張浩

摘 ?要：2019年高考數(shù)學北京卷理科第20題是一道突出數(shù)學本質(zhì)、關注學生會學數(shù)學能力的創(chuàng)新題. 數(shù)學試驗和猜想是數(shù)學研究的基本方式，也是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑. 通過詳細分析此題，兼談數(shù)學試驗與猜想在數(shù)學探究中的具體應用.

關鍵詞：數(shù)學試驗;數(shù)學猜想;北京高考;壓軸題

眾所周知，近幾年的高考數(shù)學試題以立德樹人為立足點，著力于數(shù)學知識和思想方法，試題內(nèi)容突出數(shù)學學科的本質(zhì)，富有新穎的背景和呈現(xiàn)方式. 分析歷年高考數(shù)學北京卷理科壓軸題時還會發(fā)現(xiàn)，許多題目具有較深刻的高等數(shù)學背景（包括但不限于微積分、線性代數(shù)、編碼理論、組合數(shù)學等），設問新穎，區(qū)分度較高，有利于高等院校的招生和選拔.

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）明確提出，在命題中，應特別關注數(shù)學學習過程中思維品質(zhì)的形成，關注學生會學數(shù)學的能力. 對于此點要求，北京卷的壓軸題常以數(shù)列、集合、數(shù)表為背景，給出新定義或新概念，分層設問，借助實例逐步引導學生將抽象概念具象化，并證明相關結論或給出符合題目要求的答案，考查學生接受和理解新知識的能力. 研究該類型題目能幫助教師和學生感受“做”數(shù)學的魅力，激發(fā)他們對數(shù)學的興趣.

2019年高考數(shù)學北京卷理科第20題是一道壓軸題，注重對關鍵能力和核心素養(yǎng)的考查，避免繁復冗長的運算，將重點放在對以邏輯思維能力為基礎的對學生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的考查上，體現(xiàn)了中學數(shù)學教育的功能. 盡管解答此類試題沒有固定的“套路”，但仍有一些基本的探究方法. 本文借評析此題，談談數(shù)學試驗與數(shù)學猜想在數(shù)學探究中的具體應用.

一、數(shù)學試驗與數(shù)學猜想

著名數(shù)學家、教育家波利亞的《數(shù)學與猜想》中蘊涵了數(shù)學教育教學的重要思想，那就是合情推理，而數(shù)學猜想就是合情推理中最普遍、最重要的一種. 無論是歸納還是類比都包含了猜想的成分. 數(shù)學通常被看作嚴謹?shù)恼撟C科學，在壓軸題中通常會出現(xiàn)求證結論、需要論證推理這樣可靠的、無疑義的推理，但發(fā)現(xiàn)問題或發(fā)現(xiàn)新事物卻總是需要“猜想”. 從而從發(fā)現(xiàn)“證明思路”的意義上講，猜想盡管是有風險的嘗試，但它無疑是創(chuàng)造性思維產(chǎn)生的源泉. 正如波利亞所說，我們應該學習證明法，但我們也要學習猜測法.

