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        實驗探究二次函數(shù)實際問題中的最值

        2021-03-28 12:10:25袁錦新
        廣東教學報·教育綜合 2021年29期
        關鍵詞:實驗探究初中數(shù)學

        袁錦新

        【摘要】利用實驗探究分析二次函數(shù)實際問題中的最值題型,是初三數(shù)學二次函數(shù)中的常見題型,也是學生比較難理解的二次函數(shù)實際問題,在中考出現(xiàn)概率也比較大。本文對學生做這類題型時常見的錯誤進行分析,讓學生進行實驗探究,尋找出正確的解題方法。

        【關鍵詞】實驗探究;二次函數(shù)實際問題;初中數(shù)學

        在最近幾年的廣東省中考試題中,有關二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像是必考的知識點之一。這么重要的一個知識點,恰好又是很多學生難以跨過去的一道題型。在每次的作業(yè)或測試中,學生在解二次函數(shù)實際問題的題型時,會出現(xiàn)很多錯誤。而班上出現(xiàn)這些錯誤的學生,也不在少數(shù),得分率比較低。面對學生這種情況,身為數(shù)學教師的我們,都很想為學生做點什么,希望能幫助他們走進理想的高中。在這種思想的驅(qū)動下,筆者經(jīng)常利用課余時間,把學生的錯例放在一起分析且發(fā)現(xiàn)了相當一部分學生的錯誤都有很多相同的地方。筆者在課余時間里,與部分學生一起進行探究問題所在。此外,筆者也與其他教師交流,嘗試帶著學生一起進行實驗探究,總結(jié)經(jīng)驗,一起尋找出正確的解題方法。

        在二次函數(shù)實際問題的日常教學中,教師通常會選擇典型例題,以二次函數(shù)性質(zhì)作為切入點,詳細講解后讓學生再嘗試解一些相同類型的題目,加強相同題型的訓練,看似相當不錯,但題型有點變化,靈活一點點,學生的問題還是會出現(xiàn)在試卷上,還是沒有達到預期的效果,學生還是沒有很好地解決二次函數(shù)實際問題。在這個過程中不難發(fā)現(xiàn),學生還有很大的提升空間。因此,要想幫助學生解決問題的關鍵,還是要通過實驗探究,幫學生深度分析清楚問題的重點,理解二次函數(shù)實際問題,理清解題時的錯誤思路,掌握解決問題的真正方法。即使題型再變換,學生也能用正確的方法處理。有前面的錯誤作為標本,學生在實驗探究的過程中,更能留下深刻的印象,在解題方法上更靈活多變。在初三的習題本或試卷里,經(jīng)常有這樣的一道題目,下面就讓我們一起探討分析學生在解這道題時通常出現(xiàn)的錯誤。

        例:某農(nóng)場主打算在一個足夠大的農(nóng)場里面養(yǎng)雞,農(nóng)場里面剛好有一堵長為24米的墻和總長度為120米的圍欄,農(nóng)場主現(xiàn)準備圍成面積最大的矩形養(yǎng)殖場,那么農(nóng)場主應該怎樣設計這個養(yǎng)殖場呢?

        當學生看到這道二次函數(shù)實際問題時,一定很開心,因為做過,但問題也會跟著來了,據(jù)分析,學生一般有下面幾種解題錯誤方法:

        案例一:如圖1,設矩形養(yǎng)殖場的一邊AB為x米,則BC為米,養(yǎng)殖場面積。所以,當x=60時,養(yǎng)殖場取得最大面積為1800平方米。

        學生在解決這個問題時,沒有注意到題目中給出的條件,圍欄只有24米,也就是x大于0而小于或等于24,因而最后確定最大面積時,出狀況了。

        案例二:按照題目的要求,很容易發(fā)現(xiàn)自變量的取值范圍是:x大于0而小于或等于24。所以求到函數(shù)解析式:,在這個范圍里,根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),可以得到:當x=24時,得到養(yǎng)殖場最大面積為1152平方米。

        從學生的答案上發(fā)現(xiàn),他利用了二次函數(shù)的頂點式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),又注意到了自變量x在實際情況下的取值范圍,好像沒什么問題,做得很好。但是,學生在小學學習了長方形和正方形,得知周長相等時,正方形的面積最大。所以在這個時候,筆者讓學生拿出準備好的24厘米長的繩子,在課桌上,以課桌一邊為墻,在桌面上,嘗試擺一個面積最大的矩形出來。學生在實驗中很快就可以得出,周長相的情況下,正方形面積最大。再回到案例二中,設計矩形養(yǎng)殖場ABCD時,墻DE的長為24米,設AB為x米,則BC為米。這樣設計養(yǎng)殖場的最大面積與圖1相比,誰更大?有了上面學生通過實驗探究得到的結(jié)論,再細心分析這道二次函數(shù)實際問題的最值問題,提醒學生,自己再通過畫圖實驗探究一下這道題。筆者相信,學生很快就可以發(fā)現(xiàn)案例二中錯誤的原因。

        正確解答:根據(jù)題目的要求,養(yǎng)殖場是正方形時,面積才是最大的,圖2的設計,x+(x-24)<120,得x<120,所以x∈[24,72)。養(yǎng)殖場面積S=x·(72-x)=-(x-36)2+1296,當x=36時,得到養(yǎng)殖場最大面積為1296平方米。

        通過案例一,我們可以發(fā)現(xiàn)學生在處理二次函數(shù)最值問題時,還不錯。但當遇到實際問題時,往往沒注意到自變量的取值范圍,對最值的影響。所以學生需要結(jié)合實際情況進行思考,最終確定自變量的值。在案例二中,題目中的圖,誤導了學生的思維方向,讓學生腦里只有矩形,所以學生在解題時,對養(yǎng)殖場的概念也停留在一般矩形上,沒注意到矩形和正方形周長相等時,正方形的面積最大這一結(jié)論,所以在進行設計養(yǎng)殖場時,只是設計成矩形,只考慮AB大于0米而小于或等于24米,在第二種的設計則考慮到實際問題中的實際情況,從而確定養(yǎng)殖場最大面積。通過實驗探究,讓學生從實際操作中,更好地理論二次函數(shù)實際問題的最值問題,讓數(shù)學思維更形象,達到提高解決問題的能力的目的。

        科學是人類知識積累的結(jié)果,而數(shù)學又是重要基礎學科之一。不僅僅要讓學生在學習數(shù)學中認識生活,還要讓他們在生活中體會數(shù)學。加上中考也十分注重考查學生運用數(shù)學知識解決實際問題的意識和能力,如,在二次函數(shù)實際問題的題型上,不但要求學生對二次函數(shù)的性質(zhì)、應用和知識點的掌握要好,還強調(diào)運用知識去解決問題的能力。因此,在日常教學中多設計小實驗,讓學生在快樂的探究中找到解決問題的方法,讓學生在快樂中學習數(shù)學,從而提高學生學習數(shù)學的興趣和積極性。在實際探究中,提高學生解決實際問題的各種能力,讓學生注意到生活可以幫助他們解決數(shù)學上的問題,也讓學生學習好數(shù)學,更好地服務于他們的生活。

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