課程教學(xué)效果，教師可以引入例題：

指出下列哪些是指數(shù)函數(shù)？

（1）y=1.073x （2）y=（π）x （3）y=（-2）x

（4）y=x2 （5）y=2x+1 （6）y=3x·2x

【設(shè)計意圖】通過合作探究加深對指數(shù)函數(shù)概念的理解，總結(jié)研究問題的方法，提升解決數(shù)學(xué)問題的能力，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊埋下伏筆。

（二）借助信息技術(shù)發(fā)展指數(shù)函數(shù)教學(xué)實踐

案例2：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)的教學(xué)離不開圖形、坐標軸的運用，在進行定義轉(zhuǎn)述或圖形性質(zhì)分析時，可以利用多媒體和信息技術(shù)進行啟發(fā)式教育。下面重點畫指數(shù)函數(shù)的圖像，并借助圖像探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

我們通常采用描點法畫函數(shù)圖像，但在描點的過程中無法精確判斷變化過程，教師引入GeoGebra應(yīng)用軟件。 老師演示后可以請幾位同學(xué)上臺操作，變化底數(shù)a作出不同的指數(shù)函數(shù)的圖像，動態(tài)演示中進行局部放大或縮小，觀察圖像的整體變化情況以及細節(jié)，讓同學(xué)們從大量的信息中歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。共同作出y=2x，y=（）x，y=3x，y=（）x的圖像。

根據(jù)圖像，很容易發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的以下性質(zhì)：

（1）定義域是x∈R， 值域是y∈（0，+∞）。

（2）圖像在x軸上方，都經(jīng)過定點（0，1）。

（3）當0<a<1時函數(shù)在R上是減函數(shù);當a>1時，函數(shù)在R上是增函數(shù)。

（4）指數(shù)函數(shù)不具有奇偶性。

（5）y=ax與y=（）x的圖像關(guān)于y軸對稱。

【設(shè)計意圖】利用教材配套的教學(xué)課件“指數(shù)函數(shù)的圖像”借助GeoGebra進行繪制，不僅節(jié)省了時間，圖像也精確美觀。通過軟件上圖像的動態(tài)展示，為同學(xué)們創(chuàng)設(shè)了探究的條件，激發(fā)了學(xué)習(xí)的欲望，實現(xiàn)了教學(xué)的時效性與延展性。在同一個坐標系中可以更加直觀的進行觀察對比，以最大限度的發(fā)揮了信息技術(shù)的功能。在傳統(tǒng)的教學(xué)中，不可能把y=2x，y=（）x，y=10x，y=（0.1）x四個指數(shù)函數(shù)的圖像直觀地體現(xiàn)，借助信息技術(shù)的力量解放老師，發(fā)展教學(xué)，助力學(xué)生活動，使教學(xué)活動變得豐富多彩。

然后，再進一步鞏固指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)。選擇以下例題：

利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較下列各組值的大小關(guān)系：

①1.82.5與1.83 ②0.8-0.2與0.8-0.3 ③1.90.1與0.72.3

【設(shè)計意圖】通過構(gòu)造指數(shù)函數(shù)的方法，借助指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及圖像比較大小，加深對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（三）加強指數(shù)函數(shù)的圖像教學(xué)深化知識理解

案例3：指數(shù)函數(shù)的圖像應(yīng)用

問題1：做出下列函數(shù)的圖像，并說明它們由哪些指數(shù)函數(shù)變化而來。

（1）y=（）x+1 （2）y=2x-2

（3）y=2|x-1|? ? （4）y=|1-3x|

解（1）：y=（）x+1的圖像過（0，）及（-1，1），由函數(shù)y=（）x的圖像向下平移1個單位可以得到。

解（2）：y=2x-2的圖像由y=2x的圖像向下平移2個單位。

解（3）：以翻轉(zhuǎn)變化的方法進行解答，然后把y=2|x| 的圖像向右平移1個單位，可以得到y(tǒng)=2|x-1|的函數(shù)圖像。

解（4）：首先將函數(shù)y=-3x圖像向上平移一個單位，然后保留其在x軸及x軸上方部分不變，把x軸下方圖像對稱翻折到x軸上得到，特別注意漸近線。

【設(shè)計意圖】在概念形成之后，把握時機進行深化，設(shè)置一定的難度，在變通探究中提升數(shù)形結(jié)合的意識，加強對指數(shù)函數(shù)圖像的理解。當學(xué)生遇到疑問時，可再次發(fā)揮信息技術(shù)的輔助功能，以形助數(shù)發(fā)展數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)。

