摘 要:數(shù)學問題解決是培養(yǎng)學生數(shù)學學科素養(yǎng)的有效途徑,也是增強學生學以致用意識的重要目標。實踐中,作者結(jié)合“行程問題”,指導學生掌握問題解決的一般思路,使他們在問題解決中提高數(shù)學推理、邏輯思維等綜合能力。文章通過對學生展開“行程問題”的測試分析,梳理問題解決存在的共性問題,探究其成因,提出改進教學的策略和建議。
關(guān)鍵詞:小學高年級;數(shù)學課程;問題解決能力
中圖分類號:G427? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼:A? ? ? ? ?文章編號:2095-624X(2021)52-0067-03
作者簡介:吳志遠(1990.3—),男,江蘇省常州市武進區(qū)實驗小學,中小學二級教師,本科學歷。
引 言
數(shù)學問題解決考查的是學生創(chuàng)造性地利用數(shù)學知識解決實際問題的能力。數(shù)學課程具有邏輯性、抽象性的特點。在解決數(shù)學問題的過程中,學生需要深入領(lǐng)會題意,抓住問題表征,轉(zhuǎn)換解題思路。面對不同的數(shù)學問題,小學生需要掌握畫圖、轉(zhuǎn)化、替換、數(shù)形結(jié)合等解題策略。“行程問題”題型多樣,是小學數(shù)學教學的重難點。筆者結(jié)合高年級數(shù)學的“行程問題”,從問題解決的教學中,提煉和梳理解題的方法和技巧,使學生能夠從問題解決中,拓展數(shù)學邏輯思維,提高問題解決能力。
一、對“行程問題”測試結(jié)果的分析
“行程問題”的測試,旨在調(diào)查學生面對“行程問題”時出現(xiàn)的常見錯誤,為教師改進教學策略提供參考依據(jù)。筆者在本次測試中發(fā)放問卷50份,回收有效問卷47份,有效率為94%。測試結(jié)果基本能夠包含學生在面對“行程問題”時出現(xiàn)解題錯誤的大部分情況。
(一)測試題型分析
在本次“行程問題”測試中,筆者專門選取多種題型,以便了解學生的常見錯誤。第一題,典型的相遇問題。該題給出速度、時間,求解路程,主要考查學生對“行程問題”的基本掌握情況。第二題,環(huán)形跑道問題。該題將傳統(tǒng)的直線追趕,轉(zhuǎn)換為環(huán)形跑道,增強學生對數(shù)學變式的理解。第三題,沒有路程,只給速度,求相遇時間。該題著重考查學生的審題、讀題能力,要求學生在題目中找出等量關(guān)系。第四題,不同時出發(fā)問題,即給出總路程、各自速度,著重考查學生的分析問題能力。第五題,給出總路程、時間,求某一速度。該題考查學生運用方程來解決問題的能力。第六題,未相遇問題。該題難度較高,著重考查學生分析題意和提煉等量關(guān)系的能力。第七題,追擊問題。題目難度更大,在同時出發(fā)后,經(jīng)過某一時間,給出距離,求解該段時間。該題考查學生能否引入線段圖來分析題意,找出等量關(guān)系。
(二)常見錯誤類型分析
在本次測試中,筆者對學生出現(xiàn)的錯誤進行了整理分析??偟膩碚f,第一題,出錯人數(shù)為14人,出錯率為29.79%。錯誤表現(xiàn):學生計算錯誤,找不準等量關(guān)系,解題格式不規(guī)范等。第二題,出錯人數(shù)為15人,出錯率為31.91%。錯誤表現(xiàn):學生對環(huán)形跑道理解不當,找不出等量關(guān)系,計算錯誤,對速度的倍數(shù)關(guān)系理解錯誤等。第三題,出錯人數(shù)為12人,出錯率為25.53%。錯誤表現(xiàn):學生列不出等量關(guān)系,對速度求解錯誤,忘記速度乘時間等于路程,對題目中的路線不明晰等。第四題,出錯人數(shù)為26人,出錯率為55.32%。錯誤表現(xiàn):學生計算錯誤,對“慢車先出發(fā)1小時”理解不清,解題錯誤等。第五題,出錯人數(shù)為34人,出錯率為72.34%。錯誤表現(xiàn):學生使用數(shù)據(jù)單位不統(tǒng)一,對速度求解不正確,題意不明晰,找不出等量關(guān)系等。第六題,出錯人數(shù)為27人,出錯率為57.45%。錯誤表現(xiàn):學生對“相距121千米”不理解,對行車路線搞混,未能辨析路程、速度、時間三種關(guān)系,沒有理清解題思路等。第七題,出錯人數(shù)為39人,出錯率為82.98%。錯誤表現(xiàn):學生找不準等量關(guān)系,不清楚行車路線,不理解追擊問題,解題思路不清晰等。
二、造成“行程問題”解題錯誤的成因歸納
從小學生“行程問題”測試結(jié)果來看,造成學生解題錯誤的原因很多,與教師、學生都有關(guān)系。
