泮玲玲

[摘 要]短除法作為計(jì)算兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的一種偏方，不失為一個(gè)簡(jiǎn)明實(shí)用的方法，但是，其中涉及的算理頗為復(fù)雜，計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，又有交叉的部分，不如列舉法來(lái)得直觀明了，因此在教學(xué)處理時(shí)需要慎重對(duì)待。

[關(guān)鍵詞]短除法;算理;公因數(shù);公倍數(shù);最大;最小

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）08-0028-02

有幸拜讀劉暢老師的論文《重在怎樣教“短除法”》（下文統(tǒng)稱為“《劉版》”）和陸曉林老師的論文《也談“短除法”》（下文統(tǒng)稱為“《陸版》”），讀罷兩文，筆者不禁掩卷而思。對(duì)于短除法，在現(xiàn)行課標(biāo)部署下，教材一般作出兩種處理方案：一種方案是將短除法這一知識(shí)點(diǎn)作為計(jì)算最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)（后文簡(jiǎn)稱“兩最”）的拓展內(nèi)容，作為番外篇單獨(dú)編排在附錄中，是否教學(xué)該內(nèi)容讓一線教師難以取舍。另一種方案是將短除法作為正式內(nèi)容放入主篇幅，簡(jiǎn)省了算理分析只教算法，這樣一來(lái)，雖然是必修內(nèi)容，但是講不講解算理也讓教師頗為躊躇。

《劉版》的看法是教短除法責(zé)無(wú)旁貸，并從算理的角度作了詳細(xì)論述;而《陸版》則以實(shí)驗(yàn)班和普通班作為對(duì)象進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，傾向于放棄短除法的教學(xué)，認(rèn)為“棄用短除法啟用列舉法才是兩利相權(quán)取其重”。下面結(jié)合兩位前輩的觀點(diǎn)與筆者個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐淺談個(gè)人思考。

一、短除法的算理剖析

運(yùn)用短除法求算“兩最”的理論基礎(chǔ)是分解質(zhì)因數(shù)，對(duì)兩個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，然后提取共有質(zhì)因數(shù)（相同質(zhì)因數(shù)要重復(fù)計(jì)算），這樣一來(lái)就會(huì)羅列出兩個(gè)數(shù)的全體共有質(zhì)因數(shù)以及各自的獨(dú)有質(zhì)因數(shù)，最終將各個(gè)共有質(zhì)因數(shù)相乘求出最大公因數(shù)（全體共有質(zhì)因數(shù)相乘的積），全體共有質(zhì)因數(shù)與各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)相乘求出最小公倍數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)的通用方法是短除法，如下圖中（a）和（b）所示;在求“兩最”的實(shí)際演算操作中，往往將分解質(zhì)因數(shù)和篩選共有質(zhì)因數(shù)合二為一，同步推進(jìn)，將兩個(gè)數(shù)放入一個(gè)短除號(hào)內(nèi)進(jìn)行同步分解，如下圖中（c）所示，因此求幾個(gè)數(shù)的“兩最”的短除算式應(yīng)運(yùn)而生。

分解質(zhì)因數(shù)的理論基礎(chǔ)是算術(shù)公理，其內(nèi)容是：任意一個(gè)大于1的自然數(shù)，都能分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的積，并且如果不計(jì)較排序，這樣的分解式是獨(dú)一無(wú)二的。顯然，將一個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，得到的質(zhì)因數(shù)乘式是唯一的，即任何一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)的大小與數(shù)量是固定的，因此，兩個(gè)數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)的大小以及數(shù)量也是固定的，剩下的獨(dú)有因數(shù)也是不變的;另一方面，由于每個(gè)數(shù)都是通過(guò)一步步做除法求出質(zhì)因數(shù)，各個(gè)質(zhì)因數(shù)之間是相乘的關(guān)系，這也證實(shí)了利用“乘積”求出“兩最”的合理性。求“兩最”的短除法與分解單個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)如出一轍，唯一加以改造的是，利用“兩個(gè)數(shù)的所有共有質(zhì)因數(shù)是它們最大公因數(shù)的因數(shù)，兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們所有共有質(zhì)因數(shù)和獨(dú)有因數(shù)的乘積”這一定律。

現(xiàn)以計(jì)算18和30的“兩最”為例來(lái)闡述。把18和30分別分解質(zhì)因數(shù)：

（1）求它們的最大公因數(shù)的原理剖析：

18=2×3×3

30=2×3×5

由分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果可以直接判斷，18和30的共有質(zhì)因數(shù)為一個(gè)2和一個(gè)3，于是全體共有質(zhì)因數(shù)的乘積為2×3=6。毫無(wú)疑問(wèn)，這個(gè)乘積是18和30的公因數(shù)，且這個(gè)乘積是將所有共有質(zhì)因數(shù)求積得出的，它必然是公因數(shù)中最大的那個(gè)。如此，兩數(shù)的最大公因數(shù)必然是兩數(shù)所有共有質(zhì)因數(shù)的乘積。

