王崢

[摘 ?要] 培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的應(yīng)然追求. 嘗試以一元二次方程（蘇教版九年級上冊）為例進行教學(xué)實踐，以激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成.

[關(guān)鍵詞] 一元二次方程;核心素養(yǎng);初中數(shù)學(xué);高效課堂

教育部頒布了《關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》，其對核心素養(yǎng)做出了明確的界定，即學(xué)生具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，從此以后，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)成為課堂教學(xué)追求的最高目標(biāo). 在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)呢？筆者以一元二次方程（蘇教版九年級上冊）為例進行探討.

一元二次方程教學(xué)實錄片段

1. 創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1：若把100 cm長的鐵絲折成一個面積為525 cm2的長方形，求這個長方形的長.

問題2：某班一物理課代表在老師的培訓(xùn)后學(xué)會了某個物理實驗操作，回到班上后第一節(jié)課教會了若干名同學(xué)，第二節(jié)課會做該實驗的同學(xué)又教會了同樣多的同學(xué)，這樣全班共有36人會做這個實驗了. 求每人每次教會了多少名同學(xué).

問題3：我市為積極響應(yīng)創(chuàng)建“全國衛(wèi)生城市”的號召，打造“綠色徐州，健康徐州”是我們每個徐州人應(yīng)盡的義務(wù).某鄉(xiāng)鎮(zhèn)積極開展了垃圾分類有效回收，據(jù)統(tǒng)計，2018年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)有效回收的垃圾約1.4萬噸，截至2020年底，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)有效回收的垃圾約2.8萬噸. 求這兩年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的垃圾有效回收的平均增長率.

師：問題1應(yīng)根據(jù)什么條件列方程？列出的方程是什么？你能化成的最簡形式是什么？

生1：問題1應(yīng)根據(jù)條件“長方形的面積為525 cm2 ”列方程，設(shè)長方形的長為x cm，列出的方程是x（50-x）=525，化簡得-x2+50x=525.

師：問題2應(yīng)根據(jù)什么等量關(guān)系列方程？列出的方程又是什么？化為最簡形式呢？

生2：問題2應(yīng)根據(jù)“全班共有36人會做這個實驗”列方程，設(shè)每人每次都能教會x名同學(xué)，列方程為1+x+（1+x）x=36，化簡得x2+2x=35.

師：問題3應(yīng)根據(jù)什么等量關(guān)系列方程？列出的方程是什么？如何化簡方程呢？

生3：問題3應(yīng)根據(jù)“截至2020年底，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)有效回收的垃圾約2.8萬噸”列方程，設(shè)這兩年該鄉(xiāng)鎮(zhèn)的垃圾有效回收的平均增長率為x，列方程為1.4（1+x）2=2.8，化簡得x2+2x+1=2.

設(shè)計意圖 ?本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)的三個問題的情境分別為學(xué)生個人生活、學(xué)校生活與社會生活，通過創(chuàng)設(shè)實際生活情境，讓學(xué)生感受到身邊的數(shù)學(xué). 學(xué)生根據(jù)實際問題列出一元二次方程，這一過程是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，即把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題;同時建立了一元二次方程數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng). 進一步顯示一元二次方程的特征，讓學(xué)生把所列方程展開分析，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

2. 設(shè)計探究活動

探究1：探究一元二次方程的概念.

師：方程-x2+50x=525，x2+2x=35，x2+2x+1=2.它們有什么共同特征？

生4：方程的兩邊都是整式.

生5：方程中只含有一個未知數(shù).

生6：未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師：像這樣，等號的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫作一元二次方程.

師：一個方程要成為一個一元二次方程，需要符合幾個條件？

生7：三個條件：一是這個方程是整式方程;二是只含有一個未知數(shù);三是未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

設(shè)計意圖 ?通過三個方程的對比，從中發(fā)現(xiàn)它們的共同特征，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力;通過三個方程的三個共同特征得到一元二次方程的概念，這是一個數(shù)學(xué)抽象的過程，剝離了這幾個方程的外表形式，得到了這幾個方程的內(nèi)涵，即其屬于同一類方程——一元二次方程. 在學(xué)生熟知了一元二次方程的概念后，又讓學(xué)生總結(jié)判斷一個方程是否是一元二次方程的條件，給學(xué)生解決問題指明了方法與思路，從解題之道轉(zhuǎn)化為解題之術(shù).

