涂立云

[摘? 要] 2021年新高考數(shù)學(xué)I卷第21題是關(guān)于圓錐曲線的綜合題，考查曲線與直線相交、函數(shù)曲線背景中的線段轉(zhuǎn)化、斜率等，對(duì)學(xué)生的邏輯思維和推理運(yùn)算能力有著較高的要求. 定位知識(shí)考點(diǎn)，總結(jié)問題解法對(duì)研究問題有很大的幫助. 文章將問題背景及解法加以探究，并深入解讀，拓展方法，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓錐曲線;線段;乘積;方程;思想方法

[?] 問題呈現(xiàn)，考點(diǎn)定位

1. 問題呈現(xiàn)

問題：（2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F（-，0），F(xiàn)（，0），點(diǎn)M滿足

MF

-

MF

=2. 記點(diǎn)M的軌跡為C.

（1）試求C的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且TA·

TB

=

TP

·

TQ

，試求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2. 考點(diǎn)定位

本題目為圓錐曲線綜合題，考查曲線與直線的相關(guān)知識(shí)及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

第（1）問求解點(diǎn)C的軌跡方程，核心條件是焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及與點(diǎn)M相關(guān)的線段條件，核心考點(diǎn)是圓錐曲線方程的求法、圓錐曲線的定義.

第（2）問構(gòu)建了兩條直線與曲線相交所生成的線段乘積條件，探究?jī)芍本€的斜率之和，屬于直線與曲線的相交問題，核心考點(diǎn)為直線與曲線的位置關(guān)系，以及線段乘積關(guān)系的轉(zhuǎn)化策略.

[?] 問題分析，過程突破

“定位考點(diǎn)，條件轉(zhuǎn)化”是圓錐曲線綜合題突破的常用策略，下面結(jié)合問題條件逐問分析，開展過程突破.

1. 定義出發(fā)，曲線定位

（1）問的核心條件有兩個(gè)：焦點(diǎn)坐標(biāo)F（-，0），F(xiàn)（，0）;點(diǎn)M滿足條件

MF

-

MF

=2. 結(jié)合雙曲線的定義，可知軌跡C是以點(diǎn)F，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右側(cè)軌跡，從而可確定方程的特征參數(shù)，求出軌跡C：x2-=1（x≥1）.

2. 數(shù)形結(jié)合，分步構(gòu)建

第（2）問以直線與曲線相交為基礎(chǔ)構(gòu)建了與線段相關(guān)的乘積條件，求兩直線斜率之和，核心條件為TA·

TB

=

TP

·

TQ

. 突破思路較為清晰：就是轉(zhuǎn)化線段乘積條件，構(gòu)建斜率關(guān)系. 其中點(diǎn)T為核心點(diǎn)，需要從點(diǎn)T坐標(biāo)出發(fā)構(gòu)建直線斜率，再聯(lián)立直線與曲線方程來構(gòu)建線段長(zhǎng)，將線段條件轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)坐標(biāo)或直線參數(shù)相關(guān)的條件，進(jìn)而解出參量，求得斜率之和. 這里采用數(shù)形結(jié)合、分步突破策略.

第一步——設(shè)定點(diǎn)T，構(gòu)建直線方程

根據(jù)題意繪制圖1所示圖像，設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為T

，t

，顯然過點(diǎn)T直線的斜率不存在時(shí)，直線與曲線C不存在公共點(diǎn)，條件不成立，即直線AB和PQ的斜率必然存在.

可設(shè)直線AB的方程為y-t=k

x-

，即y=kx+t-k;設(shè)直線PQ的方程為y-t=k

x-

，即y=kx+t-k.

第二步——方程聯(lián)立，線段轉(zhuǎn)化

將直線AB與曲線C方程聯(lián)立，有

y=k

x+t-

k，

16x2-y2=16，整理可得（k-16）x2+k（2t-k）x+

t-k

+16=0. 設(shè)A（x，y）和B（x，y），則x>且x>. 由韋達(dá)定理可得x1+x2=和xx=. 可將TA·TB表示為TA·TB=（1+k）·

x

-·

x

-，替換后可得TA·TB=.

同理可得TP·TQ=.

第三步——方程構(gòu)建，破除斜率

已知TA·

TB

=

TP

·

TQ

，可得=，可解得k=k，整理可得（k-k）（k+k）=0，顯然k-k≠0，所以k+k=0，因此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

[?] 深入解讀，解法拓展

上述對(duì)一道圓錐曲線綜合題進(jìn)行了解法探究，考題共設(shè)兩問，問題構(gòu)建較為常規(guī). 第（1）問探究曲線方程，考查雙曲線的定義;第（2）問立足直線與曲線相交，構(gòu)建線段乘積關(guān)系，考查線段轉(zhuǎn)化. 上述所呈現(xiàn)的也是該類問題常見的解法思路，雖運(yùn)算量較大，但思路清晰，易于構(gòu)建，下面對(duì)問題及解法深入探究.

1. 問題解讀，解法分析

考題兩問的特點(diǎn)鮮明，立足教材考點(diǎn)，又具有一定的創(chuàng)新點(diǎn). 第（1）問摒棄傳統(tǒng)的待定系數(shù)求曲線方程，而是從軌跡視角考查學(xué)生對(duì)曲線定義的掌握情況，故定義法是破題的最佳解法，當(dāng)然也可采用設(shè)點(diǎn)求軌跡的方法，但顯然更為復(fù)雜. 同時(shí)考題沒有直接套用雙曲線，而是在其基礎(chǔ)上摘取曲線的右支，可全面考查學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的掌握情況.

