金文衛(wèi)

[摘 ?要] 提高例題教學(xué)效能，就可以提升課堂教學(xué)的質(zhì)量. 教師需要將精力放在挖掘例題潛在的教學(xué)功能上，通過各種有效策略輔助學(xué)生思維品質(zhì)的提升. 文章結(jié)合多個(gè)例題，闡述了以“一題多解”“一題多變”“例題鏈”為主線一以貫之地挖掘例題功能，構(gòu)建深度數(shù)學(xué)課堂的策略.

[關(guān)鍵詞] 例題;一題多解;一題多變;例題鏈;深度課堂

構(gòu)建深度課堂是廣大一線教師的永恒追求，而教學(xué)的深度首當(dāng)其沖地表現(xiàn)在對教材的把握上. 一般水平的教師僅僅是將知識傳授給學(xué)生，智慧型的教師則會(huì)深鉆教材，最大限度地提升教材例題的附加值，打造具有深度的課堂. 教材例題是在充分挖掘教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上為學(xué)生打造的生動(dòng)的學(xué)習(xí)情境，可以引領(lǐng)學(xué)生在感知、體驗(yàn)和感悟例題情境的過程中系統(tǒng)掌握和理解知識，以達(dá)到構(gòu)建深度課堂的目的. 基于此，筆者立足于學(xué)生思維能力的培育，嘗試在例題教學(xué)中挖掘教材價(jià)值，通過各種有效策略輔助學(xué)生思維品質(zhì)的提升，以期構(gòu)建深度課堂.

挖掘例題的方法提煉之效，實(shí)

施一題多解

在日常教學(xué)中，教會(huì)學(xué)生解答一道例題并沒有難度，但是挖掘例題的方法效能，讓學(xué)生通過解決一道例題來掌握一種好的思維方法，獲得一種有效的思維策略卻并非易事. 事實(shí)上，例題、習(xí)題的解答過程也是學(xué)生知識建構(gòu)的過程，在解答的過程中思考得越深入，學(xué)生的收獲就越豐富. 一題多解就是帶領(lǐng)學(xué)生從多角度、多方位思考問題，以探求多種不同的解法，豐富學(xué)生解題策略的一種行之有效的訓(xùn)練方式. 通過這樣的訓(xùn)練，教師可以開闊學(xué)生的思路，深化學(xué)生對通性通法的認(rèn)識，以達(dá)到提煉方法的目的.

例1 如圖1，已知Rt△ABC中，直角邊AC=6，BC=8，將直角邊AC沿著AD折疊，使其落于斜邊AB上，且點(diǎn)C落于點(diǎn)E處，試求出CD的長.

解法1（勾股定理）：設(shè)CD=x，根據(jù)折疊可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，則有DB=8-x. 在Rt△BDE中，BE=4，根據(jù)勾股定理可得x2+42=（8-x）2，進(jìn)一步解得x=3，故CD的長是3.

解法2（等積法）：設(shè)CD=x，根據(jù)折疊可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，則有DB=8-x. 又由S=AC·BD=AB·DE，得到方程6（8-x）=10x，進(jìn)一步解得x=3，故CD的長是3.

解法3（相似三角形）：設(shè)CD=x，根據(jù)折疊可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，則有DB=8-x. 又由△BED∽△BCA，推出=，得到方程=，進(jìn)一步解得x=3，故CD的長是3.

評注 ?上面例題的三種解法各有優(yōu)勢. 事實(shí)上這三種解法構(gòu)成了解決該類問題的主要解題策略. 在實(shí)施一題多解之后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思例題，梳理每種解法的思路并加以提煉，對比不同的解法，使學(xué)生體會(huì)每種解法的特征及優(yōu)劣性，深化對問題本質(zhì)的理解，使例題的價(jià)值發(fā)揮到極致. 此處需要注意的是，在挖掘例題價(jià)值實(shí)施一題多解時(shí)，切不可為多解而多解，有些解法僅僅是形式上稍有區(qū)別，并非不同的解法. 倘若僅僅是關(guān)注數(shù)量，而不對每種解法展開深入探討，這樣的一題多解活動(dòng)顯然是事倍功半的.

挖掘例題的撥亂反正之效，實(shí)

施一題多變

一題多變，就是從原題出發(fā)，有技巧地改變其條件或問題，得出一個(gè)與原題相似卻又具有價(jià)值的新問題，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，促進(jìn)其思維生長. 這就需要教師多番研究平時(shí)訓(xùn)練中學(xué)生易錯(cuò)及思路模糊的一些例題，想方設(shè)法地實(shí)施一題多變，以暴露學(xué)生的錯(cuò)誤，再通過師生互動(dòng)和生生交流達(dá)到充分糾錯(cuò)的目的. 這樣一來，即可通過挖掘例題的撥亂反正之效來發(fā)揮例題的價(jià)值.

例2 南城與北城間相距300 km，A車和B車同時(shí)從南城駛出開往北城，A車達(dá)到北城后立刻折返. 圖2是A、B兩車離南城的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）間的函數(shù)圖像.

