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        基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題思路探索

        2021-02-22 07:19:25武基云
        關(guān)鍵詞:解題方法高中數(shù)學(xué)

        武基云

        【摘要】構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種常見(jiàn)的解決問(wèn)題的手段,它是指根據(jù)問(wèn)題的特征,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、方程、圖形等熟悉的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題的方法.嚴(yán)格地說(shuō),構(gòu)造法并沒(méi)有固定的應(yīng)用思路,而是具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性,所以讓學(xué)生熟練應(yīng)用這一方面具有一定的難度.本文將從構(gòu)造法的原理和優(yōu)勢(shì)入手,具體分析構(gòu)造法的應(yīng)用策略,希望能夠?yàn)楦咧袠?gòu)造法解題提供一定的參考思路.

        【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);解題方法

        高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難度較大,特別是在新課程改革之后,數(shù)學(xué)解題過(guò)程對(duì)學(xué)生抽象能力、知識(shí)運(yùn)用能力有了更高的要求,數(shù)學(xué)題目的難度也有了一定的提升.仍然使用傳統(tǒng)的解題思路,按照一般的順序來(lái)思考問(wèn)題經(jīng)常會(huì)面對(duì)著大量的計(jì)算內(nèi)容或是復(fù)雜的推理過(guò)程,不僅會(huì)耗費(fèi)大量時(shí)間,還十分容易出錯(cuò).此時(shí),我們不妨嘗試運(yùn)用構(gòu)造法來(lái)快速找到正確的解題思路,提高答題的速度.

        一、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的原理

        相對(duì)于其他學(xué)科來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)更加的抽象和復(fù)雜,在解決問(wèn)題時(shí)可以從多個(gè)角度去進(jìn)行思考.構(gòu)造法是一種基于逆向思維的解題方法,通過(guò)題目中明確給出或是隱秘包含的條件,從另一個(gè)角度出發(fā),分析和理解題目?jī)?nèi)容,推導(dǎo)所要答案的一種方法.從本質(zhì)上來(lái)看,構(gòu)造法是將抽象知識(shí)具體化的過(guò)程,它可以幫助學(xué)生找到更加高效的解題方法.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生為了提升自身的解題能力會(huì)進(jìn)行大量的題目練習(xí),很容易產(chǎn)生固定的思維模式.為了改變學(xué)生的思維定式,解決他們?cè)诮忸}過(guò)程中解題困難、效率低的問(wèn)題,教師可以在教學(xué)中提高對(duì)構(gòu)造法重視程度,幫助學(xué)生在解題過(guò)程中從不同的角度去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.

        二、高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用策略

        1.構(gòu)造函數(shù)

        函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分,也是高考中的考查重點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)法是構(gòu)造法中一種較為常見(jiàn)的方法.在幾何或是代數(shù)問(wèn)題中,采用構(gòu)造函數(shù)的方法可以找到更多的已知信息,讓復(fù)雜的題目?jī)?nèi)容變得直觀和簡(jiǎn)單,提升解題的效率和準(zhǔn)確度.

        例1 已知關(guān)于x的方程x2-(2a+1)sin(cos x)+1-4a2=0有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值.

        分析 這道題目屬于二次方程,且在題目的已知中含有特殊的參數(shù).所以,許多學(xué)生在面對(duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常會(huì)找不到解決問(wèn)題的切入點(diǎn).此時(shí),只要認(rèn)真觀察題目,結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的方式便可以找到輕松解決問(wèn)題的方法.在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中,教師可以先為學(xué)生列出詳細(xì)的解題過(guò)程,讓學(xué)生自己去思考和感受,分析構(gòu)造函數(shù)的具體方法,以此做到舉一反三,將這種方法應(yīng)用到其他類(lèi)似題目的解答過(guò)程中.

        解 構(gòu)造函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)sin(cos x)+1-4a2.

        因?yàn)閒(-x)=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).

        設(shè)x0為f(x)=0的解,則-x0也為f(x)=0的解.

        由題目已知可知,f(x)=0有唯一的實(shí)數(shù)解,即-x0=x0,顯然x0=0.

        所以f(0)=02-(2a+1)sin(cos 0)+1-4a2=0,

        即(2a+1)(1-2a-sin 1)=0,解得a=-12或a=1-sin 12.