歸納法就是一種猜想的方法，而數(shù)學歸納法是在歸納猜想的基礎上，運用嚴謹?shù)倪壿嬐评磉M行證明. 歸納法是科學家處理經(jīng)驗的方法，需要從觀察開始，從中獲得有益或有趣的事實. 對于數(shù)學來說，就是需要觀察數(shù)學對象，而最具體的對象就是例子. 本文所指的數(shù)學試驗是指包含構造數(shù)學例子或反例、發(fā)現(xiàn)或猜測例子表現(xiàn)出來的一般性質(zhì)或規(guī)律，以及驗證例子或性質(zhì)、推廣例子等的數(shù)學活動經(jīng)驗. 數(shù)學試驗是數(shù)學猜想和證明的基礎，數(shù)學的發(fā)展同樣離不開這些基本的數(shù)學活動. 數(shù)學家哈爾莫斯在其自傳中說過，數(shù)學并非一門演繹科學——那已是老生常談了. 當你試圖去證明一個定理時，你不只是羅列假設，然后開始推理，你所要做的工作應是反復試驗，不斷摸索、猜測. 你要想弄清楚事實真相，在這點上你做的就像實驗室里的技師，只是在其精確性和信息量上有些區(qū)別罷了. 偉大的數(shù)學家高斯對素數(shù)的例子做了大量的計算之后提出了素數(shù)定理的猜想，數(shù)學家?guī)炷瑺柾茝V了很多高斯的研究工作，庫默爾的發(fā)現(xiàn)并不是依賴抽象的思索，而正是依賴于特殊計算實例的不斷積累. 數(shù)學猜想也一直影響著現(xiàn)代數(shù)學的進步和發(fā)展，20世紀有希爾伯特提出的23個問題，21世紀有克雷數(shù)學研究所提出的7個千禧年大獎難題. 著名數(shù)學家麥克萊恩也曾提出應當把“直覺—探試—出錯—思索—猜想—證明”作為理解數(shù)學的過程. 因此，數(shù)學試驗與數(shù)學猜想不只用于數(shù)學解題，對數(shù)學探究及真正的數(shù)學研究也是至關重要的.

二、試題呈現(xiàn)

2019年高考數(shù)學北京卷理科第20題如下.

已知數(shù)列[an]，從中選取第[i1]項，第[i2]項，[…]，第[im]項（[i1<i2<…<im]），若[ai1<ai2<…<aim]，則稱新數(shù)列[ai1，ai2，…，aim]為[an]的長度為[m]的遞增子列. 規(guī)定：數(shù)列[an]的任意一項都是[an]的長度為[1]的遞增子列.

（1）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個長度為[4]的遞增子列;

（2）已知數(shù)列[an]的長度為[p]的遞增子列的末項的最小值為[am0]，長度為[q]的遞增子列的末項的最小值為[an0]. 若[p<q]，求證：[am0<an0];

（3）設無窮數(shù)列[an]的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等. 若[an]的長度為[s]的遞增子列末項的最小值為[2s-1]，且長度為[s]末項為[2s-1]的遞增子列恰有[2s-1]個（[s=1，2，…]），求數(shù)列[an]的通項公式.

題干給出的是形式化的定義，需要充分利用富有啟發(fā)性的例子來理解題目中的新定義，將新定義與已有的知識建立聯(lián)系，利用數(shù)學試驗和猜想來幫助求解或求證：通過多舉例子或討論特殊情況，觀察例子中產(chǎn)生的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提出合理的猜想，再進行邏輯推理，最后梳理并簡化討論，用數(shù)學符號語言和邏輯語言進行陳述，整理成嚴謹?shù)淖C明.

三、第（1）小題的數(shù)學試驗

該題共有三道小題，第（1）小題給出一個例子將題干中的抽象概念具體化，讓學生自行做數(shù)學試驗. 核心概念是長度為[m]的遞增子列，長度相當于數(shù)列的項數(shù)，而遞增數(shù)列也是容易理解的，唯獨子列的概念需要學生注意. 學生需要把題目中的形式化敘述翻譯成自然語言或者更易理解的數(shù)學語言. 子列相當于從原數(shù)列中取出一部分項后按照原來的相對位置排列形成的數(shù)列. 實際上，這是分析學中的基本概念.

數(shù)學試驗：不單為求解第（1）小題，也為了深入理解新概念，可以對數(shù)列1，8，3，7，5，6，9分別給出長度為1，2，3，4，5的遞增子列，這里給出所有長度為4和5的遞增子列.

長度為4的遞增子列：1，3，5，6;1，3，5，9;1，3，6，9;1，5，6，9;3，5，6，9;1，3，7，9;

長度為5的遞增子列：1，3，5，6，9.

可以看出不存在長度大于5的遞增子列.

