摘 要：數(shù)學(xué)問(wèn)題解決是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的有效途徑，也是增強(qiáng)學(xué)生學(xué)以致用意識(shí)的重要目標(biāo)。實(shí)踐中，作者結(jié)合“行程問(wèn)題”，指導(dǎo)學(xué)生掌握問(wèn)題解決的一般思路，使他們?cè)趩?wèn)題解決中提高數(shù)學(xué)推理、邏輯思維等綜合能力。文章通過(guò)對(duì)學(xué)生展開(kāi)“行程問(wèn)題”的測(cè)試分析，梳理問(wèn)題解決存在的共性問(wèn)題，探究其成因，提出改進(jìn)教學(xué)的策略和建議。

關(guān)鍵詞：小學(xué)高年級(jí);數(shù)學(xué)課程;問(wèn)題解決能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2095-624X（2021）52-0067-03

作者簡(jiǎn)介：吳志遠(yuǎn)（1990.3—），男，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)，中小學(xué)二級(jí)教師，本科學(xué)歷。

引 言

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決考查的是學(xué)生創(chuàng)造性地利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)課程具有邏輯性、抽象性的特點(diǎn)。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要深入領(lǐng)會(huì)題意，抓住問(wèn)題表征，轉(zhuǎn)換解題思路。面對(duì)不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，小學(xué)生需要掌握畫(huà)圖、轉(zhuǎn)化、替換、數(shù)形結(jié)合等解題策略?！靶谐虇?wèn)題”題型多樣，是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)。筆者結(jié)合高年級(jí)數(shù)學(xué)的“行程問(wèn)題”，從問(wèn)題解決的教學(xué)中，提煉和梳理解題的方法和技巧，使學(xué)生能夠從問(wèn)題解決中，拓展數(shù)學(xué)邏輯思維，提高問(wèn)題解決能力。

一、對(duì)“行程問(wèn)題”測(cè)試結(jié)果的分析

“行程問(wèn)題”的測(cè)試，旨在調(diào)查學(xué)生面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)出現(xiàn)的常見(jiàn)錯(cuò)誤，為教師改進(jìn)教學(xué)策略提供參考依據(jù)。筆者在本次測(cè)試中發(fā)放問(wèn)卷50份，回收有效問(wèn)卷47份，有效率為94%。測(cè)試結(jié)果基本能夠包含學(xué)生在面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的大部分情況。

（一）測(cè)試題型分析

在本次“行程問(wèn)題”測(cè)試中，筆者專門(mén)選取多種題型，以便了解學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤。第一題，典型的相遇問(wèn)題。該題給出速度、時(shí)間，求解路程，主要考查學(xué)生對(duì)“行程問(wèn)題”的基本掌握情況。第二題，環(huán)形跑道問(wèn)題。該題將傳統(tǒng)的直線追趕，轉(zhuǎn)換為環(huán)形跑道，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)變式的理解。第三題，沒(méi)有路程，只給速度，求相遇時(shí)間。該題著重考查學(xué)生的審題、讀題能力，要求學(xué)生在題目中找出等量關(guān)系。第四題，不同時(shí)出發(fā)問(wèn)題，即給出總路程、各自速度，著重考查學(xué)生的分析問(wèn)題能力。第五題，給出總路程、時(shí)間，求某一速度。該題考查學(xué)生運(yùn)用方程來(lái)解決問(wèn)題的能力。第六題，未相遇問(wèn)題。該題難度較高，著重考查學(xué)生分析題意和提煉等量關(guān)系的能力。第七題，追擊問(wèn)題。題目難度更大，在同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)某一時(shí)間，給出距離，求解該段時(shí)間。該題考查學(xué)生能否引入線段圖來(lái)分析題意，找出等量關(guān)系。

