連元坤

[摘 ?要] 在不同的背景之下，對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對(duì)應(yīng)著不同的教學(xué)實(shí)踐行為. 對(duì)核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當(dāng)包括這樣兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)指向高階思維的發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征. 思維的多向性是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要抓手.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;思維培養(yǎng)

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題. 對(duì)于數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，歷來受到數(shù)學(xué)教學(xué)研究者以及教師的重視，普遍認(rèn)同的一個(gè)觀點(diǎn)就是：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，最為重要的一部分就是培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，當(dāng)學(xué)生擁有良好的數(shù)學(xué)思維后，學(xué)生往往能夠更好地運(yùn)用自己的知識(shí)儲(chǔ)備進(jìn)行有效的遷移，解決在練習(xí)過程中的問題. 需要注意的是，在不同的背景之下，對(duì)數(shù)學(xué)思維的理解是有所不同的，而不同的理解往往對(duì)應(yīng)著不同的教學(xué)實(shí)踐行為：在追求數(shù)學(xué)知識(shí)價(jià)值的時(shí)代，數(shù)學(xué)思維服務(wù)于學(xué)生知識(shí)的建構(gòu);在追求數(shù)學(xué)思想和方法的價(jià)值的時(shí)代，數(shù)學(xué)思維起著支撐學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想和方法的作用;在課程改革中，數(shù)學(xué)思維又與數(shù)學(xué)思想和方法一起，被包括在三維目標(biāo)中. 當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，追求核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那么在核心素養(yǎng)的背景之下，數(shù)學(xué)思維又應(yīng)當(dāng)如何理解呢？數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)又應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行呢？對(duì)這些問題的回答，筆者在實(shí)踐中進(jìn)行了探究. 現(xiàn)以人教版“三角形的穩(wěn)定性”的教學(xué)為例，略談筆者的一些思索.

核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)思維的

理解

從核心素養(yǎng)的表述來看，其中強(qiáng)調(diào)的關(guān)鍵能力離不開具體的思維支撐，因此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就是為關(guān)鍵能力的形成打基礎(chǔ);從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表述來看，六個(gè)要素中與數(shù)學(xué)思維關(guān)系最為直接的，當(dāng)屬邏輯推理，一個(gè)基于嚴(yán)密數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推理的過程，必然是數(shù)學(xué)思維的過程. 但實(shí)際上其他的要素與數(shù)學(xué)思維也密切相關(guān)，比如說離開了數(shù)學(xué)思維就談不上數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)抽象的關(guān)鍵在于剝離實(shí)際事物中的非數(shù)學(xué)因素，這就需要判斷什么樣的因素是數(shù)學(xué)因素，什么樣的因素是非數(shù)學(xué)因素，這顯然是數(shù)學(xué)思維的結(jié)果. 反之，如果沒有數(shù)學(xué)思維，那么數(shù)學(xué)抽象就很難獲得成功. 具體來說，對(duì)核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)思維的理解，應(yīng)當(dāng)包括這樣兩個(gè)方面：

一是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”. 思維是一個(gè)廣泛的概念，在任何學(xué)科中都能談及思維，因此數(shù)學(xué)思維實(shí)際上是思維的一個(gè)下位概念. 在數(shù)學(xué)學(xué)科的視野下理解思維，也就是所謂的數(shù)學(xué)思維，首先必須強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)就是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)的思維”，數(shù)學(xué)思維是隸屬于數(shù)學(xué)的. 當(dāng)學(xué)生開始鍛煉數(shù)學(xué)思維的時(shí)候，意味著是帶著數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)工具去鍛煉思維的.

比如“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)，從生活的角度來看，“穩(wěn)定性”有“固定”的意思，而從數(shù)學(xué)的角度來看，穩(wěn)定性則是指“三角形的邊長、內(nèi)角是固定的值”. 盡管兩個(gè)理解中都有“固定”的內(nèi)涵，但唯有從邊長、內(nèi)角大小等角度去界定，這才是真正的以“數(shù)量”去描述“圖形”，是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，彰顯著數(shù)學(xué)思維的價(jià)值.

二是數(shù)學(xué)思維是“數(shù)學(xué)地思維”. 如果說“數(shù)學(xué)的思維”是一個(gè)靜態(tài)的概念的話，那么“數(shù)學(xué)地思維”就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的概念. “數(shù)學(xué)地思維”與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系在于其是對(duì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察事物，用數(shù)學(xué)的邏輯判斷事物，用數(shù)學(xué)的語言描述事物”的高度概括，意味著學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中有觀察、判斷和描述的動(dòng)態(tài)需要，意味著學(xué)生是伴隨著這些過程完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的.

比如，“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)中，給學(xué)生提供生活中的一些三角形圖形（如圖1），要讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思維”，就必須讓他們?cè)凇盀槭裁捶苛阂O(shè)計(jì)成這個(gè)形狀”這一問題的驅(qū)動(dòng)之下進(jìn)行思考. 只有這樣學(xué)生才會(huì)有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐评?，最后用語言來描述. 這樣的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程就是“數(shù)學(xué)地思維”過程，學(xué)生的思維能力可以在這樣的過程中得到充分的培養(yǎng).