從這一試驗中能發(fā)現(xiàn)哪些有益的事實呢？從長度為5的遞增子列中任選4項組成一個長度為4的遞增子列，共有[C45=5]種情況. 這是因為原數(shù)列的遞增子列的遞增子列還是原數(shù)列的遞增子列，同時是原數(shù)列中恰好長度為4的遞增子列.

還可以通過思考下列幾個問題進一步理解遞增子列的概念.

（1）如何構造一個數(shù)列，使其存在長度為[m]的遞增子列？（先構造共[m]項的遞增數(shù)列，在該數(shù)列中任意位置插入其他數(shù)均可.）

（2）是否任何數(shù)列都有長度為[m m≥2]的遞增子列？（未必，遞減數(shù)列則無.）

（3）嘗試給出長度為[m]的遞減子列的定義，并對這個定義討論上述問題.（從數(shù)列[an]中選取第[i1]項，第[i2]項，[…]，第[im]項（[i1<i2<…<im]），若[ai1>][ai2>…>aim]，則稱新數(shù)列[ai1，ai2，…，aim]為[an]的長度為[m]的遞減子列. 實際上，遞增子列和遞減子列是單調(diào)子列的兩種情況.）

四、第（2）小題的數(shù)學試驗與求解

第（1）小題的例子是一個啟發(fā)性例子，在求證第（2）小題時，可以先進行這樣的數(shù)學試驗——驗證第（1）小題中的例子是否符合結論.

數(shù)學試驗：容易看出，結論對[p=1]，[q>1]的特殊情況成立. 下面對長度為4，5的遞增子列進行驗證，其余情況類似：當[p=4]時，[am0=6]，當[q=5]時，[an0=9]，顯然[am0<an0]，結論成立. 這個例子還可以進一步挖掘，長度為3的末項最小的遞增子列是1，3，5，長度為4的末項最小的遞增子列是1，3，5，6，長度為5的遞增子列只有一個1，3，5，6，9. 從第（1）小題的數(shù)學試驗中得到，從長度為5的遞增子列中任取3項，得到長度為[3]的遞增子列，其末項大于等于[5]，任取4項得到長度為4的遞增子列，其末項大于等于[6]. 而長度為5的遞增子列的末項9一定大于前三項組成的子列的末項5，而5是不小于長度為3的遞增子列的末項的最小值的，于是結論成立.

現(xiàn)在把上面的4，5替換為[p，q]，就可以得到一般的結論. 其思路是：從長度為[q]的末項最小的遞增子列中選前[p]項得到一個長度為[p]的遞增子列，得到長度為[q]的遞增子列的末項一定大于等于長度為[p]的遞增子列的末項的最小值，用數(shù)學符號語言表述如下.

設長度為[q]末項為[an0]的一個遞增子列為[aj1，][aj2，…，ajp，…，ajq=an0.]

由[p<q]，得[ajp<an0]. 因為[an]的長度為[p]的遞增子列末項的最小值為[am0]，[aj1，aj2，…，ajp]是[an]的長度為[p]的遞增子列，所以[am0≤ajp]. 所以[am0<an0]. 證畢.

該題還可以用反證法進行證明：當[p<q]時，假設[am0≥an0]. 設長度為[q]且末項的最小值為[an0]的遞增子列為[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0.] 如果[am0≥an0]，那么[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0≤][am0]，于是可以得到一個長度為[p]的遞增子列[aj1<][aj2<…<ajp]，并且[ajp<am0]. 這樣就找到了一個長度為[p]的遞增子列，且末項比[am0]小，與長度為[p]的遞增子列的末項的最小值為[am0]矛盾. 因此若[p<q]，則[am0<an0]. 證畢.

五、第（3）小題的數(shù)學試驗與猜想

對于復雜的問題，直接進行推理論證是困難的，可以把目標進行分解，以避免同時應付太多的邏輯推理. 這一小題做歸納的數(shù)學試驗.