        2.構(gòu)造方程

        方程和函數(shù)關(guān)系密切,在構(gòu)造法中構(gòu)造函數(shù)與構(gòu)造方程也基本相通,許多類(lèi)型的題目都可以通過(guò)函數(shù)與方程的融合找到解決方法.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),構(gòu)造方程法,就是要在深入分析已知條件和各項(xiàng)關(guān)系的前提下,通過(guò)對(duì)已知關(guān)系之間的關(guān)系式的構(gòu)建來(lái)解決問(wèn)題的方法.

        例2 已知α+β+γ=π,求證:

        sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α=sin2α;

        cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α=sin2α.

        分析 該案例中給出的已知條件十分有限,學(xué)生在一開(kāi)始接觸到該案例時(shí)必然會(huì)思考利用三角函數(shù)知識(shí)去對(duì)題目已知進(jìn)行變化,雖然可以得出結(jié)果,但解題的過(guò)程十分復(fù)雜,容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.此時(shí),我們便可以采用構(gòu)造方程的方式來(lái)降低解題難度.

        證明 設(shè)x=sin2β+sin2γ-2sin βsin γcos α-sin2α,①

        y=cos 2β+cos 2γ+2cos βcos γcos α-sin2α.②

        ①+②得

        x+y=2+2cos αcos(β+γ)-2sin2α=2(1-sin2α)+2cos αcos(π-α)=2cos 2α-2cos 2α=0.

        ②-①得

        y-x=cos 2β+cos 2γ+2cos αcos(β-γ)=-2cos αcos(β-γ)+2cos αcos(β-γ)=0,所以x+y=0,y-x=0,解得x=0,

        y=0,得證.

        3.構(gòu)造數(shù)列

        高中階段的數(shù)列包括了等差數(shù)列和等比數(shù)列兩個(gè)部分,這部分內(nèi)容的難度雖然一般,但是其中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)比較多,也是高考中的熱點(diǎn).構(gòu)造數(shù)列的方法通常被應(yīng)用于比較特殊的題目中,其主要目的是通過(guò)構(gòu)建等差或等比的數(shù)列公式來(lái)對(duì)題目進(jìn)行分析,降低解題思路,優(yōu)化解題過(guò)程.

        例3 設(shè)有一數(shù)列{an},前n項(xiàng)和為Sn,S4=4.當(dāng)n≥2時(shí),an=12(Sn+Sn-1),求Sn的表達(dá)式.

        分析 題目中給出了部分公式,求Sn的表達(dá)式,這也是數(shù)列題目中常見(jiàn)的一種題目類(lèi)型,已知數(shù)列前幾項(xiàng)的和,又給出了數(shù)列的通項(xiàng)公式,就可以求出Sn.但是,這種方法在求解過(guò)程中計(jì)算難度較大,且方法通常比較煩瑣,在計(jì)算過(guò)程中基本上不會(huì)有簡(jiǎn)化的方法.所以,此時(shí),我們便可以嘗試采用構(gòu)造數(shù)列的方法來(lái)求解Sn的表達(dá)式.

        解 由題目已知可知,n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,

        推導(dǎo)可得12=Sn-Sn-1.

        設(shè)bn=Sn,則數(shù)列bn的公差為12,通過(guò)計(jì)算可得Sn=n2,因此,Sn=n24.

        4.構(gòu)造圖形

        構(gòu)造圖形的方式是將參數(shù)之間的關(guān)系通過(guò)圖形來(lái)直觀地展示出來(lái),這樣除了可以提升解題效率之外,還能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解把握,提高他們的知識(shí)轉(zhuǎn)化能力.從本質(zhì)上來(lái)看,構(gòu)造圖形法實(shí)際上就是數(shù)形轉(zhuǎn)化法,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題目中的已知條件,善于尋找參數(shù)與圖形之間的聯(lián)系,學(xué)會(huì)用圖形去簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題.

        例4 已知a>0,b<0,a+b=1,求證:2

        分析 面對(duì)這類(lèi)題目時(shí),許多學(xué)生都會(huì)找不到問(wèn)題的切入點(diǎn),甚至教師已經(jīng)提示了嘗試采用構(gòu)造圖形的方式來(lái)解決問(wèn)題,還是有學(xué)生看起來(lái)十分茫然.所以,在這類(lèi)問(wèn)題的解題過(guò)程中,教師應(yīng)采用合理的引導(dǎo)方式,讓學(xué)生自己去充分思考題目的已知條件和求證的結(jié)論,分析已知條件和結(jié)論之間的關(guān)系.在這道題目中,通過(guò)已知條件中的a+b=1,不難聯(lián)想到a+12+b+12=2,這樣就自然而然地將已知條件和求證的結(jié)論聯(lián)系在一起.