(一)教師方面
在“行程問題”教學中,教師自身存在一些誤解,部分教師將“問題解決”歸結(jié)為解數(shù)學題,要求學生熟記公式、定律,多做題,多訓練,提高解題速度和正確率。但教師死記硬背式的教學思路,導致學生并不能真正理解題目[1]。同時,“行程問題”變式形式多樣,有相遇問題、追擊問題,還有背向運動問題等,有直線運動,還有環(huán)形運動?;A(chǔ)較差的學生,對基本的路程與速度、時間的等量關(guān)系理解不清楚,缺乏靈活應(yīng)用的能力。在分析題意時,學生易犯找不出等量關(guān)系的錯誤。例如,兩地相距240 km,兩車同時從兩端相向開出,3 h后相遇,一車速度為38 km/h,另一車速度是多少?在解題時,部分學生將路程與速度概念混淆,得出240-38=202 km/h。部分學生在解題時,方程列式不正確,還有部分學生不會利用線段圖輔助分析題意,找不出等量關(guān)系。教師在講解基礎(chǔ)知識點時,對“問題解決”多停留于表層,忽視對學生的解題思路進行啟發(fā)。這導致學生對數(shù)學問題感知不深,影響解題能力的提高。
(二)學生方面
在“行程問題”測試結(jié)果的分析中,學生對該類問題的求解錯誤多集中在以下幾個方面。一是數(shù)學基礎(chǔ)薄弱,計算過程中出錯。部分學生對數(shù)學算理、算法缺乏理解,在面對“行程問題”時,混淆時間、速度之間的關(guān)系,對“相遇”理解不準確,甚至對兩位數(shù)乘三位數(shù),兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積也計算不出,存在計算錯誤。二是學生對解決數(shù)學實際問題缺乏經(jīng)驗。在“行程問題”測試中,與“相遇”相關(guān)的題意,部分學生感到陌生,理解不深刻,對問題情境缺乏親身體驗,影響解題思路。三是分不清等量關(guān)系。對“行程問題”的求解,學生需要透析題意,梳理已知、未知條件,找出關(guān)鍵信息,以及隱藏信息。例如,在“兩車還相距120千米”的題中,部分學生感到困惑,不明白是相距“120”千米,還是相遇后又相距“120”千米。四是對“行程問題”的變式理解不到位。與行程相關(guān)的實際問題,涉及的變式情況較多,部分學生受思維定式的影響,總是生搬硬套來解題。對題意辨析不清,如學生對“相向”“相背”“同時”等關(guān)鍵詞理解不到位,導致解題出錯。五是缺乏獨立思考力。部分學生在面對“行程問題”時,總是依賴他人,總要將自己的解題方法與他人對照,不善于獨立解決問題。
三、提高學生問題解決能力的有效建議
(一)教師要善用模擬實踐方法,讓學生體會
“行程問題”
在“行程問題”相關(guān)知識點的講解中,如果教師單純講解“相遇”的幾種情形,那么學生就容易混淆,理不清解題思路和解題方法。如果學生就有了直觀的體驗,對“行程”相關(guān)的問題就會理解得更深刻。模擬實踐法,就是以學生參與演練的方式,去創(chuàng)設(shè)“行程”問題的情境。相遇問題通常有三種類型:第一種,甲、乙的速度給出,相遇時間給出,來計算甲乙相距距離。第二種,甲、乙速度給出,相距距離給出,求相遇時間。第三種,甲、乙相距距離給出,甲的速度和相遇時間給出,求乙的速度。教師可以利用多媒體,以動態(tài)直觀的方式來呈現(xiàn)不同條件下的相遇問題,指導學生理解題意,分析所遇題目屬于哪種類型的“行程問題”。同樣,模擬實踐教學法強調(diào)學生的主體性,注重以學生體驗“行程問題”的方式,讓學生感知“相遇”的不同情形。例如,某題中,父子兩人郊游,爸爸讓兒子先走十步,接著爸爸再出發(fā),爸爸走3步的時間,兒子可以走5步,爸爸走9步的距離,兒子需要走17步。問爸爸走多少步可以追上兒子?對該題解題思路的探討,教師可以讓學生扮演父子,分別按照如上的條件來繪制父子的運動線路圖。在小組合作體驗中,學生能夠?qū)Α白窊簟眴栴}理解得更深刻,也有利于掌握“行程問題”的求解方法。
(二)重視“行程問題”概念的剖析,鞏固學生數(shù)學理解力
“行程問題”的問題情形較多,學生對“路程、速度、時間”等概念理解存在偏差?;诖?,教師要重視基本算理、算法的講解,特別是對基本概念的剖析,以增強學生對三個量的深刻認識[2]?!靶谐虇栴}”涉及的數(shù)量可以是整數(shù),也可以是小數(shù),還可以是分數(shù);涉及的運動情況,可以是單個物體,可以是兩個物體,還可以是三個及以上物體;涉及的運動方向,可以是同向運動,也可以是相向運動,還可以是背向運動。面對基本的數(shù)量關(guān)系,如“速度×時間=路程”“路程÷速度=時間”“路程÷時間=速度”等,教師要引導學生從題意剖析中找出等量關(guān)系。
