摘 要：數(shù)學問題解決是培養(yǎng)學生數(shù)學學科素養(yǎng)的有效途徑，也是增強學生學以致用意識的重要目標。實踐中，作者結合“行程問題”，指導學生掌握問題解決的一般思路，使他們在問題解決中提高數(shù)學推理、邏輯思維等綜合能力。文章通過對學生展開“行程問題”的測試分析，梳理問題解決存在的共性問題，探究其成因，提出改進教學的策略和建議。

關鍵詞：小學高年級;數(shù)學課程;問題解決能力

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）52-0067-03

作者簡介：吳志遠（1990.3—），男，江蘇省常州市武進區(qū)實驗小學，中小學二級教師，本科學歷。

引 言

數(shù)學問題解決考查的是學生創(chuàng)造性地利用數(shù)學知識解決實際問題的能力。數(shù)學課程具有邏輯性、抽象性的特點。在解決數(shù)學問題的過程中，學生需要深入領會題意，抓住問題表征，轉換解題思路。面對不同的數(shù)學問題，小學生需要掌握畫圖、轉化、替換、數(shù)形結合等解題策略?！靶谐虇栴}”題型多樣，是小學數(shù)學教學的重難點。筆者結合高年級數(shù)學的“行程問題”，從問題解決的教學中，提煉和梳理解題的方法和技巧，使學生能夠從問題解決中，拓展數(shù)學邏輯思維，提高問題解決能力。

一、對“行程問題”測試結果的分析

“行程問題”的測試，旨在調查學生面對“行程問題”時出現(xiàn)的常見錯誤，為教師改進教學策略提供參考依據。筆者在本次測試中發(fā)放問卷50份，回收有效問卷47份，有效率為94%。測試結果基本能夠包含學生在面對“行程問題”時出現(xiàn)解題錯誤的大部分情況。

（一）測試題型分析

在本次“行程問題”測試中，筆者專門選取多種題型，以便了解學生的常見錯誤。第一題，典型的相遇問題。該題給出速度、時間，求解路程，主要考查學生對“行程問題”的基本掌握情況。第二題，環(huán)形跑道問題。該題將傳統(tǒng)的直線追趕，轉換為環(huán)形跑道，增強學生對數(shù)學變式的理解。第三題，沒有路程，只給速度，求相遇時間。該題著重考查學生的審題、讀題能力，要求學生在題目中找出等量關系。第四題，不同時出發(fā)問題，即給出總路程、各自速度，著重考查學生的分析問題能力。第五題，給出總路程、時間，求某一速度。該題考查學生運用方程來解決問題的能力。第六題，未相遇問題。該題難度較高，著重考查學生分析題意和提煉等量關系的能力。第七題，追擊問題。題目難度更大，在同時出發(fā)后，經過某一時間，給出距離，求解該段時間。該題考查學生能否引入線段圖來分析題意，找出等量關系。

（二）常見錯誤類型分析

在本次測試中，筆者對學生出現(xiàn)的錯誤進行了整理分析。總的來說，第一題，出錯人數(shù)為14人，出錯率為29.79%。錯誤表現(xiàn)：學生計算錯誤，找不準等量關系，解題格式不規(guī)范等。第二題，出錯人數(shù)為15人，出錯率為31.91%。錯誤表現(xiàn)：學生對環(huán)形跑道理解不當，找不出等量關系，計算錯誤，對速度的倍數(shù)關系理解錯誤等。第三題，出錯人數(shù)為12人，出錯率為25.53%。錯誤表現(xiàn)：學生列不出等量關系，對速度求解錯誤，忘記速度乘時間等于路程，對題目中的路線不明晰等。第四題，出錯人數(shù)為26人，出錯率為55.32%。錯誤表現(xiàn)：學生計算錯誤，對“慢車先出發(fā)1小時”理解不清，解題錯誤等。第五題，出錯人數(shù)為34人，出錯率為72.34%。錯誤表現(xiàn)：學生使用數(shù)據單位不統(tǒng)一，對速度求解不正確，題意不明晰，找不出等量關系等。第六題，出錯人數(shù)為27人，出錯率為57.45%。錯誤表現(xiàn)：學生對“相距121千米”不理解，對行車路線搞混，未能辨析路程、速度、時間三種關系，沒有理清解題思路等。第七題，出錯人數(shù)為39人，出錯率為82.98%。錯誤表現(xiàn)：學生找不準等量關系，不清楚行車路線，不理解追擊問題，解題思路不清晰等。