基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)

既然當(dāng)前教育的大背景是培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，那對(duì)于初中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，就要在這樣的背景之下去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 考慮到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、提升學(xué)科素養(yǎng)的主要載體，那么教師所設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)指向高階思維的發(fā)展（學(xué)生思維能力培養(yǎng)的標(biāo)志，就是從低階思維走向高階思維）. 在目標(biāo)設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出關(guān)鍵能力導(dǎo)向，在內(nèi)容設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出問題任務(wù)導(dǎo)向，在過程設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出主體實(shí)踐導(dǎo)向，在評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的時(shí)候要突出批判反思導(dǎo)向. 只要滿足了這些條件，那么學(xué)生在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中就能夠投入高階的學(xué)習(xí)活動(dòng)，進(jìn)而經(jīng)歷鍛煉高階思維的過程，最終發(fā)展高階思維能力.

例如，在“三角形的穩(wěn)定性”這一知識(shí)的教學(xué)中，筆者在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)的時(shí)候，就特別強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生通過有效的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理，得出三角形具有穩(wěn)定性”這一目標(biāo)，因?yàn)樵诠P者看來，只有明確了這兩個(gè)要素（實(shí)際上當(dāng)學(xué)生得出三角形具有穩(wěn)定性這一認(rèn)識(shí)之后，數(shù)學(xué)建模這一要素也得到了體現(xiàn)），才能讓學(xué)生帶著數(shù)學(xué)意識(shí)去鍛煉思維.

而在具體的內(nèi)容設(shè)計(jì)與過程設(shè)計(jì)中，筆者重點(diǎn)設(shè)計(jì)了一個(gè)充滿對(duì)比性的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程. 也就是分別讓學(xué)生用準(zhǔn)備好的學(xué)具（若干根可以連接的木片），然后分別去組成三角形、四邊形、五邊形等，再分別去扭動(dòng)，看它們的形狀是否發(fā)生改變. 通過學(xué)生的體驗(yàn)與比較可以發(fā)現(xiàn)，唯有三角形的形狀是不會(huì)改變的. 由于這是一個(gè)學(xué)生自己體驗(yàn)的比較過程，因此學(xué)生可以形成比較深刻的直覺性認(rèn)識(shí)，這一認(rèn)識(shí)中有一個(gè)很重要的比較思路，即促使學(xué)生思考“三角形的形狀不會(huì)改變說明了什么”. 教師此時(shí)可以順著學(xué)生的思維提出一個(gè)問題：“如果從數(shù)學(xué)的角度來看三角形的這一特征，那應(yīng)當(dāng)如何來描述？”這實(shí)際上是一個(gè)將學(xué)生的思維從一般性思維引向數(shù)學(xué)思維的過程，而在這一問題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生的思維也就更加具有數(shù)學(xué)意味，他們會(huì)思考“三角形的這種固定，如果用數(shù)學(xué)語言來描述，那么應(yīng)該如何描述？”思考過程中學(xué)生給出的答案是具有階梯性的，比如有學(xué)生剛開始認(rèn)為“只要一個(gè)圖形的邊或者角固定不變，那就說明這個(gè)圖形是穩(wěn)定的”，后來才發(fā)現(xiàn)不應(yīng)當(dāng)是“或”，而應(yīng)當(dāng)是“且”. 為了闡述這一觀點(diǎn)，學(xué)生也舉出了相應(yīng)的例子，比如平行四邊形在變化的過程中邊的長度不變，又比如說用皮筋繃成的三角形可以在角度不變的情況下改變邊的長度. 學(xué)生能夠主動(dòng)地想到這些例子來證明自己的觀點(diǎn)，就說明學(xué)生處于一個(gè)深度思維的狀態(tài)，具有了高階思維的水平，是學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力得到培養(yǎng)的實(shí)實(shí)在在的過程.

數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)要抓住基本

特征

著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞，在他的經(jīng)典著作《怎樣解題》中曾經(jīng)這樣啟發(fā)學(xué)生：解決數(shù)學(xué)問題要善于聯(lián)想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有聯(lián)系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？這樣一段通俗的表述，深刻地見識(shí)了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思維的重要價(jià)值以及具體的運(yùn)用策略. 也就是說在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要讓學(xué)生在面對(duì)新問題的時(shí)候，從已有的經(jīng)驗(yàn)中尋找蛛絲馬跡，進(jìn)行廣泛的聯(lián)系，這樣往往可以將思維的觸角伸向陌生的領(lǐng)域. 在這個(gè)過程中，筆者以為必須特別強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)一定要抓住思維的基本特征.

在眾多特征中，筆者想重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是思維的多向性. 所謂思維的多向性，就是從不同的角度思考問題，既思前因，又思后果，擴(kuò)大思路有所突破. 這種多向性具體表現(xiàn)在能自如地從一種心理運(yùn)算轉(zhuǎn)換到另一種性質(zhì)不同的心理運(yùn)算過程. 這是高階思維的根本體現(xiàn)，也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要抓手，瞄準(zhǔn)學(xué)生的思維，多向性去培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，既可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的深度，又可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有一定的廣度. 在同時(shí)滿足了深度和廣度這兩個(gè)要求之后，學(xué)生在新的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)以及新的數(shù)學(xué)問題解決過程中，往往能夠進(jìn)行更為廣泛的聯(lián)系，進(jìn)行更加深度的推理，而只要做到這一點(diǎn)，就不僅培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，也促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地.

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