（1）試求出A車在行駛中y與x間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)兩車行駛了h時(shí)，A、B兩車相遇，試求出B車的速度.

變題：南城與北城間相距300 km，A車和B車分別從兩城同時(shí)出發(fā)相向而行，且A車達(dá)到北城后立刻折返. 圖2是A、B兩車離各自駛出地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）間的函數(shù)圖像.

（1）試求出A車離出發(fā)地的距離y與x間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

（2）當(dāng)兩車行駛至與各自出發(fā)地距離相等時(shí)花費(fèi)了h，試求出B車離出發(fā)地的距離y與x間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍;

（3）基于（2）的前提之下，求出A，B兩車在行駛中相遇的時(shí)間;

（4）重新設(shè)計(jì)并作出本題的函數(shù)圖像，使得圖像交點(diǎn)表示A、B兩車相遇.

評注 ?為了突破學(xué)生解題時(shí)的思維障礙，教師需要了解學(xué)生的解題思維. 事實(shí)上，不同的學(xué)生有著不同的思維特征，教師只有清楚地了解其具體的解題思維障礙才能“對癥下藥”. 因此，筆者從例2出發(fā)，將變式題與學(xué)生的思維相溝通，引導(dǎo)學(xué)生去解答、闡述和探討，充分暴露自身思維中的問題，就這樣，通過變中有不變的訓(xùn)練，讓學(xué)生體會(huì)相同的問題情境可以利用不同的函數(shù)圖像進(jìn)行表示，相反地，相同的函數(shù)圖像亦可表示不同的問題情境，從而幫助學(xué)生克服思維定式，跳出題海，形成一次函數(shù)圖像應(yīng)用問題的解題思維.

挖掘例題的深化思維之效，實(shí)

施“例題鏈”

在課堂教學(xué)中，“問題鏈”教學(xué)是教師常用的教學(xué)方法，即通過序列問題，螺旋上升地實(shí)施教學(xué)，以達(dá)到深化教學(xué)和培養(yǎng)能力的目的. 例題教學(xué)中，教師可以基于學(xué)生實(shí)際和教材本身，充分挖掘例題深化思維的效能編制“例題鏈”，通過層層深入的序列例題來拓寬學(xué)生的思路，提升學(xué)生的自主探究能力，逐步擴(kuò)充學(xué)生的知識面，實(shí)現(xiàn)深度課堂的構(gòu)建.

例3 如圖3，小兔哈尼站在河邊的B點(diǎn)處，打算先去河邊喝水，再去A點(diǎn)處進(jìn)食，請你給哈尼規(guī)劃一條跑動(dòng)路程最短的路線. （水平直線l表示河岸邊）

拓展1：如圖4，小兔哈尼的窩在P點(diǎn)處，打算先去河邊AC喝水，再去路邊BC進(jìn)食，最后回到窩中，請你給哈尼規(guī)劃一條跑動(dòng)路程最短的路線. （河岸邊和路邊均為直線，且路邊各處布滿小兔可食之物）

拓展2：如圖5，在△ABC的區(qū)域內(nèi)，小兔哈尼從路邊AB上的P點(diǎn)出發(fā)，打算先去河邊AC喝水，再去路邊BC進(jìn)食，最后回到P點(diǎn)繼續(xù)休息，請你幫哈尼找出最合適的點(diǎn)P的位置以及規(guī)劃一條跑動(dòng)路程最短的路線. （河岸邊和路邊均為直線，且路邊各處布滿小兔可食之物）

評注 ?深化學(xué)生的思維，應(yīng)是教師教學(xué)活動(dòng)中的重要組成部分，而通過“例題鏈”的訓(xùn)練誘導(dǎo)學(xué)生實(shí)施深化思維的訓(xùn)練，對拓寬和延伸學(xué)生思維均能起到重要作用. 本例中，教師首先將教學(xué)定位于一個(gè)簡單的“單動(dòng)點(diǎn)的最短距離”問題，這樣的低起點(diǎn)容易激發(fā)學(xué)生的探究欲，使學(xué)生聚焦問題，積極思考;接著進(jìn)一步過渡到“雙動(dòng)點(diǎn)的最短距離”問題，對學(xué)生提出更高的奮斗目標(biāo)，讓學(xué)生產(chǎn)生一種“跳一跳，摘桃子”的感覺;最后再進(jìn)一步地提升問題的難度，進(jìn)入“三動(dòng)點(diǎn)的最短距離”問題，此時(shí)學(xué)生的思維已十分活躍，可以順暢地解決問題. 由此，整個(gè)解題過程達(dá)到了較高的立意. 在整個(gè)探究過程中，教師的“例題鏈”基于思維，學(xué)生的探究圍繞思維，學(xué)生在親自實(shí)踐的過程中獲得了建模和化歸的數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)了思維的縱深.

總之，在例題教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘例題的內(nèi)涵，唯有將“一題多解”“一題多變”“例題鏈”的主線一以貫之，方能讓學(xué)生跳出題海，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)扎實(shí)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和精湛的數(shù)學(xué)解題能力，提升對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知，構(gòu)建深度課堂.

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