數(shù)學試驗：從具體例子入手，討論[s=1，2，3]的情況，提出猜想，并提出分解的證明目標.

[s=1]時的條件說明該數(shù)列中最小值為1，且只有1個，這也與數(shù)列中任意兩項不相等相容.

[s=2]時，長度為2的遞增子列末項的最小值為3，且長度為2末項為3的遞增子列恰有[22-1=2]個. 比3小的正整數(shù)只有1，2，遞增子列只能為1，3或2，3. 注意不能出現(xiàn)1，2，否則長度為2的遞增子列末項的最小值為2，因此1，2，3的相對順序為2，1，3.

[s=3]時，長度為3的遞增子列末項的最小值為5，且長度為3末項為5的遞增子列恰有[23-1=4]個. 有了前面的鋪墊，已知1，3，5和2，3，5是這樣的兩個遞增子列，要想再出現(xiàn)兩個，中間必須出現(xiàn)4. 如果出現(xiàn)2，1，3，4，5，那么可以找到2，3，4這樣的長度為3的遞增子列，末項最小值比5小，不符合題意，因此4不能在3之后，因此1，2，3，4，5在數(shù)列中相對順序應該為2，1，4，3，5.

類似地，還可以考慮[s=4，5，…]，可以得到所有的正奇數(shù)都在數(shù)列中，得到下表.

數(shù)學猜想：此時，已經(jīng)能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，如2要在1前，4要在3前，可以猜測6在5前，8在7前，等等;3要在1后，5要在3后，可以猜測7在5后，9在7后，等等.

注意，這里根據(jù)幾個特例進行猜測的方法是科學研究中普遍采用的歸納法，不是數(shù)學歸納法，這是進行研究的一般思維方法. 從特例中總結出來的命題可能是正確的，也可能是錯誤的，因此這種方法通常稱為不完全歸納法. 這種由不完全歸納法提出的猜測也稱為似然猜測. 得出猜想之后，想知道它是正確還是錯誤，可以進一步做數(shù)學試驗.

考察其他特例，如果一個猜想的命題在新的例子中得到證實，那么該猜想就變得更可信了，我們對它的信心也就增強了. 經(jīng)過驗證，[s=4]時，相對順序為2，1，4，3，6，5，7，[s=5]時，相對順序為2，1，4，3，6，5，8，7，9，這使得之前得出的猜想更可信了. 于是可以猜想出這個數(shù)列為[2，1，4，3，6，5，8，7，][10，9，…]，通項公式為[an=n-1 n為偶數(shù)，且n≥2，n+1 n為奇數(shù)，且n≥1.]

觀察猜想出的這個數(shù)列，所有的正整數(shù)都在數(shù)列中，將數(shù)列的項每兩項一組進行分組：[2，1;4，3;][6，5;8，7;….]

每組中的偶數(shù)在奇數(shù)之前，并且組間的順序是[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后.

現(xiàn)在將猜想整理成欲證的斷言.

斷言1：[an]包含所有的正偶數(shù)，從而包含所有的正整數(shù).

斷言2：若[2m]是[an]中的項，則[2m]排在[2m-1]之前（[m∈N*]）.

斷言3：[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后，[m≥2]，且[m]為整數(shù).

如果這些斷言成立，根據(jù)斷言1和斷言2，所有的正整數(shù)成對出現(xiàn)，每對的前后順序為2，1;4，3;6，5;8，7;[2m，2m-1];[…].

再按照斷言3，如果這樣的數(shù)列存在，則數(shù)列[an]只能為[2，1，4，3，…，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…].

這個數(shù)列到底是否符合題意，還需要進行數(shù)學試驗——驗證.

