俞連山

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體、媒介. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動(dòng)轉(zhuǎn)向主動(dòng)、從離身轉(zhuǎn)向具身. 作為教師，要立足整體進(jìn)行謀劃，通過(guò)頂層設(shè)計(jì)，讓學(xué)生收獲一些正本清源的原理認(rèn)知、去蕪存精的概念理解、斂聚而生的建模意識(shí)、刻骨銘心的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);思維能力提升

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是融合學(xué)生數(shù)學(xué)思維與操作于一體的一種學(xué)習(xí)方式. 著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾經(jīng)這樣說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面：其一是系統(tǒng)性的演繹科學(xué);其二是具有試驗(yàn)性、創(chuàng)造性的歸納科學(xué). ”借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能有效地發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，同時(shí)能轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從被動(dòng)轉(zhuǎn)向主動(dòng)、從離身轉(zhuǎn)向具身. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的有效載體、媒介，正如歐拉所說(shuō)：“數(shù)學(xué)這樣的一門(mén)學(xué)科，既需要觀察，更需要實(shí)驗(yàn). ”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)転閷W(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供良好的服務(wù)，能讓學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)落地生根.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)思維更有深度

初中生的數(shù)學(xué)思維，已經(jīng)開(kāi)始由具體形象思維向抽象邏輯思維過(guò)渡. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本旨?xì)w. 提升學(xué)生的思維能力，不僅可以依靠邏輯推理，還可以依靠數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn). 利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不僅有助于學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容形成具體、形象的心理表征，更有助于學(xué)生展開(kāi)深度思考、探究. 借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，增進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念，引導(dǎo)學(xué)生全息洞察相關(guān)內(nèi)容.

比如教學(xué)“角的平分線的性質(zhì)”，很多教師總是直接示范如何作角的平分線，然后講解角的平分線的性質(zhì)，最后是對(duì)角的平分線的應(yīng)用. 這樣的教學(xué)，盡管也能讓學(xué)生掌握作角的平分線的方法，但學(xué)生沒(méi)有對(duì)角的平分線的作圖法的深刻理解. 學(xué)生“知其然”，而“不知其所以然”. 因此，為突破這樣的現(xiàn)象，筆者在教學(xué)中采用了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷角的平分線的建構(gòu)過(guò)程.

問(wèn)題：我們?cè)诩埳袭?huà)一個(gè)角，如何才能得到它的平分線？我們?cè)谝粋€(gè)木板或鋼板上如何得到一個(gè)角的平分線？（無(wú)法通過(guò)量角器測(cè)量，也無(wú)法折角等.）

觀察：這里有一個(gè)角平分儀，如何用這種角平分儀來(lái)平分角？其背后的數(shù)學(xué)原理是什么？

實(shí)驗(yàn)：我們?nèi)绾谓柚诔咭?guī)作圖的方法作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)畫(huà)角平分線與用角平分儀畫(huà)角平分線有怎樣的相似之處？

探究：角的平分線有什么性質(zhì)？

應(yīng)用：（略）.

通過(guò)這樣的一個(gè)作角平分線的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷角平分線的作法的探究過(guò)程. 通過(guò)激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引入生活中的角平分儀，對(duì)學(xué)生的思維、探究進(jìn)行原型啟發(fā). 在此基礎(chǔ)上借助于尺規(guī)作圖的方法，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)角平分線，只有當(dāng)學(xué)生深度把握了角平分線的內(nèi)在數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入地探究角平分線的性質(zhì)，助推學(xué)生對(duì)角平分線的靈活應(yīng)用. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更有深度.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)思維更有廣度

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果學(xué)生的思維缺乏聯(lián)結(jié)，就會(huì)走向單子化、碎片化的狀態(tài);而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，則能讓學(xué)生將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)結(jié)起來(lái)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更具系統(tǒng)化. 如果學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其認(rèn)知、思維沒(méi)有有效集結(jié)，就會(huì)呈現(xiàn)一種無(wú)序狀態(tài). 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是全方位、立體化的，它不僅包括“猜想—驗(yàn)證”，更包括“分析—探究”. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能豐富數(shù)學(xué)學(xué)科的育人方式，彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值和功能.

比如教學(xué)“圓周角”這一部分內(nèi)容，首先和學(xué)生一起復(fù)習(xí)了圓心角的定義、性質(zhì). 不僅讓學(xué)生簡(jiǎn)單地回顧，還要讓學(xué)生借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證“圓心角的度數(shù)與它所對(duì)的弧的度數(shù)相等”. 在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在圓周上任意取不同的三點(diǎn)A，B，C，進(jìn)而建構(gòu)出圓周角∠ACB. 接著，讓學(xué)生借助于多媒體課件進(jìn)行仿真性的實(shí)驗(yàn)操作并向他們提問(wèn)：拖動(dòng)圓周上的任意一點(diǎn)C，圓周角在這個(gè)過(guò)程中大小會(huì)發(fā)生變化嗎？在圓外任意取一點(diǎn)P，然后連接AP，BP，拖動(dòng)點(diǎn)P，∠APB的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？在圓內(nèi)任意取一點(diǎn)P，然后連接AP，BP，仍然推動(dòng)點(diǎn)P，∠APB的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？通過(guò)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生將相關(guān)的圓周角和圓心角的知識(shí)進(jìn)行整合，這一過(guò)程有助于促進(jìn)學(xué)生的類(lèi)比思維的發(fā)展. 同時(shí)，筆者作了一個(gè)在圓上、以圓心角為頂角的等腰三角形，由此引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合頂角（圓心角）、外角和底角之間的關(guān)系，讓學(xué)生證明圓心角和圓周角之間的關(guān)系. 如此，將演繹與歸納、推理與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更有廣度.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓數(shù)學(xué)思維更有效度

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有獨(dú)特性、廣闊性、批判性、敏捷性和靈活性等特質(zhì). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以充分應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角、多個(gè)層面、多個(gè)方向、多個(gè)結(jié)構(gòu)去審視數(shù)學(xué)知識(shí)、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更有效度. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)自身活動(dòng)獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)和能力，遠(yuǎn)遠(yuǎn)比別人強(qiáng)加的掌握得更加透徹. 為此，教師要讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生交流實(shí)驗(yàn)方案，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的可行性.