第（2）問是基于曲線與直線相交進(jìn)行的問題構(gòu)建，整個(gè)過程共分三部分：第一部分，描述曲線與直線的交點(diǎn)情形，考查學(xué)生的理解能力及作圖能力;第二部分，設(shè)定線段乘積條件，考查線段轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步分析可得=，顯然其中存在相似三角形，即△TAP∽△TBQ;第三部分，則是關(guān)于兩線斜率之和的問題設(shè)定，實(shí)際上問題信息直接指明了需要設(shè)定兩直線的斜率，將線段乘積條件轉(zhuǎn)化為斜率條件. 采用傳統(tǒng)的“聯(lián)立方程，定理轉(zhuǎn)化”是突破的關(guān)鍵，故上述分步進(jìn)行了思路構(gòu)建.

從整體上審視第（2）問的解法，數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、類比構(gòu)建方法體現(xiàn)得尤為突出. 根據(jù)題意繪制圖像，結(jié)合圖像將線段乘積轉(zhuǎn)化為曲線與直線相交;設(shè)定交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用韋達(dá)定理來構(gòu)建根與系數(shù)的關(guān)系;將TA·TB轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率與參數(shù)的代數(shù)式，直接通過類比推出TP·TQ. 三種方法巧妙配合，極大地簡(jiǎn)化了解題過程.

2. 解法拓展，思維拓展

上述考題第（2）問為核心之問，主要探究?jī)删€與曲線相交，上述采用傳統(tǒng)的斜率式設(shè)定直線方程，實(shí)際上還可以設(shè)定兩直線的參數(shù)方程，從參數(shù)方程視角來構(gòu)建，具體如下.

設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為

，m

，直線AB的傾斜角為θ，直線PQ的傾斜角為θ，則直線AB的參數(shù)方程為

x=+tcos

θ，

y=m+tsin

θ，（t為參數(shù)），將其與曲線C的方程聯(lián)立，整理可得（16cos2θ-sin2θ）t2+（16cosθ-2msinθ）t-（m2+12）=0，則有

TA

TB

=;可知直線PQ的參數(shù)方程為

x=+tcos

θ，

y=m+tsin

θ（t為參數(shù)），同理可得

TP

TQ

=. 已知TA·

TB

=

TP

·

TQ

，即16cos2θ-sin2θ=16cos2θ-sin2θ，又知AB和PQ為不同的直線，則有cosθ=-cosθ，所以θ+θ=π，即k+k=0，因此可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

[?] 解后反思，教學(xué)建議

圓錐曲線問題的綜合性極強(qiáng)，把握直線與曲線的位置關(guān)系，從“數(shù)”與“形”的角度靈活轉(zhuǎn)化極為重要. 上述探究問題時(shí)，充分把握問題特點(diǎn)，利用關(guān)聯(lián)知識(shí)探究突破，其解析方法和思路構(gòu)建有著一定的參考價(jià)值. 下面深入反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

1. 定位考點(diǎn)，關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)

圓錐曲線問題往往融合了直線、曲線、幾何等知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，問題形式多樣. 而在解題探究時(shí)建議首先理解問題，定位考點(diǎn)，拆解條件，提煉基礎(chǔ)知識(shí). 以上述考題的第（2）問為例，通過分步解讀，可知涉及了直線與曲線相交、圖像中的線段構(gòu)建及直線斜率等知識(shí)，顯然方程聯(lián)立、韋達(dá)定理、線段轉(zhuǎn)化、斜率運(yùn)算是問題突破所需的基礎(chǔ)知識(shí). 教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生分步審視問題，逐問分析考點(diǎn)，結(jié)合教材思考破題的基礎(chǔ)知識(shí)，使學(xué)生充分掌握讀題、審題、定位的技巧.

2. 總結(jié)方法，生成解題策略

圓錐曲線問題形式雖變化多端，但解析方法、思路構(gòu)建具有一定的共性，深入總結(jié)可生成“程序性”的解法策略，提高解題的效率. 如上述第（2）問分步構(gòu)建中采用的就是該類問題的通性通法，形成了“設(shè)定直線→聯(lián)立方程→韋達(dá)定理提取→轉(zhuǎn)化核心條件”的破題過程，整個(gè)過程清晰簡(jiǎn)明，思維整體性極好. 教學(xué)中，建議引導(dǎo)學(xué)生開展解后反思，總結(jié)問題的通性通法，形成類型問題的破解策略，必要時(shí)可借助“多題一解”來幫助學(xué)生理解問題，總結(jié)方法.

3. 思想滲透，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是解題的精髓所在，同時(shí)也是破解綜合性問題需要重點(diǎn)關(guān)注的. 以上述問題為例，解題過程融合了數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化、類比、方程、設(shè)而不求等思想，有效降低了思維難度，簡(jiǎn)化了解題過程. 解題探究教學(xué)中，需要合理滲透數(shù)學(xué)思想，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生思考其中的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生充分體會(huì)思想的內(nèi)涵，掌握方法的使用技巧. 數(shù)學(xué)思想較為抽象，教學(xué)中可借助具體的內(nèi)容，函數(shù)教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合思想，分析圖像與函數(shù)方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;方程教學(xué)中利用方程思想，分析變形轉(zhuǎn)化思路. 引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探究過程，獲得知識(shí)與思想的雙重提升.

[?] 寫在最后

高考真題凝聚了眾多優(yōu)秀教師的智慧，其問題特征及解法思路具有極高的研究?jī)r(jià)值，解題教學(xué)建議立足高考真題，思考命題方向，探索解題方法，生成解題策略. 同時(shí)考題探究注意方法拓展與問題變式，充分發(fā)揮考題價(jià)值，提升思維的靈活性.

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