（二）常見(jiàn)錯(cuò)誤類(lèi)型分析

在本次測(cè)試中，筆者對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行了整理分析?？偟膩?lái)說(shuō)，第一題，出錯(cuò)人數(shù)為14人，出錯(cuò)率為29.79%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，找不準(zhǔn)等量關(guān)系，解題格式不規(guī)范等。第二題，出錯(cuò)人數(shù)為15人，出錯(cuò)率為31.91%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生對(duì)環(huán)形跑道理解不當(dāng)，找不出等量關(guān)系，計(jì)算錯(cuò)誤，對(duì)速度的倍數(shù)關(guān)系理解錯(cuò)誤等。第三題，出錯(cuò)人數(shù)為12人，出錯(cuò)率為25.53%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生列不出等量關(guān)系，對(duì)速度求解錯(cuò)誤，忘記速度乘時(shí)間等于路程，對(duì)題目中的路線不明晰等。第四題，出錯(cuò)人數(shù)為26人，出錯(cuò)率為55.32%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，對(duì)“慢車(chē)先出發(fā)1小時(shí)”理解不清，解題錯(cuò)誤等。第五題，出錯(cuò)人數(shù)為34人，出錯(cuò)率為72.34%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生使用數(shù)據(jù)單位不統(tǒng)一，對(duì)速度求解不正確，題意不明晰，找不出等量關(guān)系等。第六題，出錯(cuò)人數(shù)為27人，出錯(cuò)率為57.45%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生對(duì)“相距121千米”不理解，對(duì)行車(chē)路線搞混，未能辨析路程、速度、時(shí)間三種關(guān)系，沒(méi)有理清解題思路等。第七題，出錯(cuò)人數(shù)為39人，出錯(cuò)率為82.98%。錯(cuò)誤表現(xiàn)：學(xué)生找不準(zhǔn)等量關(guān)系，不清楚行車(chē)路線，不理解追擊問(wèn)題，解題思路不清晰等。

二、造成“行程問(wèn)題”解題錯(cuò)誤的成因歸納

從小學(xué)生“行程問(wèn)題”測(cè)試結(jié)果來(lái)看，造成學(xué)生解題錯(cuò)誤的原因很多，與教師、學(xué)生都有關(guān)系。

（一）教師方面

在“行程問(wèn)題”教學(xué)中，教師自身存在一些誤解，部分教師將“問(wèn)題解決”歸結(jié)為解數(shù)學(xué)題，要求學(xué)生熟記公式、定律，多做題，多訓(xùn)練，提高解題速度和正確率。但教師死記硬背式的教學(xué)思路，導(dǎo)致學(xué)生并不能真正理解題目[1]。同時(shí)，“行程問(wèn)題”變式形式多樣，有相遇問(wèn)題、追擊問(wèn)題，還有背向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題等，有直線運(yùn)動(dòng)，還有環(huán)形運(yùn)動(dòng)?；A(chǔ)較差的學(xué)生，對(duì)基本的路程與速度、時(shí)間的等量關(guān)系理解不清楚，缺乏靈活應(yīng)用的能力。在分析題意時(shí)，學(xué)生易犯找不出等量關(guān)系的錯(cuò)誤。例如，兩地相距240 km，兩車(chē)同時(shí)從兩端相向開(kāi)出，3 h后相遇，一車(chē)速度為38 km/h，另一車(chē)速度是多少？在解題時(shí)，部分學(xué)生將路程與速度概念混淆，得出240-38=202 km/h。部分學(xué)生在解題時(shí)，方程列式不正確，還有部分學(xué)生不會(huì)利用線段圖輔助分析題意，找不出等量關(guān)系。教師在講解基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，對(duì)“問(wèn)題解決”多停留于表層，忽視對(duì)學(xué)生的解題思路進(jìn)行啟發(fā)。這導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題感知不深，影響解題能力的提高。

（二）學(xué)生方面

在“行程問(wèn)題”測(cè)試結(jié)果的分析中，學(xué)生對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的求解錯(cuò)誤多集中在以下幾個(gè)方面。一是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，計(jì)算過(guò)程中出錯(cuò)。部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)算理、算法缺乏理解，在面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)，混淆時(shí)間、速度之間的關(guān)系，對(duì)“相遇”理解不準(zhǔn)確，甚至對(duì)兩位數(shù)乘三位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積也計(jì)算不出，存在計(jì)算錯(cuò)誤。二是學(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題缺乏經(jīng)驗(yàn)。在“行程問(wèn)題”測(cè)試中，與“相遇”相關(guān)的題意，部分學(xué)生感到陌生，理解不深刻，對(duì)問(wèn)題情境缺乏親身體驗(yàn)，影響解題思路。三是分不清等量關(guān)系。對(duì)“行程問(wèn)題”的求解，學(xué)生需要透析題意，梳理已知、未知條件，找出關(guān)鍵信息，以及隱藏信息。例如，在“兩車(chē)還相距120千米”的題中，部分學(xué)生感到困惑，不明白是相距“120”千米，還是相遇后又相距“120”千米。四是對(duì)“行程問(wèn)題”的變式理解不到位。與行程相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，涉及的變式情況較多，部分學(xué)生受思維定式的影響，總是生搬硬套來(lái)解題。對(duì)題意辨析不清，如學(xué)生對(duì)“相向”“相背”“同時(shí)”等關(guān)鍵詞理解不到位，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。五是缺乏獨(dú)立思考力。部分學(xué)生在面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)，總是依賴他人，總要將自己的解題方法與他人對(duì)照，不善于獨(dú)立解決問(wèn)題。