二、造成“行程問題”解題錯誤的成因歸納

從小學生“行程問題”測試結果來看，造成學生解題錯誤的原因很多，與教師、學生都有關系。

（一）教師方面

在“行程問題”教學中，教師自身存在一些誤解，部分教師將“問題解決”歸結為解數(shù)學題，要求學生熟記公式、定律，多做題，多訓練，提高解題速度和正確率。但教師死記硬背式的教學思路，導致學生并不能真正理解題目[1]。同時，“行程問題”變式形式多樣，有相遇問題、追擊問題，還有背向運動問題等，有直線運動，還有環(huán)形運動。基礎較差的學生，對基本的路程與速度、時間的等量關系理解不清楚，缺乏靈活應用的能力。在分析題意時，學生易犯找不出等量關系的錯誤。例如，兩地相距240 km，兩車同時從兩端相向開出，3 h后相遇，一車速度為38 km/h，另一車速度是多少？在解題時，部分學生將路程與速度概念混淆，得出240-38=202 km/h。部分學生在解題時，方程列式不正確，還有部分學生不會利用線段圖輔助分析題意，找不出等量關系。教師在講解基礎知識點時，對“問題解決”多停留于表層，忽視對學生的解題思路進行啟發(fā)。這導致學生對數(shù)學問題感知不深，影響解題能力的提高。

（二）學生方面

在“行程問題”測試結果的分析中，學生對該類問題的求解錯誤多集中在以下幾個方面。一是數(shù)學基礎薄弱，計算過程中出錯。部分學生對數(shù)學算理、算法缺乏理解，在面對“行程問題”時，混淆時間、速度之間的關系，對“相遇”理解不準確，甚至對兩位數(shù)乘三位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積也計算不出，存在計算錯誤。二是學生對解決數(shù)學實際問題缺乏經驗。在“行程問題”測試中，與“相遇”相關的題意，部分學生感到陌生，理解不深刻，對問題情境缺乏親身體驗，影響解題思路。三是分不清等量關系。對“行程問題”的求解，學生需要透析題意，梳理已知、未知條件，找出關鍵信息，以及隱藏信息。例如，在“兩車還相距120千米”的題中，部分學生感到困惑，不明白是相距“120”千米，還是相遇后又相距“120”千米。四是對“行程問題”的變式理解不到位。與行程相關的實際問題，涉及的變式情況較多，部分學生受思維定式的影響，總是生搬硬套來解題。對題意辨析不清，如學生對“相向”“相背”“同時”等關鍵詞理解不到位，導致解題出錯。五是缺乏獨立思考力。部分學生在面對“行程問題”時，總是依賴他人，總要將自己的解題方法與他人對照，不善于獨立解決問題。

三、提高學生問題解決能力的有效建議

（一）教師要善用模擬實踐方法，讓學生體會

“行程問題”

在“行程問題”相關知識點的講解中，如果教師單純講解“相遇”的幾種情形，那么學生就容易混淆，理不清解題思路和解題方法。如果學生就有了直觀的體驗，對“行程”相關的問題就會理解得更深刻。模擬實踐法，就是以學生參與演練的方式，去創(chuàng)設“行程”問題的情境。相遇問題通常有三種類型：第一種，甲、乙的速度給出，相遇時間給出，來計算甲乙相距距離。第二種，甲、乙速度給出，相距距離給出，求相遇時間。第三種，甲、乙相距距離給出，甲的速度和相遇時間給出，求乙的速度。教師可以利用多媒體，以動態(tài)直觀的方式來呈現(xiàn)不同條件下的相遇問題，指導學生理解題意，分析所遇題目屬于哪種類型的“行程問題”。同樣，模擬實踐教學法強調學生的主體性，注重以學生體驗“行程問題”的方式，讓學生感知“相遇”的不同情形。例如，某題中，父子兩人郊游，爸爸讓兒子先走十步，接著爸爸再出發(fā)，爸爸走3步的時間，兒子可以走5步，爸爸走9步的距離，兒子需要走17步。問爸爸走多少步可以追上兒子？對該題解題思路的探討，教師可以讓學生扮演父子，分別按照如上的條件來繪制父子的運動線路圖。在小組合作體驗中，學生能夠對“追擊”問題理解得更深刻，也有利于掌握“行程問題”的求解方法。