比如“無(wú)理數(shù)”概念比較抽象，從人類(lèi)的認(rèn)識(shí)歷史來(lái)看，無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了曲折的過(guò)程. 對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)，無(wú)理數(shù)也是需要突破的一個(gè)理性認(rèn)知. 為此，教師在教學(xué)中可以借助于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生積累感性的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，有部分學(xué)生借助于數(shù)軸這一數(shù)學(xué)認(rèn)知作為有效載體，采用尺規(guī)作圖的方法作出了無(wú)理數(shù). 具體來(lái)說(shuō)，就是先在數(shù)軸上作出一個(gè)距原點(diǎn)單位1的點(diǎn)，然后由原點(diǎn)豎直向上再作一個(gè)距原點(diǎn)單位1的點(diǎn)，連接作出的兩個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)等腰直角三角形;以原點(diǎn)為圓心，等腰直角三角形的斜邊為半徑作弧，與數(shù)軸的交點(diǎn)就是的點(diǎn). 有了這樣的操作，學(xué)生紛紛探究用尺規(guī)作圖的方法表示其他的無(wú)理數(shù)：有的學(xué)生在方格紙上，分別以邊長(zhǎng)1、邊長(zhǎng)2等的正方形的對(duì)角線畫(huà)出了，等無(wú)理數(shù)，通過(guò)這樣的方法，學(xué)生能感受到正方形的邊長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系;有的學(xué)生用一把剪刀、兩張同樣大小的正方形紙片（邊長(zhǎng)為1），將這兩張正方形紙片分別沿著對(duì)角線分成兩個(gè)相等的等腰直角三角形，然后將這四個(gè)等腰直角三角形重新拼接成一個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)就是;有的學(xué)生受到了其他同學(xué)的啟發(fā)，用五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，通過(guò)分割拼成了邊長(zhǎng)為的大正方形，等等. 通過(guò)多樣化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生從不同的實(shí)驗(yàn)視角、用不同的實(shí)驗(yàn)方法，積極地建構(gòu)、創(chuàng)造出無(wú)理數(shù)的理解方法. 這樣的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，較之于教師的機(jī)械、重復(fù)、枯燥的說(shuō)教，更有啟發(fā)性、生命力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓數(shù)學(xué)思維更有創(chuàng)新度

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)是培育學(xué)生創(chuàng)新素養(yǎng)的重要載體、媒介，是學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新的發(fā)動(dòng)器、驅(qū)動(dòng)器. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目的不僅在于引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，更在于提升學(xué)生對(duì)知識(shí)的創(chuàng)造力、建構(gòu)力. 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)打破了傳統(tǒng)的“滿堂灌”“滿堂練”等數(shù)學(xué)教學(xué)格局，致力于生成學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的大腦”. 通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更有創(chuàng)新度.

比如在引導(dǎo)學(xué)生探索“三角形全等條件”時(shí)，筆者借助于生活中一些具體的事例，讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，通過(guò)畫(huà)圖、疊合等操作，激發(fā)學(xué)生猜想，并讓學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想，這樣的一種學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生的思維更有創(chuàng)新度. 由此，筆者設(shè)置了一個(gè)總體性的問(wèn)題情境：有一塊三角形形狀的玻璃壞了，如何才能去買(mǎi)到一塊完全相同的玻璃？這個(gè)問(wèn)題能激發(fā)學(xué)生想辦法去探索兩個(gè)三角形全等的條件. 首先讓學(xué)生在透明紙上畫(huà)兩個(gè)指定了一條邊長(zhǎng)度的三角形，然后讓學(xué)生以小組合作的方式將這兩個(gè)三角形的一條邊重合，判斷兩個(gè)三角形是否重疊;在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生畫(huà)兩個(gè)指定了角的三角形，同樣以小組合作的方式將兩個(gè)角重合，判斷兩個(gè)三角形是否重疊;在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生增加一些條件，從而引導(dǎo)學(xué)生去猜想三角形全等的一些條件，如“三條邊相等”“兩條邊和一個(gè)夾角相等”“兩個(gè)角和一條邊相等”，等等. 有了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作，就能幫助學(xué)生積累相關(guān)的感性經(jīng)驗(yàn)，從而為學(xué)生理性認(rèn)識(shí)三角形全等的條件奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要載體，能啟迪學(xué)生創(chuàng)新思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí). 作為教師，要將學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過(guò)程做深、做到位，要讓學(xué)生的動(dòng)手操作與動(dòng)腦思維結(jié)合起來(lái). 初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一項(xiàng)創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)，作為教師要立足整體進(jìn)行謀劃，通過(guò)頂層設(shè)計(jì)，讓學(xué)生收獲一些正本清源的原理認(rèn)知、去蕪存精的概念理解、斂聚而生的建模意識(shí)、刻骨銘心的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

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