劉代平

【摘要】在高考數(shù)學中，對于二次函數(shù)相關知識的考查越來越多，許多高考壓軸題都是關于二次函數(shù)的問題，在全國新課標Ⅱ卷中，對于二次函數(shù)的考查內(nèi)容也非常多，所以二次函數(shù)的學習對于高考有著非常重要的意義，因此本文就二次函數(shù)在高考壓軸題中的應用進行了一定的研究.

【關鍵詞】二次函數(shù)；高考；壓軸題

在高中數(shù)學中，函數(shù)是一個非常重要的內(nèi)容，在近些年的高考中，函數(shù)綜合性問題常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，而且考查的方式也較為靈活，而二次函數(shù)作為函數(shù)中的一個重要內(nèi)容，它與不等式、解析幾何、數(shù)列及復數(shù)等都有著密切的聯(lián)系，所以對二次函數(shù)在高考壓軸題中的應用進行研究有著非常重要的意義.

一、高考數(shù)學試題分析

本文主要針對近兩年高考新課標Ⅱ卷的數(shù)學試題進行分析，通過對于高考試卷的解析來探求二次函數(shù)在高考數(shù)學中的具體應用.以2015年文科試卷第15題為例，題目如下：

例1已知雙曲線過點（4，3），且漸近線方程為y=±12x，求該雙曲線的標準方程.

這道題目實質(zhì)上是考查的解析幾何的知識，但是我們知道雙曲線標準方程實質(zhì)上也是一個二次函數(shù)，所以該題目實質(zhì)上也考查了二次函數(shù)的相關知識.在解答這道題目的過程中，不妨先判斷雙曲線焦點的位置，因為雙曲線過點（4，3），而點（4，3）又在漸近線y=12x的下方，所以可以判斷雙曲線的焦點是位于x軸上的，這時可以設雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1，其中a，b均大于零，那么該雙曲線所對應的漸近線方程就應該為y=±bax，由已知條件可知ba=12，然后再將點（4，3）的坐標代入所設的標準方程，不難得到16a2-3b2=1，再由ba=12可以解得a=2，b=1，最終求得該雙曲線的標準方程為x24-y2=1.這道題目對于解析幾何的相關知識進行了考查，但是所考查的內(nèi)容較為基礎，所以在高考數(shù)學中，必須要注重對于基礎知識的掌握和應用.

例2設函數(shù)f（x）=emx+x2-mx.（1）證明f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（2）若對于任意的x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍.

這道題目考查函數(shù)的單調(diào)性和最值的應用，其中第一道題目相對較為基礎，而第二道題目則有一定的難度.從題目的已知條件中不難發(fā)現(xiàn)所給函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），第一個問題中是要對函數(shù)的單調(diào)性加以證明，這時不難聯(lián)想到導函數(shù)，所以不妨求出其導函數(shù)f′（x）=m（emx-1）+2x，接下來要判定導函數(shù)的符號，而在導函數(shù)中有參數(shù)m和變量x存在，所以需要對其進行分類討論，首先如果m≥0，在x∈（0，+∞）時，有emx-1≥0，2x>0，這時f（x）′>0；而當x∈（-∞，0）時，emx-1≤0，2x<0，這時f（x）′<0；如果m<0，在x∈（0，+∞）時，emx-1<0，2x>0，這時f（x）′>0，而當x∈（-∞，0）時，emx-1>0，2x<0，這時f（x）′<0.因此函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是單調(diào)遞減的，在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)遞增的.通過對于第一個問題的解答，可以指導對于任意的m，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上都是單調(diào)遞減的，在區(qū)間[0，1]上都是單調(diào)遞增的，所以不難發(fā)現(xiàn)在區(qū)間[-1，1]上，函數(shù)f（x）的最小值為f（0），那么不難得到f（1）-f（0）≤e-1且f（-1）-f（0）≤e-1，即em-m≤e-1，e-m+m≤e-1. 這時不妨構造函數(shù)g（t）=et-t-e+1，不難求得函數(shù)g（t）的導函數(shù)g（t）′=et-1，所以在t<0時，g（t）′<0；在t>0時，g（t）′>0，所以函數(shù)g（t）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增.又因為g（1）=0，g（-1）=e-1+2-e<0，這時em-m≤e-1，e-m+m≤e-1 是成立的，而當m>1時，g（m）>0，即em-m>e-1，而當m<-1時，g（-m）>0，即em-m>e-1，所以m的取值范圍為[-1，1].這道題目對于導函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的相關知識進行了考查，同時在解題的過程中還需要構造輔助函數(shù)，這就要求學生要靈活地掌握和應用二次函數(shù)的相關知識.

二、二次函數(shù)復習建議

（一）夯實基礎，活用教材

在進行二次函數(shù)相關知識的復習時，首先要抓住教材，對于教材中的基礎知識一定要掌握牢靠，對于教材中所涉及的二次函數(shù)知識及一些常規(guī)的解題思路要全面地了解和掌握.

（二）注重數(shù)形結合

由于二次函數(shù)與解析幾何有著密不可分的關系，所以在對二次函數(shù)的相關知識進行復習時，可以借助于函數(shù)圖像，將函數(shù)與圖像結合在一起.在解答有關常見二次函數(shù)的問題時，學生應該養(yǎng)成畫函數(shù)圖像的習慣，通過函數(shù)圖像可以先對函數(shù)的性質(zhì)及特征有一個初步的認識，雖然這種認識是感性上的，但是再通過理性的分析，就能夠有效地對問題加以解決，所以數(shù)形結合是一種非常重要的解答二元函數(shù)相關問題的思想方法.

三、結語

近些年來，隨著新課程改革的進一步深入，許多高考壓軸題目都是與二次函數(shù)相關的.通過對近些年來全國新課標Ⅱ卷數(shù)學試題的研究，筆者發(fā)現(xiàn)試卷中二次函數(shù)相關知識所占的比重也越來越大，所以必須在復習的過程中對二次函數(shù)的相關知識引起足夠的重視，通過有效的方式來進行二次函數(shù)相關知識的復習，從而在高考中取得較好的成績.