（二）重視“行程問題”概念的剖析，鞏固學生數(shù)學理解力

“行程問題”的問題情形較多，學生對“路程、速度、時間”等概念理解存在偏差。基于此，教師要重視基本算理、算法的講解，特別是對基本概念的剖析，以增強學生對三個量的深刻認識[2]?！靶谐虇栴}”涉及的數(shù)量可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)，還可以是分數(shù);涉及的運動情況，可以是單個物體，可以是兩個物體，還可以是三個及以上物體;涉及的運動方向，可以是同向運動，也可以是相向運動，還可以是背向運動。面對基本的數(shù)量關系，如“速度×時間=路程”“路程÷速度=時間”“路程÷時間=速度”等，教師要引導學生從題意剖析中找出等量關系。

例如，某題中，兩地相距570 km，有甲乙兩輛汽車，速度分別為110 km/h、80 km/h，同時相向開出，問幾個小時兩車相遇？對該題的講解，教師應先指明此為“行程問題”中的“相遇問題”，引導學生找出題目中的已知條件及隱藏的關鍵信息。題目給出甲車的速度、乙車的速度，兩地的總距離。兩輛車相向而行，“相遇”的關鍵信息是“兩車共同走完了該段路程”，如圖1所示。

由此，教師可以引導學生思考，根據“相遇”還能夠提取哪些關鍵信息。部分學生想到“兩輛車行駛的時間是一樣的”。部分學生認為，甲車的行駛速度、行駛時間所得的路程，與乙車的行駛速度、行駛時間所得的路程之和，正好等于這段距離。也就是說，假設相遇時間為x，則等式方程為：110x+80x=570，求解得到x=3。在該題的求解過程中，教師要讓學生認識到兩輛車所行駛的距離之和正好為該段路程。這種教學方式可以使學生深刻體會“路程=速度×時間”的意義。教師通過啟發(fā)學生的數(shù)學思維，采用靈活的教學方式，能夠讓學生準確把握“行程問題”的解題要點。

（三）注重數(shù)形結合，增強學生解題反思能力

教師可以對“行程問題”展開變式訓練，特別是依托數(shù)形結合思想，讓抽象的“行程問題”變得具體、簡潔[3]。線段圖畫法能夠幫助學生從題意中梳理已知、未知條件，找準等量關系，為正確解題提供參考。

例如，某題中，小林與小云相距4.5 km，小林騎車速度為0.25 km/min;小云騎車速度為0.2 km/min。問兩人何時相遇？教師在分析講解該題目時，要引導學生理解“相遇”的意思。結合兩人相距的距離，兩人同時出發(fā)，相向而行，相遇時，正好將該距離走完，即兩人相遇時，各自所走的距離之和，等于兩人相距的4.5 km，如圖2所示。

教師以畫圖的方式，對兩人騎車相向而行的過程進行直觀呈現(xiàn)。學生仔細觀看小林、小云的行駛時間，能夠發(fā)現(xiàn)相遇時，兩人剛好走完全程。這時，教師可以引入問題：小林的騎車路程與小云的騎車路程之和是否等于總路程？請學生思考，能否求出小林的行駛路程和小云的行駛路程。部分學生認為“不能求出”，因為不知道他們各自行駛的時間是多少。但部分學生發(fā)現(xiàn)，兩人的行駛時間是一樣的，因為是同時出發(fā)，所以相遇時兩人所走的時間是一樣的。那么，如何列方程來求解？教師可以鼓勵學生進行小組討論，并對各組的想法進行展示。教師可以引導學生思考，在本題中，小林和小云相向而行，一分鐘后，他們共走了多少千米？如圖3所示。

學生通過思考后得到“0.25+0.2=0.45（千米）”。教師讓學生再思考，再經過1分鐘，他們共走多少千米;第5分鐘時，他們共走多少千米;他們共走多少分鐘，才能走完0.45千米。由此得到“（小林的速度+小云的速度）×相遇時間=路程和”。通過引入線段圖的方法，教師能夠讓學生在面對“行程問題”時，體會到數(shù)形結合思想的簡潔美，讓其快速找準等量關系，提高數(shù)學問題解決能力。

結 語

對于“行程問題”的探究，教師與其直接給學生解題公式，不如引領學生共同參與探索，特別是鼓勵學生在面對“行程問題”時，說出自己的想法，鼓勵學生質疑。教師要善于抓住契機，激發(fā)學生主動思考數(shù)學的“行程問題”，調動學生的學習能動性。教師在講解“行程問題”時，要注意三點。一是聯(lián)系學生實際，讓學生親歷“相遇”情境。二是引導學生找準關鍵信息，特別是準確理解題意。三是注重數(shù)形結合，利用線段圖來梳理數(shù)量關系。對于“行程問題”，教師要注重一題多變，多總結解題方法，讓學生抓住解題的關鍵點。

[參考文獻]

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