陳子燁

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學中兩個最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。 教育心理學家皮亞杰所劃分的兒童認知發(fā)展階段的第三個階段是具體運算階段 （7～12歲）， 小學期間孩子們的具體運算思維一般還離不開具體事物的支持。本文以五年級數(shù)學“植樹問題”一課進行探究，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、具體化、生動化，把抽象思維化為具象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì) ，更好地做到“以數(shù)解形”和“以形助數(shù)”。

關鍵詞：轉(zhuǎn)化;認知發(fā)展;具體化;數(shù)形結(jié)合

“植樹問題” 一課是人教版五年級上冊《數(shù)學廣角》中的內(nèi)容?！爸矘鋯栴}”通常是指沿著一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數(shù)（間隔數(shù)）和植樹的棵數(shù)之間的關系也就不同。像這些課堂上難以讓學生親身去感受的生活實際問題，我們可以借助線段圖等手段讓學生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的實際問題。

（一）在學生認知基礎上設計學習活動

學生從小學一開始就會接觸數(shù)形結(jié)合的方法。一年級學習10以內(nèi)數(shù)相加減，老師就會用小棒或者其他圖案來代替數(shù)字，通過數(shù)一數(shù)擺一擺等方法學習簡單的加減法;二年級學習簡單的乘除法，老師也會借助具體物體來數(shù)一數(shù)擺一擺分一分輔助教學;三年級認識面積，老師會請來“小方格”幫助學生計算面積;四年級學習條形統(tǒng)計圖，讓學生學會使用圖形的變化表示數(shù)據(jù)的增減。學生在學齡階段的學習一直貫穿著數(shù)形結(jié)合的思想方法，因此在設計學習活動時，我們要把幾何直觀作為解決植樹問題的重要手段?！爸矘鋯栴}”中的“公共汽車站”“架設電線桿”“敲鐘問題”“設置飲水點”“鋸木頭”“項鏈上的水晶”等問題，可以引導學生借助線段圖或示意圖進行直觀理解。

（二）認知沖突，引發(fā)思考

書本例題1是“同學們在全場100m的小路一遍植樹，每隔5m栽一棵（兩端要栽），一共要栽多少棵樹？”很多同學看題后的第一想法就是“每隔5m栽一棵，也就是栽100÷5=20（棵）”，這時老師提出疑問“這個想法對嗎？我們檢驗一下。”學生帶著問題和想法去驗證，可以先用比較簡單的例子來驗證，由淺入深。

思考：20m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

20÷5=4，可以栽5棵樹。

思考：30m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

30÷5=6，可以栽6棵樹。

通過以上兩個例子，發(fā)現(xiàn)了什么？開始的想法是否正確？通過觀察和計算不難發(fā)現(xiàn)， 20÷5=4這里的4不代表4棵，而是代表4個間隔或者4份。因此原題100÷5=20中的20不代表20棵，而是代表20個間隔或者20份。通過兩個簡單的例子加以驗證，可以發(fā)現(xiàn)如果兩端都要栽樹，栽樹的棵數(shù)比間隔數(shù)要多1，從而建立起一條線段兩端都栽這類植樹問題的數(shù)學模型。

（三）逆向應用，知識遷移

學生明確題目信息“100m”是全長，“5m”是間隔長，“20”是間隔數(shù)，“21”是要栽的棵數(shù)。當題目變式為“園林工人沿一條筆直的公路一側(cè)植樹，每隔6m種一棵，一共種了36棵，從第一棵到最后一棵的距離有多遠？”學生讀題時明確這一題是已知樹的棵數(shù)求路線長度， 36棵樹也就是有35個間隔，因此總長度應該用35×6=210米。

書本例題2是“大象館和猴山相距60m。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3m。一共要栽多少棵樹？”例2是在例1的基礎上進行教學的。學生可以利用例1發(fā)現(xiàn)的規(guī)律和化歸的思想進行思考，猜測兩端不栽應該是用間隔數(shù)減1。

思考：12m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

12÷3=4，可以栽3棵樹。

思考：18m可以栽多少棵？（通過示意圖和線段圖分析）

18÷3=6，可以栽5棵樹。

通過以上兩個例子，可以驗證最初的猜想。通過示意圖和線段圖，更加直觀地呈現(xiàn)出當兩端不栽時，要栽的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。教師可根據(jù)教學情況，鼓勵學生用自己的方法探索規(guī)律，讓學生在知識遷移和轉(zhuǎn)化中學習解決問題的方法。

（四）數(shù)形結(jié)合，化曲為直

書本例題3是“張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹？”區(qū)別于例1例2在筆直的線段上植樹，這是一條首尾封閉的曲線上植樹的問題。通過前兩個例題，學生已經(jīng)有了解決這類問題的一般方法和建立數(shù)學模型的能力，引導學生先從簡單情況入手。

通過數(shù)形結(jié)合，化曲為直的方法，學生聯(lián)系已有的知識可以發(fā)現(xiàn)這種“封閉曲線”的規(guī)律，即栽樹的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)，相當于一端栽，一端不栽，從中滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。學習了3個例題后，教師可引導學生借助示意圖或者線段圖將三種情況進行對比和分析，方便學生理解和記憶。教學中要強調(diào)畫圖的策略，充分運用數(shù)形結(jié)合的方法進行理解和總結(jié)。讓學生意識到養(yǎng)成畫圖的習慣是非常重要的，他們平時在解決數(shù)學問題遇到困難時，可以借助畫圖幫助理解。

（五）教學思考

新課標中強調(diào)“以學生為主體”，體現(xiàn)學生的主體性。如果教師一下子把三種情況直接總結(jié)出規(guī)律，學生可以快速區(qū)分植樹問題的是三種情況，但學生在碰到問題是只會對號入座，照葫蘆畫瓢，無法發(fā)展數(shù)學思維和解決問題的能力。生生間的合作交流是課堂的推動力，數(shù)形結(jié)合是學生構建知識的一個拐杖，讓學生從“發(fā)現(xiàn)規(guī)律”到“運用規(guī)律”，做到思維方法的真正滲透。植樹問題只能是種樹嗎？生活中路燈的安裝、上樓問題、敲鐘問題、鋸木問題等都可以運用本節(jié)課知識，拓展了知識的外延。

“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非?！比A羅庚這四句詩很好地表現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的重要性。要想在解決問題中有效地實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，首先要明確“數(shù)”與“形”的結(jié)合點。幾何圖形具有直觀具體的特點，化抽象為具象，利用幾何圖形解決問題，往往能產(chǎn)生事半功倍的效果。我們既能把“數(shù)”化為“形”去理解，也能從“形”總結(jié)“數(shù)”的規(guī)律。從“植樹問題”這一課中，我們通過把例題信息轉(zhuǎn)化成示意圖和線段圖理解了三種不同情況，也從這些圖中建立了形象的數(shù)學模型，總結(jié)出相應的計算規(guī)律。

對于小學生來說，理解和消化的過程一定要把問題具象化、簡單化。本課除了運用數(shù)形結(jié)合的方法，還巧妙地加入“歸化”思想幫助理解。從簡單的例子入手，學生容易理解，從而獲得成功的體驗，增加了學生繼續(xù)探究的動力。再通過小組合作進行問題猜測、檢驗、得出結(jié)論，逐步形成自主解決問題的能力。學生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合的方法，平常遇到難題的時候不斷嘗試、運用，從而發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的奧妙，提高數(shù)學思維能力。

本文系廣州番禺區(qū)教育規(guī)劃十三五專項課題《基于研學后教理念下小學數(shù)學“助學課堂”模式的研究》（課題編號：2018-zx269）階段性成果。

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