數(shù)學試驗：很明顯，這個數(shù)列是無窮數(shù)列，各項均為正整數(shù)且任意兩項均不相等. 從首項開始，每兩項分組，前[s-1]組每組選一項，按照順序排列，第[s]組取[2s-1]可以得到長度為[s]的遞增子列末項的最小值為[2s-1]. 如果不用這種取法，長度為[s]的遞增子列末項的最小值將會超過[2s-1];前[s-1]組每組任意選一項，每組有兩種取法，因此這樣的取法共[2s-1]種，即長度為[s]末項為[2s-1]的遞增子列恰有[2s-1]個，于是驗證可知這個數(shù)列是所求數(shù)列.

若這3個斷言得到證明，則可以得出結論. 剩下的就是分步證明3個斷言. 在證明之前，先看看該如何選取證明的先后順序.

數(shù)學猜想：通過前面的試驗發(fā)現(xiàn)，根據(jù)長度為[s]的遞增數(shù)列末項最小值為[2s-1]“應該”能知道相鄰的奇數(shù)和偶數(shù)的相對位置，偶數(shù)“應該”是用來補足[2s-1]個子列的，而另外成組的順序如果變了，也“應該”會影響子列的個數(shù). 于是猜想：證明斷言2時會用到“長度為[s]的遞增數(shù)列末項最小值為[2s-1]”這個較簡單的條件，證明斷言1和斷言3可能需要用到關于子列個數(shù)的條件. 根據(jù)經(jīng)驗，與計數(shù)有關的條件涉及排列組合，也更復雜一些. 因此，接下來按照“斷言2—斷言1[—]斷言3”的順序進行證明.

斷言2的證明：

數(shù)學試驗與猜想：重溫剛才的數(shù)學試驗，討論4的位置時用的方法是試錯法：若出現(xiàn)2，1，3，4，存在長度為2末項為3的遞增子列，如1，3，后面添加4得到1，3，4，與長度為3的遞增子列的末項最小值為5矛盾. 試錯法，用數(shù)學語言表述就是反證法，這啟發(fā)我們繼續(xù)使用反證法進行證明.

證明：反證法. 假設[2m]排在[2m-1]之后. 根據(jù)已知，存在一個長度為[m]末項為[2m-1]的遞增子列. 設為[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1].

根據(jù)假設，[2m]在[2m-1]之后，

于是[2m]自然地可以添加到上面的不等式鏈，得到[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1<2m].

于是得到了一個長度為[m+1]而末項為[2m]的遞增子列，但長度為[m+1]的遞增子列的末項的最小值為[2m+1]，矛盾.

因此[2m]排在[2m-1]之前.

斷言1的證明：

數(shù)學試驗與猜想：在剛才的數(shù)學試驗中，[s=3]時，在已知相對順序為2，1，3，5的情況下必須引入4才使得子列個數(shù)與題意相符. 可以想象，如果缺少偶數(shù)，那么子列個數(shù)不夠，就會與已知產(chǎn)生矛盾. 如果正偶數(shù)[2，4，6，8，…]中的2不在數(shù)列中，那么在討論[s=2]時就可以得到矛盾;如果2在數(shù)列中，4不在，那么在討論[s=3]時就得到矛盾;可以猜想如果[2m]之前的偶數(shù)都在數(shù)列中，而[2m]不在，那么在討論[s=m+1]時會出現(xiàn)矛盾. 將這些猜想轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言并證明如下.

證明：反證法. 假設存在正偶數(shù)不在[an]中.

設[S]是所有不在[an]中的偶數(shù)，則[S?N*].

根據(jù)假設，[S≠?].

因此[S]中存在最小數(shù)，記最小數(shù)為[2m].

根據(jù)題意，[an]中包含所有奇數(shù)，其中不超過[2m+1]的數(shù)為 [1，2，3，…，2m-2，2m-1，2m+1.]

根據(jù)斷言2，[2k]排在[2k-1]之前，所以[2k]和[2k-1]不能同時出現(xiàn)在[an]的同一個遞增子列中. 所以長度為[m+1]且末項為[2m+1]的遞增子列的個數(shù)至多為[2×2×2×…×2m-1個2×1×1=2m-1<2m]. 與已知矛盾. 注意個數(shù)最多的情況為[2，1，4，3，6，5，…，2k，2k-1，…，][2m-2，2m-3，2m-1，2m+1.]