（2）計(jì)算兩數(shù)最小公倍數(shù)的原理剖析：18和30的所有公倍數(shù)，一定都是18的倍數(shù)，根據(jù)倍數(shù)的傳遞性，勢(shì)必同時(shí)是18的所有因數(shù)（包括非質(zhì)因數(shù)）的倍數(shù)，同理，18和30的所有公倍數(shù)也一定是30的倍數(shù)，同時(shí)也是30的所有因數(shù)（包括非質(zhì)因數(shù)）的倍數(shù)，等于是兩個(gè)數(shù)所有因數(shù)的乘積的倍數(shù)。而我們要求的是最小公倍數(shù)，所以，其中包含的質(zhì)因數(shù)應(yīng)該盡可能少，唯一的可能是在所有的共有質(zhì)因數(shù)上做文章，對(duì)每個(gè)共有質(zhì)因數(shù)只算一次，不重復(fù)計(jì)算，于是18和30的最小公倍數(shù)=2×3×3×5=90。這個(gè)乘式中，2和第一個(gè)3是兩數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)，第二個(gè)3和5分別是兩數(shù)的獨(dú)有質(zhì)因數(shù)，為了確保結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，要一一計(jì)算。不言而喻，兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，其實(shí)就是兩數(shù)所有共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的總乘積。

二、“短除法”的教學(xué)反思

1.短除法是小學(xué)生的必備技能。短除法的格式簡(jiǎn)潔直觀，充分體現(xiàn)了求“兩最”的流程、算理、技巧，算式美觀整齊，易學(xué)易懂易操作。實(shí)踐證明，學(xué)生在求“兩最”時(shí)，樂(lè)于使用短除法。比如：在“求最大公因數(shù)”的綜合應(yīng)用題中，計(jì)算、約分等步驟，一般都是處理兩個(gè)數(shù)，按照短除法的原理，先預(yù)判兩數(shù)是否為2、3、5的倍數(shù)，然后直接用兩個(gè)數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)進(jìn)行整除，一步步化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。再如解答“最小公倍數(shù)”應(yīng)用題時(shí)，在計(jì)算、分母通分時(shí)，用短除法更容易找出兩個(gè)分?jǐn)?shù)的最小公分母，步驟簡(jiǎn)練，計(jì)算的效率和準(zhǔn)確性也有了保障。

2.不教算理，只學(xué)算法。從教材承擔(dān)的功能來(lái)說(shuō)，無(wú)論是正式篇章還是插敘的內(nèi)容，通常都安排在列舉法之后，以“小竅門(mén)”的形式出現(xiàn)，這樣的編排設(shè)計(jì)，目的顯而易見(jiàn)，重在“算法”而非“算理”，通過(guò)對(duì)短除法的學(xué)習(xí)和掌握，使學(xué)生用慣這種求“兩最”的方法，牢牢記住短除法的格式和流程，以及短除收尾的特征和“兩最”的具體計(jì)算方法。筆者通過(guò)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，用短除法求“兩最”，只要不深挖算理，只是單純學(xué)習(xí)算法，學(xué)生學(xué)起來(lái)速度驚人。運(yùn)用短除法的要領(lǐng)是確定每一步整除的除數(shù)，根據(jù)教材的不同意圖，可采用三種方案來(lái)處理：第一種是用兩個(gè)數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)去一步步整除;第二種是用兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)去整除;第三種是先觀察兩數(shù)，直接用2、3或5等質(zhì)數(shù)去整除。三種方案大同小異，確定除數(shù)時(shí)通常是從質(zhì)數(shù)2、3、5開(kāi)始，這樣能迅速確定質(zhì)因數(shù)。筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，第三種方案更加容易上手。

3.短除法有一定的靈活性。如在求取最大公因數(shù)時(shí)，每一步提取的公因數(shù)不一定非要是質(zhì)數(shù)，也可以是合數(shù)，只要這個(gè)合數(shù)是待測(cè)數(shù)的公因數(shù)即可，大小不限，如果能夠一步到位找準(zhǔn)兩數(shù)的最大公因數(shù)也未嘗不可，如果不能就一步步檢索完兩個(gè)數(shù)的所有公因數(shù)，盡可能用最少的步驟快速找完所有并列的公因數(shù)。值得注意的是，與列舉法不同，用短除法每一步找出的公因數(shù)（合數(shù)）都是互斥的，互不交叉包含。如圖1，對(duì)72和48短除時(shí)，第一次短除提取的公因數(shù)是4，第二次短除提取的公因數(shù)是6，兩數(shù)獨(dú)立互斥，各自包含一個(gè)質(zhì)因數(shù)2，72和48的最大公因數(shù)就是這兩數(shù)的積：4×6=24。由此可見(jiàn)，短除法每次提取的公因數(shù)可以是合數(shù)，大小不限，但是一直要除到剩余因數(shù)互質(zhì)為止，如上例中剩余因數(shù)為3和2，互為質(zhì)數(shù)，說(shuō)明短除已經(jīng)觸底。

