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        從過程析解幾 切視角探多解

        2021-03-19 22:33:48洪海波
        數(shù)學教學通訊·高中版 2021年12期
        關鍵詞:模型

        洪海波

        [摘? 要] 解析幾何問題可從不同視角來突破,尤其是對于與幾何結(jié)合緊密的問題,可充分挖掘問題中的幾何屬性,結(jié)合函數(shù)曲線綜合構建. 文章以一道拋物線綜合題為例,探索問題解法,剖析問題條件,開展多解探究,并提出相應的教學建議.

        [關鍵詞] 解析幾何;多解;三角形;面積;模型

        [?] 問題突破

        問題:平面直角坐標系xOy中,已知圓F的解析式為(x-1)2+y2=1,點P是圓外的一點,并在y軸的右側(cè)運動,點P到圓F上點的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離,記點P的軌跡為E,回答下列問題.

        (1)求點P的軌跡方程;

        (2)設過點F的直線與E相交于點A和B,以AB為直徑的☉D與平行于y軸的直線相切,且切點為M,連接DM,設與E的交點為N,試證明△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

        解析:(1)點P是圓F外y軸右側(cè)上的動點,由條件可知點P到☉F上點的最小距離為

        PF

        -1,可據(jù)此進行思路構建,過程如下.

        設點P(x,y),由題意可知x>0,且點F(1,0). 點P在☉F外,點P到☉F上點的最小距離為

        PF

        -1,則有

        PF

        -1=x,即-1=x,化簡可得E的方程為y2=4x(x>0).

        (2)該問以AB為直徑構建了☉D,且平行于y軸的直線與其相切于點M,并以此形成了兩個三角形,證明△AMB和△AMN之間的面積關系可分兩步進行:第一步,設點求直線AB的方程,與拋物線聯(lián)立提取參數(shù)之間的關系;第二步,構建三角形面積模型,將面積轉(zhuǎn)化為關于參數(shù)的代數(shù)式,通過代數(shù)式來證明面積關系,具體如下.

        設過點F的直線與E的交點為A(x,y)和B(x,y),再設點N(x,y),點D是AB的中點,則D

        . 根據(jù)題意可設直線AB的方程為y=k(x-1) (k≠0),與拋物線的方程聯(lián)立,有y=k(x-1),

        y2=4x,整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,則Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,由韋達定理提取根與系數(shù)的關系,有x+x=,則y+y=,可得點D的坐標為

        ,

        . 根據(jù)拋物線的定義可知AB=x+x+2=. 可設點M(x,y),根據(jù)題意可得y=,所以MD=-x. MD為☉D的半徑,則MD=,則-x=+2,從而可解得x=-1,則點M

        -1,

        . 因為點N

        x,

        在拋物線上,所以x=,可將點N坐標簡化為

        ,

        . 利用面積割補法構建△AMB的模型,則S=S+S,兩小三角形可視為同底三角形,底為MD,結(jié)合點A和B的坐標,有S=MD

        y

        -y,代入線段MD的長,可得S=

        y

        -y. 而對于△AMN,可視為是以MN為底,點A為頂點的三角形,則S=MN

        y

        -y,化簡可得MN×

        y

        -y=·

        y

        -y,綜合可知S=4S,即△AMB的面積是△AMN面積的4倍.

        [?] 解后剖析

        上述是一道關于拋物線的解析幾何綜合題,兩問分別求點的軌跡,證明兩三角形的面積關系,涉及了距離最小、圓與直線相切、幾何面積關系等內(nèi)容. 兩問特征及考查內(nèi)容具有一定的代表性,可視為是眾多小問題的組合,解析時可采用逐問突破的策略,下面深入探究.

        1. 點軌跡的分析

        第(1)問探究點P的軌跡方程,核心條件是“點P到圓F上點的最小距離等于它到y(tǒng)軸的距離”,屬于距離最值問題,其中涉及了動點與圓上點的距離關系. 該問題突破的基礎是“兩點之間,距離最短”的衍生定理,需要充分利用圓的特殊性,把握直徑這一定量,提取圓上相對于動點的“近點”和“遠點”. 點軌跡的求法較多,常用的有定義法、直譯法、代入法、參數(shù)法等,本問題中完成距離關系提取后,采用距離直譯的方式更為簡捷.

        2. 面積關系的論證

        第(2)問論證所構兩三角形的面積關系,問題信息較為豐富,同時具有一定的邏輯順序,因此解析時需把握圖像構建的過程,可將題目信息提煉如下:

        ①過點F的直線與拋物線E交于點A和B;

        ②以AB為直徑構圓,圓心為D;

        ③平行于y軸的直線與☉D相切于點M.