數(shù)學試驗：在這里可以再做一次試驗，用具體的例子驗證形式化的證明過程. 若[8=2×4]不在數(shù)列中，則不超過9的數(shù)為1，2，3，4，5，6，7，9. 前面知道，每一對數(shù)中相對順序是2，1;4，3;6，5;7;9. 長度為5且末項為9的遞增子列個數(shù)至多只有8個：1，3，5，7，9;2，3，5，7，9;1，4，5，7，9;2，4，5，7，9;1，3，6，7，9;2，3，6，7，9;1，4，6，7，9;2，4，6，7，9. 與[24=16]相比還少8個，這8個就是第4項為8的那些：1，3，5，8，9;2，3，5，8，9;1，4，5，8，9;2，4，5，8，9;1，3，6，8，9;2，3，6，8，9;1，4，6，8，9;2，4，6，8，9.

斷言3的證明：

數(shù)學試驗與猜想：先舉一例來啟發(fā)證明過程. 若6，5在4，3之前：[2，1，6，5，4，3，…]，則長度為3末項為5的遞增子列不存在. 注意長度為2末項為3的遞增子列是存在的：1，3;2，3，且確實是[22-1=2]個.

證明：反證法. 假設存在[m m≥2]使得[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之前，且[m]是所有滿足這種條件的最小數(shù)，即[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，2m-5，][2m，2m-1，…，2m-2，2m-3，….]

考慮[an]的長度為[m]且末項為[2m-1]的遞增子列：要想得到這樣的子列，需要從[2，1，4，3，6，][5，…，2m-4，2m-5]得到長度為[m-1]的遞增子列，同前面取法一樣，兩兩一組，每組任取一個，取到[2m-4，2m-5]時只能取[m-2]項，從[2，1，4，3，][6，5，…，2m-4，2m-5]中得到的長度最長的遞增子列只有[m-2]項，因此不存在長度為[m]且末項為[2m-1]的遞增子列，與題意矛盾.

或者還可以這樣導出矛盾：由假設可知[an]的長度為[m+1]且末項為[2m+1]的遞增子列的個數(shù)小于[2m]，因為只有當這些數(shù)排成[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，][2m-5，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…]時，長度為[m+1]且末項為[2m+1]的遞增子列的個數(shù)才能為[2m].

三個斷言證畢，綜上可得結論：符合條件的數(shù)列[an]是唯一的，[an=n-1 n為偶數(shù)，且n≥2，n+1 n為奇數(shù)，且n≥1.] 該數(shù)列是由兩個遞增數(shù)列[1，3，5，7，9，…]和[2，4，6，8，][10，…]穿插得到的.

六、評述

需要指出的是，當猜想出數(shù)列的通項后，如果使用數(shù)學歸納法，說清歸納的起始步驟[a1=2，a2=1]是不容易的. 根據(jù)題中[s=2]的條件，只能知道2在1之前，但不清楚是否有其他數(shù)在[2]之前，也不清楚[2]和[1]之間是否有其他數(shù). 要想說明[2]是首項必須說清楚其他數(shù)不能在[2]之前，想當然地認為[a1=2，a2=1]成立是不正確的.

在參考答案中，關于驗證只有一句話：“經(jīng)驗證，數(shù)列[2，1，4，3，…，2m-3，2m，2m-1，…]符合條件.”盡管只有一句話，但驗證的過程是必要的. 一般地，根據(jù)題意求出的是必要條件，需要通過驗證來得到這是充分條件. 用邏輯化的方式表達：設所有滿足題意的數(shù)列的集合為[S]，從已知求得的數(shù)列的集合為[T]，由題意得到[T=an]，已知[S?T]，要想使[S=T]，還要證明[T?S]，也就是驗證數(shù)列滿足題意即可，并且這也說明了符合題意的數(shù)列是唯一的.