例如,某題中,兩地相距570 km,有甲乙兩輛汽車,速度分別為110 km/h、80 km/h,同時相向開出,問幾個小時兩車相遇?對該題的講解,教師應(yīng)先指明此為“行程問題”中的“相遇問題”,引導學生找出題目中的已知條件及隱藏的關(guān)鍵信息。題目給出甲車的速度、乙車的速度,兩地的總距離。兩輛車相向而行,“相遇”的關(guān)鍵信息是“兩車共同走完了該段路程”,如圖1所示。
由此,教師可以引導學生思考,根據(jù)“相遇”還能夠提取哪些關(guān)鍵信息。部分學生想到“兩輛車行駛的時間是一樣的”。部分學生認為,甲車的行駛速度、行駛時間所得的路程,與乙車的行駛速度、行駛時間所得的路程之和,正好等于這段距離。也就是說,假設(shè)相遇時間為x,則等式方程為:110x+80x=570,求解得到x=3。在該題的求解過程中,教師要讓學生認識到兩輛車所行駛的距離之和正好為該段路程。這種教學方式可以使學生深刻體會“路程=速度×時間”的意義。教師通過啟發(fā)學生的數(shù)學思維,采用靈活的教學方式,能夠讓學生準確把握“行程問題”的解題要點。
(三)注重數(shù)形結(jié)合,增強學生解題反思能力
教師可以對“行程問題”展開變式訓練,特別是依托數(shù)形結(jié)合思想,讓抽象的“行程問題”變得具體、簡潔[3]。線段圖畫法能夠幫助學生從題意中梳理已知、未知條件,找準等量關(guān)系,為正確解題提供參考。
例如,某題中,小林與小云相距4.5 km,小林騎車速度為0.25 km/min;小云騎車速度為0.2 km/min。問兩人何時相遇?教師在分析講解該題目時,要引導學生理解“相遇”的意思。結(jié)合兩人相距的距離,兩人同時出發(fā),相向而行,相遇時,正好將該距離走完,即兩人相遇時,各自所走的距離之和,等于兩人相距的4.5 km,如圖2所示。
教師以畫圖的方式,對兩人騎車相向而行的過程進行直觀呈現(xiàn)。學生仔細觀看小林、小云的行駛時間,能夠發(fā)現(xiàn)相遇時,兩人剛好走完全程。這時,教師可以引入問題:小林的騎車路程與小云的騎車路程之和是否等于總路程?請學生思考,能否求出小林的行駛路程和小云的行駛路程。部分學生認為“不能求出”,因為不知道他們各自行駛的時間是多少。但部分學生發(fā)現(xiàn),兩人的行駛時間是一樣的,因為是同時出發(fā),所以相遇時兩人所走的時間是一樣的。那么,如何列方程來求解?教師可以鼓勵學生進行小組討論,并對各組的想法進行展示。教師可以引導學生思考,在本題中,小林和小云相向而行,一分鐘后,他們共走了多少千米?如圖3所示。
學生通過思考后得到“0.25+0.2=0.45(千米)”。教師讓學生再思考,再經(jīng)過1分鐘,他們共走多少千米;第5分鐘時,他們共走多少千米;他們共走多少分鐘,才能走完0.45千米。由此得到“(小林的速度+小云的速度)×相遇時間=路程和”。通過引入線段圖的方法,教師能夠讓學生在面對“行程問題”時,體會到數(shù)形結(jié)合思想的簡潔美,讓其快速找準等量關(guān)系,提高數(shù)學問題解決能力。
結(jié) 語
對于“行程問題”的探究,教師與其直接給學生解題公式,不如引領(lǐng)學生共同參與探索,特別是鼓勵學生在面對“行程問題”時,說出自己的想法,鼓勵學生質(zhì)疑。教師要善于抓住契機,激發(fā)學生主動思考數(shù)學的“行程問題”,調(diào)動學生的學習能動性。教師在講解“行程問題”時,要注意三點。一是聯(lián)系學生實際,讓學生親歷“相遇”情境。二是引導學生找準關(guān)鍵信息,特別是準確理解題意。三是注重數(shù)形結(jié)合,利用線段圖來梳理數(shù)量關(guān)系。對于“行程問題”,教師要注重一題多變,多總結(jié)解題方法,讓學生抓住解題的關(guān)鍵點。
[參考文獻]
高建軍.小學高年級學生數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)路徑探究[J].當代教研論叢,2020(03):83.
馬淑芳.小學高年級數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng)路徑探究[J].試題與研究,2020(03):84.
尤麗萍.小學高年級數(shù)學問題解決能力的培養(yǎng)路徑探究[J].新教師,2019(01):62-63.
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