        核心信息為三條,但其中隱含了大量的性質(zhì)條件,信息①中可將AB視為焦點弦;由信息②可得點D是線段AB的中點;信息③隱含了核心條件,分析可知點M位于☉D上,DA=DM=BD,直線與☉D相切,則MD⊥直線,而直線平行于y軸,故直線MD平行于x軸,即點M和D位于同一水平線上,兩點的縱坐標相等,即

        y=

        y.

        3. 原解法的構建分析

        問題解析需要充分利用提煉的問題條件,以上述第(2)問為例,△AMB為一般三角形,但平行于x軸的線段MD作為分割線,可將原三角形分割為同底異頂點的兩個小三角形:△AMD和△BMD,故有S=S+S. 實際上是依托曲線構建的“鉛垂”模型,利用同底和兩頂點之間的距離即可完成面積模型轉(zhuǎn)化,也是該問題突破的關鍵. 該方法常用于與曲線相關的面積問題,如面積關系問題、面積最值問題等. 突破過程分為兩步:一是模型構建,二是模型轉(zhuǎn)化,最終目的是將面積關系轉(zhuǎn)化為關于線段長、點坐標或參數(shù)的代數(shù)式.

        [?] 多解探究

        解析幾何問題的突破思路及解法較為多樣. 對于本問題,除了上述解法外,所涉兩問還可以從其他視角來構建思路. 第(1)問中,還可以利用拋物線的定義來轉(zhuǎn)化線段長. 而第(2)問中,可把握點N的位置特點,避開模型轉(zhuǎn)化,直接利用線段長論證兩三角形的面積關系. 下面開展多解探究,多樣構建思路.

        1. 軌跡方程的另解

        設點P的坐標為(x,y),由題意可得x>0,點P在☉F外,則點P到☉F上的最小距離為PF-1,分析可知點P到F(1,0)的距離PF等于點P到直線x=-1的距離,所以點P位于以點F(1,0)為焦點,x=-1為準線的拋物線上,則E的方程可表示為y2=4x(x>0).

        2. 關系論證的多解

        設過點F直線與拋物線E的交點A(x,y),B(x,y),設直線方程為x=ty+1(t≠0),與拋物線方程聯(lián)立,有x=ty+1,

        y2=4x,整理可得y2-4ty-4=0,Δ=16t2+16>0,由韋達定理可得y+y=4t,則x+x=4t2+2. 點D是AB的中點,則D(2t2+1,2t),由拋物線的定義可得AB=(x+1)+(x+1)=4t2+4,設與☉D相切于點M的直線為l:x=m. 因為DM與拋物線相交于點N,則m<0,且DM⊥l,故DM=AB,所以2t2+1-m=(4t2+4),可解得m=-1.

        設點N(x,y),則y=2t,同時位于拋物線y2=4x上,有(2t)2=4x,可解得x=t2. 因為=t2,故點N是MD的中點,則有S=2S. 又知點D是AB的中點,則有S=2S,所以S=4S.

        評析:上述通過三角形面積代換論證了其中的面積關系,解法的核心是把握線段的中點,主要有兩個:一是點N為MD的中點,二是點D是AB的中點,前者需要利用曲線、直線、圓的位置關系來推導,后者直接由☉D的構建過程即可得出.

        [?] 教學建議

        1. 深度解讀信息,關注構建過程

        本文對一道以拋物線為背景的解析幾何題進行了解法探究,問題圖像復雜、信息量大. 探究教學中建議關注兩點:一是深度解讀信息,指導學生進行條件提煉轉(zhuǎn)化;二是開展思路突破,指導學生進行思路構建. 以上述問題為例,對于核心條件以AB為直徑作圓,要解讀點D在線段AB中的位置;平行于y軸的直線與圓相切,要解讀點D和M的縱坐標值相等. 而過程構建時要指導學生養(yǎng)成良好的解題習慣,充分利用數(shù)形結(jié)合的方法,按照“信息解讀→條件羅列→圖像理解→模型構建→問題轉(zhuǎn)化”的思路逐步剖析,讓學生體驗解題過程,感知問題解法.

        2. 合理拓展解法,拓寬解題思路

        解法多樣是解析幾何綜合題的一大特點,解題探究時建議合理拓展解法,引導學生從不同視角思考問題,探索思路構建的方法. 以上述第(2)問的面積關系問題為例,可從面積模型轉(zhuǎn)化視角入手,結(jié)合面積公式將幾何模型轉(zhuǎn)化為關于參數(shù)的數(shù)式;也可從面積關系轉(zhuǎn)化入手,把握點坐標的位置特點,直接分析三角形面積之間的關系. 實際教學時,讓學生思考問題的解析策略,引導學生把握問題的函數(shù)與幾何屬性,探討問題的創(chuàng)新解法. 教學中設置引導性問題,提煉問題模型,引導學生探索圖形特征,自主思考,獨立構建,逐步拓寬學生的解題思路.

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