三、提高學(xué)生問(wèn)題解決能力的有效建議

（一）教師要善用模擬實(shí)踐方法，讓學(xué)生體會(huì)

“行程問(wèn)題”

在“行程問(wèn)題”相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的講解中，如果教師單純講解“相遇”的幾種情形，那么學(xué)生就容易混淆，理不清解題思路和解題方法。如果學(xué)生就有了直觀的體驗(yàn)，對(duì)“行程”相關(guān)的問(wèn)題就會(huì)理解得更深刻。模擬實(shí)踐法，就是以學(xué)生參與演練的方式，去創(chuàng)設(shè)“行程”問(wèn)題的情境。相遇問(wèn)題通常有三種類(lèi)型：第一種，甲、乙的速度給出，相遇時(shí)間給出，來(lái)計(jì)算甲乙相距距離。第二種，甲、乙速度給出，相距距離給出，求相遇時(shí)間。第三種，甲、乙相距距離給出，甲的速度和相遇時(shí)間給出，求乙的速度。教師可以利用多媒體，以動(dòng)態(tài)直觀的方式來(lái)呈現(xiàn)不同條件下的相遇問(wèn)題，指導(dǎo)學(xué)生理解題意，分析所遇題目屬于哪種類(lèi)型的“行程問(wèn)題”。同樣，模擬實(shí)踐教學(xué)法強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性，注重以學(xué)生體驗(yàn)“行程問(wèn)題”的方式，讓學(xué)生感知“相遇”的不同情形。例如，某題中，父子兩人郊游，爸爸讓兒子先走十步，接著爸爸再出發(fā)，爸爸走3步的時(shí)間，兒子可以走5步，爸爸走9步的距離，兒子需要走17步。問(wèn)爸爸走多少步可以追上兒子？對(duì)該題解題思路的探討，教師可以讓學(xué)生扮演父子，分別按照如上的條件來(lái)繪制父子的運(yùn)動(dòng)線路圖。在小組合作體驗(yàn)中，學(xué)生能夠?qū)Α白窊簟眴?wèn)題理解得更深刻，也有利于掌握“行程問(wèn)題”的求解方法。

（二）重視“行程問(wèn)題”概念的剖析，鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)理解力

“行程問(wèn)題”的問(wèn)題情形較多，學(xué)生對(duì)“路程、速度、時(shí)間”等概念理解存在偏差?；诖?，教師要重視基本算理、算法的講解，特別是對(duì)基本概念的剖析，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三個(gè)量的深刻認(rèn)識(shí)[2]?！靶谐虇?wèn)題”涉及的數(shù)量可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，還可以是分?jǐn)?shù);涉及的運(yùn)動(dòng)情況，可以是單個(gè)物體，可以是兩個(gè)物體，還可以是三個(gè)及以上物體;涉及的運(yùn)動(dòng)方向，可以是同向運(yùn)動(dòng)，也可以是相向運(yùn)動(dòng)，還可以是背向運(yùn)動(dòng)。面對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系，如“速度×?xí)r間=路程”“路程÷速度=時(shí)間”“路程÷時(shí)間=速度”等，教師要引導(dǎo)學(xué)生從題意剖析中找出等量關(guān)系。

例如，某題中，兩地相距570 km，有甲乙兩輛汽車(chē)，速度分別為110 km/h、80 km/h，同時(shí)相向開(kāi)出，問(wèn)幾個(gè)小時(shí)兩車(chē)相遇？對(duì)該題的講解，教師應(yīng)先指明此為“行程問(wèn)題”中的“相遇問(wèn)題”，引導(dǎo)學(xué)生找出題目中的已知條件及隱藏的關(guān)鍵信息。題目給出甲車(chē)的速度、乙車(chē)的速度，兩地的總距離。兩輛車(chē)相向而行，“相遇”的關(guān)鍵信息是“兩車(chē)共同走完了該段路程”，如圖1所示。