探究2：一元二次方程的一般形式.

師：上述三個方程整理成右邊是0的形式，分別是什么？

生8：分別是-x2+50x-525=0，x2+2x-35=0，x2+2x-1=0.

師：我們知道，一元一次方程的一般形式是ax+b=0（a≠0），那么今天學(xué)習(xí)的一元二次方程的一般形式該如何表示呢？

生9：一元二次方程的一般形式應(yīng)為ax2+bx+c=0（a≠0）.

師：其實任何一個一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，一元二次方程的一般形式有何特征呢？

生10：（1）方程的左邊是二次三項式，右邊是0;（2）二次項系數(shù)不能為0，即a≠0.

師：為什么要強調(diào)二次項系數(shù)不能為0呢？

生11：當(dāng)二次項系數(shù)a=0時，方程變?yōu)閎x+c=0，它就不是二次方程了.

師：在一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）中，ax2是二次項，a是二次項系數(shù);bx是一次項，b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.

設(shè)計意圖 ?在對三個方程整理的過程中，培養(yǎng)了學(xué)生對方程的變形能力，將方程化為了一元二次方程的一般形式，對于后面學(xué)習(xí)一元二次方程的解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等都有重要的作用.通過對比，學(xué)生得到了一元二次方程的一般形式，培養(yǎng)了學(xué)生類比數(shù)學(xué)思想.在一元二次方程的一般形式里，通過問題“為什么要強調(diào)二次項系數(shù)不能為0”引發(fā)學(xué)生思考，使學(xué)生再一次深刻理解一元二次方程的概念，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng).

3. 鞏固拓展訓(xùn)練

師：（1）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（ ? ? ）

A. x+2=3 ? ? ? ? ? ?B. x+y=1

C. x2-2x-3=0 ? ? D. x2+=1

（2）把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：①2x2=1-3x;②5x（x-2）=4x2-3x.

（3）已知m是方程2x2+x-1=0的一個根，求代數(shù)式4m2+2m+2019的值.

（4）當(dāng)k取何值時，關(guān)于x的方程（k-5）x2+（k+2）x+5=0：①是一元一次方程？②是一元二次方程？

（5）根據(jù)下列問題列方程，并將其化成一元二次方程的一般形式.

①一長方形的面積為64 cm2，若它的長是寬的2倍，則各邊長是多少？

②兩數(shù)之差是2，平方和是52，求此兩數(shù).

③生物興趣小組的同學(xué)，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，求全組有多少名同學(xué).

設(shè)計意圖 ?鞏固拓展訓(xùn)練中的5個小題分別考查了一元二次方程的概念、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解、一元二次方程中a≠0、列一元二次方程5個知識點，使學(xué)生對這5個知識點得到了有效鞏固.在第（1）題中，讓學(xué)生認(rèn)識了各種類型的方程，開闊了學(xué)生的視野;在第（2）題中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng);在第（3）題中，通過方程的解的代入求值，滲透了代入法這種數(shù)學(xué)中最常用的方法，在求值時又采用了整體處理法，滲透了整體數(shù)學(xué)思想;在第（4）題中，讓學(xué)生認(rèn)識到方程ax2+bx+c=0可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，滲透了分類討論數(shù)學(xué)思想;在第（5）題中，再一次讓學(xué)生認(rèn)識到一元二次方程來源于生活，是反映現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型.

一元二次方程教后反思

本節(jié)課的主要內(nèi)容是一元二次方程的概念及根據(jù)實際問題抽象出一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過問題設(shè)置與師生互動，學(xué)生感知了一元二次方程的存在，抽象出了一元二次方程的模型，通過觀察、比較得到一元二次方程的一般形式及概念. 在教學(xué)過程中，始終把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿于教學(xué)全過程.

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生的積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進而促進學(xué)生核心素養(yǎng)的生成.本節(jié)課從生活實例出發(fā)，步步深入，問題由淺入深，層層遞進，整個流程自然天成，促使了學(xué)生的核心素養(yǎng)生成;同時通過不斷發(fā)問，促使學(xué)生思考，通過類比勾起學(xué)生的回憶，達(dá)到溫故而知新的目的，在鞏固拓展訓(xùn)練中，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

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