問題2：2x=x2解的個數(shù)是（? ?）

A.1? ? ? B.2? ? C.3? ? D.4

問題3：方程lg（x+4）=10x的根的情況是（? ? ）

A.僅有一根? ? B.有一正根和一負根

C.有兩個負根? ? D.沒有實數(shù)根

問題2? 問題3學(xué)生的錯誤圖像? 問題3的正確圖像

【設(shè)計意圖】通過問題1的解決，可以有效檢驗學(xué)生圖像學(xué)習(xí)的效果，也是對之前所學(xué)知識個回顧。問題2中，學(xué)生很容易聯(lián)想到通過圖像求交點的方法，而且有百分之六十的學(xué)生會錯選B。通過了解學(xué)情發(fā)現(xiàn)出錯的原因，是因為沒有精確把握兩個圖像的變化趨勢，尤其是沒有抓住指數(shù)函數(shù)爆炸式增長的顯著特征。要注意對比分析圖像的完整性，養(yǎng)成嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣。補充問題3，對學(xué)生準確畫出指數(shù)函數(shù)的圖像有了更高的要求，同一直角坐標系中，還要加強指對數(shù)圖像之間的聯(lián)系，精準作圖才能有效解題。以這三個問題作為載體，加深了對指數(shù)函數(shù)的認識，細節(jié)之處培養(yǎng)了嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)，美好教育潛移默化。

（四）把握指數(shù)函數(shù)的變式教學(xué)提升數(shù)學(xué)能力

案例4：指數(shù)函數(shù)的綜合教學(xué)

高考中涉及到指數(shù)函數(shù)的問題難度比較大，教學(xué)中老師要發(fā)揮作用幫助學(xué)生加強知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納解題方法提升數(shù)學(xué)能力

問題1：? ?例題：方法規(guī)律總結(jié)——指數(shù)找基友

f（x）

e'=0?[f'（x）+f（x）]e=0?f'（x）+f（x）=0

f（x）

e'=0?[f'（x）+f（x）]e=0?f'（x）-f（x）=0

從這兩個式子，我們大致可以得到如下經(jīng)驗：

指數(shù)找基友：如果我們要證明e小于（或大于）一個非超越式f（x），可以考慮作商法，這是因為作商構(gòu)造出的新函數(shù)f（x）e極值點一般可求，即方程f'（x）-f（x）=0可解?？杀苊舛啻吻髮?dǎo)，此所謂“指數(shù)找基友”——給e找基友f（x）。

下面用一道例題進行說明：

（2018全國二理數(shù)21（1））已知函數(shù)f（x）=e-ax，若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1。

證明過程：當a=1時，f（x）=e-ax，不等式f（x）≥1等價于x+1≤e。

構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求導(dǎo)可得g'（x）==≤0

其中等號只在x=1時取得，g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以當x≥0時，g（x）≤g（0）=1，又因為e>0，所以x+1≤e，故原命題得證。

問題2：鞏固練習(xí)：求證：當x≥0時，有e≥1+x++成立。

解析：構(gòu)造函數(shù)，令f（x）=e·（1+x++）

則f'（x）=e（1+x+）-e·（1+x++）=-e，

當x<0時f'（x）>0，故f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增;當>0時f'（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。

所以，f（x）在x=0處取得極大值f（0）=1，從而得證。這里也可以為同學(xué)們補充優(yōu)美的泰勒展開式：e=1+++…+…，此題具有高等數(shù)學(xué)背景。

【設(shè)計意圖】教師最失敗的口頭禪是：“這種解題方法講了很多遍，為什么還不會呢？”哪怕是原模原樣的題目再現(xiàn)，仍然不會做，原因到底在哪里？教學(xué)生知識融匯貫通，解題舉一反三，那么“一”的選擇尤其重要，可以一題多解，也可以多題一解。關(guān)鍵是學(xué)會從問題的解決中歸納解題方法，形成解題規(guī)律，知識就是方法，方法就是策略。