由此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，根據(jù)“相遇”還能夠提取哪些關(guān)鍵信息。部分學(xué)生想到“兩輛車(chē)行駛的時(shí)間是一樣的”。部分學(xué)生認(rèn)為，甲車(chē)的行駛速度、行駛時(shí)間所得的路程，與乙車(chē)的行駛速度、行駛時(shí)間所得的路程之和，正好等于這段距離。也就是說(shuō)，假設(shè)相遇時(shí)間為x，則等式方程為：110x+80x=570，求解得到x=3。在該題的求解過(guò)程中，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩輛車(chē)所行駛的距離之和正好為該段路程。這種教學(xué)方式可以使學(xué)生深刻體會(huì)“路程=速度×?xí)r間”的意義。教師通過(guò)啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，采用靈活的教學(xué)方式，能夠讓學(xué)生準(zhǔn)確把握“行程問(wèn)題”的解題要點(diǎn)。

（三）注重?cái)?shù)形結(jié)合，增強(qiáng)學(xué)生解題反思能力

教師可以對(duì)“行程問(wèn)題”展開(kāi)變式訓(xùn)練，特別是依托數(shù)形結(jié)合思想，讓抽象的“行程問(wèn)題”變得具體、簡(jiǎn)潔[3]。線段圖畫(huà)法能夠幫助學(xué)生從題意中梳理已知、未知條件，找準(zhǔn)等量關(guān)系，為正確解題提供參考。

例如，某題中，小林與小云相距4.5 km，小林騎車(chē)速度為0.25 km/min;小云騎車(chē)速度為0.2 km/min。問(wèn)兩人何時(shí)相遇？教師在分析講解該題目時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生理解“相遇”的意思。結(jié)合兩人相距的距離，兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)，正好將該距離走完，即兩人相遇時(shí)，各自所走的距離之和，等于兩人相距的4.5 km，如圖2所示。

教師以畫(huà)圖的方式，對(duì)兩人騎車(chē)相向而行的過(guò)程進(jìn)行直觀呈現(xiàn)。學(xué)生仔細(xì)觀看小林、小云的行駛時(shí)間，能夠發(fā)現(xiàn)相遇時(shí)，兩人剛好走完全程。這時(shí)，教師可以引入問(wèn)題：小林的騎車(chē)路程與小云的騎車(chē)路程之和是否等于總路程？請(qǐng)學(xué)生思考，能否求出小林的行駛路程和小云的行駛路程。部分學(xué)生認(rèn)為“不能求出”，因?yàn)椴恢浪麄兏髯孕旭偟臅r(shí)間是多少。但部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)，兩人的行駛時(shí)間是一樣的，因?yàn)槭峭瑫r(shí)出發(fā)，所以相遇時(shí)兩人所走的時(shí)間是一樣的。那么，如何列方程來(lái)求解？教師可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行小組討論，并對(duì)各組的想法進(jìn)行展示。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，在本題中，小林和小云相向而行，一分鐘后，他們共走了多少千米？如圖3所示。

學(xué)生通過(guò)思考后得到“0.25+0.2=0.45（千米）”。教師讓學(xué)生再思考，再經(jīng)過(guò)1分鐘，他們共走多少千米;第5分鐘時(shí)，他們共走多少千米;他們共走多少分鐘，才能走完0.45千米。由此得到“（小林的速度+小云的速度）×相遇時(shí)間=路程和”。通過(guò)引入線段圖的方法，教師能夠讓學(xué)生在面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的簡(jiǎn)潔美，讓其快速找準(zhǔn)等量關(guān)系，提高數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力。

結(jié) 語(yǔ)

對(duì)于“行程問(wèn)題”的探究，教師與其直接給學(xué)生解題公式，不如引領(lǐng)學(xué)生共同參與探索，特別是鼓勵(lì)學(xué)生在面對(duì)“行程問(wèn)題”時(shí)，說(shuō)出自己的想法，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑。教師要善于抓住契機(jī)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考數(shù)學(xué)的“行程問(wèn)題”，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性。教師在講解“行程問(wèn)題”時(shí)，要注意三點(diǎn)。一是聯(lián)系學(xué)生實(shí)際，讓學(xué)生親歷“相遇”情境。二是引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)關(guān)鍵信息，特別是準(zhǔn)確理解題意。三是注重?cái)?shù)形結(jié)合，利用線段圖來(lái)梳理數(shù)量關(guān)系。對(duì)于“行程問(wèn)題”，教師要注重一題多變，多總結(jié)解題方法，讓學(xué)生抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)。

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