下面用一個更淺顯的例子來說明這一現(xiàn)象. 由[a2=4，a>0]可推出[a>1]. [a>1]是[a2=4，a>0]的必要條件，但[a>1]無法推出[a2=4]，即[a>1]不是[a2=4，a>0]的充分條件. 若問題是“已知[a2=4，a>0]，求[a]的范圍”. 顯然答案應該不是[a2=4，a>0]的這個必要條件[a>1]，而是一個充分必要條件[a=2].

如果將這道壓軸題第（3）小題的設問改為“給出一個符合條件的數(shù)列并說明理由”，實際上不需要證明前面所述的斷言1、斷言2、斷言3，提出猜想之后只需驗證滿足條件即可，這樣會降低試題的難度. 因為這相當于給出充分條件即可，而該題要求的答案為“充分必要條件”.

在壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的子列這一概念，也是命題評價在高中與大學銜接方面的嘗試. 數(shù)列的子列這一概念非?；?，在數(shù)學分析中討論無窮數(shù)列的斂散性和函數(shù)極限時起了關鍵作用，并且與數(shù)列的上、下極限密切相關，是分析學中的基本工具. 這里列舉幾條與無窮數(shù)列的子列有關的結論：收斂數(shù)列的每一個子列都收斂于同一極限;存在發(fā)散子列的數(shù)列一定發(fā)散;若存在兩個收斂于不同極限的子列，則該數(shù)列發(fā)散;單調(diào)數(shù)列收斂的充分必要條件是存在一個收斂子列;數(shù)列收斂的充分必要條件是奇數(shù)項子列和偶數(shù)項子列收斂到同一極限;數(shù)列有界則一定存在收斂子列;數(shù)列有界的充分必要條件是它的每一個子列都有收斂子列;數(shù)列無界則存在子列為無窮大量;每個數(shù)列都有單調(diào)子列等.

根據(jù)筆者的了解，北京卷壓軸題在中學課堂上進行講授的情況還不多，希望本文的數(shù)學試驗與猜想能在更多的課堂教學中看到，希望更多的學生自主進行數(shù)學試驗與猜想，掌握基本而重要的學習新數(shù)學知識的能力. 畢竟作為教師，需要教給學生如何學習未知的知識.

最后，將數(shù)學家哈爾莫斯的一段話送給廣大教師：我們給未來的工程師、物理學家、生物學家、心理學家、經(jīng)濟學家，還有數(shù)學家教數(shù)學. 如果我們只教會他們解課本中的習題，那不等他們畢業(yè)，他們受到的教育便過時了. 即使從粗糙而世俗的工商業(yè)觀點來看，我們的學生也得準備回答未來的問題，甚至在我們課堂上從未問過的問題. 只教他們已為人們所知的一切東西是不夠的——他們也必須知道如何去發(fā)現(xiàn)尚未被發(fā)現(xiàn)的東西.

參考文獻：

[1]王雅琪，綦春霞. 突出新時代特色打造綠色數(shù)學高考新形態(tài)：2019年高考數(shù)學北京卷特點分析[J]. 數(shù)學通報，2019，58（10）：44-46，49.

[2]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]波利亞. 數(shù)學與猜想：數(shù)學中的歸納和類比[M]. 李心燦，譯. 北京：科學出版社，2001.

[4]保羅·哈爾莫斯. 我要作數(shù)學家[M]. 馬元德，沈永歡，胡作玄，等譯. 南昌：江西教育出版社，1999.

[5]SAUNDERS MACLANE. Responses to Theoretical Mathematics[J]. Bulletin of the American Mathematics Society，1994（2）：178-207.

[6]謝惠民. 數(shù)學分析習題課講義（上冊）[M]. 北京：高等教育出版社，2003.

3708500338257