另外，在求多個(gè)（三個(gè)及以上）數(shù)的最大公因數(shù)時(shí)，方法相似，可以將三個(gè)數(shù)一并短除;但是，在求多個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，則不能一并短除，而要兩兩短除，先求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，再用這個(gè)最小公倍數(shù)與第三個(gè)數(shù)短除，求出三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如圖2、圖3、圖4。

三、兩種觀點(diǎn)的沖突與協(xié)調(diào)

《劉版》認(rèn)為“沒(méi)有學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)也可以直接學(xué)習(xí)短除法”，增設(shè)了一個(gè)短除法的“過(guò)渡形式”，顯而易見(jiàn)，所謂的過(guò)渡形式就是分解因數(shù)。筆者認(rèn)為這樣做有悖常理。理由如下：

其一，所謂的“過(guò)渡形式”，無(wú)非就是將一個(gè)數(shù)改寫(xiě)成多個(gè)數(shù)的積，只不過(guò)偷梁換柱用“因數(shù)”代替“質(zhì)因數(shù)”，達(dá)到去質(zhì)因數(shù)化的目的。然而，按照算術(shù)原理，一個(gè)數(shù)只有分解成多個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，且忽略順序時(shí)，表達(dá)式才是唯一確定的。而若按照“過(guò)渡形式”寫(xiě)成因數(shù)的乘積，那么表達(dá)式則變化多端。如文中所列舉的兩數(shù)24和30，如果只是分解因數(shù)亦可寫(xiě)成24=1×4×6，30=2×3×5，如此一來(lái)，就會(huì)得出兩數(shù)沒(méi)有公因數(shù)的謬論。顯然，用“過(guò)渡形式”取代分解質(zhì)因數(shù)是欠妥的。

其二，文中提出，采用“過(guò)渡形式”尋找的公因數(shù)是“互斥”的說(shuō)法，也站不住腳。其實(shí)，利用分解質(zhì)因數(shù)法求出的共有質(zhì)因數(shù)確實(shí)互斥，但卻可以重復(fù)（如左短除式中重復(fù)出現(xiàn)的3個(gè)2）;而在做短除法的過(guò)程中，可以用非質(zhì)因數(shù)去整除，這樣就會(huì)出現(xiàn)相互包含交叉的情況（如右短除式中的除數(shù)4和2）。

其三，文中認(rèn)為教短除法，只需要教會(huì)學(xué)生記住“列舉法的公因數(shù)和互質(zhì)這兩點(diǎn)”，也經(jīng)不住推敲?！傲信e法找出的公因數(shù)”是兩個(gè)數(shù)的所有公因數(shù)（可以是合數(shù)）;與利用分解質(zhì)因數(shù)法找出的兩個(gè)數(shù)的共有質(zhì)因數(shù)（必定是質(zhì)數(shù)）是兩碼事。如72和54，列舉法找出的所有公因數(shù)是1、2、3、6、9和18，而分解質(zhì)因數(shù)后找出的公因數(shù)只有2、3和3，一律為質(zhì)數(shù)。在計(jì)算“兩最”時(shí)，兩數(shù)的最大公因數(shù)只能是所有共有質(zhì)因數(shù)（相同數(shù)字重復(fù)計(jì)算）的乘積2×3×3=18，而非列舉法下所有公因數(shù)的乘積。

《陸版》中“棄用短除法啟用列舉法是丟卒保車”的觀點(diǎn)，是將兩種辦法視為互相矛盾，好像教了短除法就會(huì)削弱列舉法的影響，其實(shí)列舉法只是一種基于公因數(shù)定義的基本方法，完全是按照“兩最”概念來(lái)演繹的，通過(guò)“羅列”出所有共有因（倍）數(shù)，從而找出最小和最大，強(qiáng)化列舉法，重在對(duì)概念的回顧和理解，而不是機(jī)械重復(fù)查找的程序。

至于通過(guò)列舉法可能讓學(xué)生記住某些數(shù)的特性，做題時(shí)連估帶猜一下子想起“兩最”，這與方法訓(xùn)練無(wú)關(guān)。其實(shí)短除法之所以只是出現(xiàn)在附錄中，就是考慮到算理理解上的困難，并不是否定短除法的價(jià)值。

（責(zé)編 吳美玲）