問題3：求證以下不等式：e-1≥x≥ln（x+1）

此不等式的應(yīng)用尤為廣泛，來但從近幾年的教學(xué)經(jīng)驗中發(fā)現(xiàn)學(xué)生特別容易遺忘，掌握效果差，究其原因還是圖像應(yīng)用意識薄弱。通過多次實踐，嘗試改變題目設(shè)計，效果更佳。

已知一次函數(shù)f（x）滿足：對任意的x∈（-1，+∞），都有e-1≥f（x）≥ln（x+1）成立，求f（x）的解析式。

解析：假設(shè)f（x）=ax+b，由題意知x∈（-1，+∞）時，y=e-1與y=ln（x+1）都是單調(diào)遞增函數(shù)，由圖像可得到f（x）=x。在此結(jié)論熟練的情況下稍作變式，對于下面的高考題就可以迎刃而解。

問題3的圖像? ? ? ? ?問題3的常用不等式的變式

問題4：（2018浙江卷10）已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1>1，則（? ?）

A.a1<a3，a2<a4 B.a1>a3， a2<a4

C.a1<a3，a2>a4 D.a1>a3，a2>a4

分析：應(yīng)用上面的變式結(jié)論，∵lnx≤x-1，∴a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1，得a1≤-1，即a1q3≤-1，∴q<0，接下來再分兩種情況：對q≤-1和-1<q<0進行討論，很容易得出正確答案。

【設(shè)計意圖】指數(shù)函數(shù)的解題方式相通，教師需在教學(xué)中注意培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維和舉一反三能力，使對學(xué)生的教育從具體解題方式的教育整合到思維教育。從教學(xué)方法上，重視知識的歸納與積累，注重學(xué)生對問題的轉(zhuǎn)化與遷移能力。從效果上，通過“多題一解、一題多解、一題多變”的變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、問題的反思

在高中指數(shù)函數(shù)教學(xué)階段，由于難度較高，學(xué)生在學(xué)習(xí)時經(jīng)常受一定因素限制而無法準確掌握重點知識，限制學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升，無法最大化將課程教學(xué)的效果展現(xiàn)。對此，在教學(xué)完成后，教師應(yīng)加強對教學(xué)反思的重視，并通過系統(tǒng)規(guī)劃，引導(dǎo)學(xué)生深刻掌握指數(shù)函數(shù)的重點內(nèi)容。在進行指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計時，教師應(yīng)事先通過問題情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生可以主動思考問題，隨后教師引出指數(shù)函數(shù)圖像及定義，并針對y=（）與y=2圖像對學(xué)生采取分組形式進行教學(xué)。

教師對學(xué)生繪制過程繼續(xù)指導(dǎo)，通過GeoGebra應(yīng)用軟件，對指數(shù)函數(shù)圖像動態(tài)演示準確探究，幫助學(xué)生掌握重點知識，鼓勵學(xué)生通過圖像觀察了解其形式，促使學(xué)生順利完成一般問題的解答。通過案例的引進，給予學(xué)生學(xué)習(xí)的機會。教師應(yīng)將教育視野從具體的知識內(nèi)容上升到思維教育。

在課程教學(xué)階段，教師需要對問題產(chǎn)生的主要原因進行分析，洞悉知識方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，以一種科學(xué)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣來研究圖像探究性質(zhì)。創(chuàng)新教學(xué)方案，建立指數(shù)函數(shù)知識體系，真正意義上提升教學(xué)的有效性。

四、結(jié)語

綜上所述，高中數(shù)學(xué)指數(shù)函數(shù)部分的教學(xué)存在一定銜接性和復(fù)雜性，其應(yīng)用又具有很大的可塑性與延伸性。本文從實踐角度出發(fā)，基于教材和教學(xué)情境設(shè)計了實踐教學(xué)中的模式與方法，重激活，善轉(zhuǎn)換，勤反思。教師要從知識的特征整體把握教學(xué)內(nèi)容，做學(xué)生知識方法的引導(dǎo)者，深度落實現(xiàn)階段新課程改革的相關(guān)要求。牢記時代使命，切實保證教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生的成長負責。

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作者簡介：

薛飛（1980年8月-），女，漢族，湖北省襄陽市人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué)。