        證明 因?yàn)閍+b=1,

        所以a+12+b+12=2,

        即a+122+b+122=(2)2.

        根據(jù)該公式可以構(gòu)造出三角形,如圖所示.

        因?yàn)槿切蝺蛇呏痛笥诘谌叄傻茫?/p>

        a+12+b+12>2,

        又因?yàn)閍+12=2cos α,b+12=2sin α,

        所以a+12+b+12=2(cos α+sin α)=2·2sinα+π4≤2.

        5.構(gòu)造向量

        向量是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),也是容易丟分的題目類(lèi)型,更是高考中必考內(nèi)容之一,且在總成績(jī)中占據(jù)著較大的比重.同時(shí),向量的應(yīng)用并不局限于向量問(wèn)題中,其他問(wèn)題同樣也可以嘗試采用向量的方式來(lái)解決.在構(gòu)造法的應(yīng)用中,采用構(gòu)造向量的方式可以將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題,讓題目變得更加直觀,避免了復(fù)雜的論證過(guò)程.這對(duì)于解決一些抽象問(wèn)題來(lái)說(shuō)有著重要的應(yīng)用價(jià)值.

        例5 若直線xa+yb=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(cos α,sin α),則(? ).

        A.a2+b2≤1??? B.a2+b2≥1

        C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

        分析 仔細(xì)觀察題目會(huì)發(fā)現(xiàn),題目中所給出的條件和結(jié)論基本上很難直接聯(lián)系在一起,但是通過(guò)已知中所給出的坐標(biāo)相對(duì)比較容易聯(lián)想到向量,所以可以嘗試通過(guò)構(gòu)造向量的方法來(lái)解決問(wèn)題.

        解 令m=(cos α,sin α),n=1a,1b.

        根據(jù)題目的已知可得cos αa+sin αb=1,由m·n≤m·n,可得1=cos αa+sin αb≤1a2+1b2,所以1a2+1b2≥1.故選D.

        6.構(gòu)造對(duì)偶法

        構(gòu)造對(duì)偶法常常被應(yīng)用于解決不等式問(wèn)題中,如果題目的已知或是問(wèn)題中存在對(duì)偶的特征,就可以嘗試采用對(duì)偶法的方式來(lái)讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單、清晰.基本的操作方式是先對(duì)題目中給出的公式A配以合適的公式B,通過(guò)加法或是乘法等運(yùn)算方法讓它可以更容易處理.使用這種方式通常可以快速找到問(wèn)題的突破口,讓問(wèn)題得到有效的解決.

        例6 已知函數(shù)f(x)=x1+x(x>0),試計(jì)算:

        f12015+f12014+…+f13+f12+f(1)+f(2)+…+f(2014)+f(2015)=.

        分析 通過(guò)仔細(xì)分析,我們會(huì)發(fā)現(xiàn),如果這道例題直接進(jìn)行求解基本上無(wú)從下手,但通過(guò)對(duì)結(jié)論的仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn),f1x和f(x)之間存在著對(duì)偶性,可以通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶式的方法來(lái)解決問(wèn)題.

        解 f(x)+f1x=x1+x+1x1+1x=x1+x+11+x=1.

        所以原式的結(jié)果為201412.

        三、結(jié) 語(yǔ)

        教師想要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的解題能力,就必須讓學(xué)生掌握有效的解題方法.構(gòu)造法是數(shù)學(xué)學(xué)科中一種十分常見(jiàn)且十分重要的解題方法.所以,在教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)提高對(duì)構(gòu)造法的重視程度,將其融入教學(xué)內(nèi)容中,強(qiáng)化構(gòu)造法知識(shí)的講解,特別是要依托具體案例向?qū)W生詳細(xì)分析和展示,包括構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造圖形、構(gòu)造向量、構(gòu)造數(shù)列和構(gòu)造對(duì)偶法等,以此引導(dǎo)學(xué)生掌握構(gòu)造法的正確應(yīng)用技巧,巧妙地解決問(wèn)題.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]顧建華.基于“構(gòu)造法”的高中數(shù)學(xué)解題思路探索[J].科學(xué)咨詢(xún)(教育科研),2020(10):166.

        [2]張浩群.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究[J].數(shù)理化解題研究,2020(22):75-76.

        [3]尹艷.高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造法的應(yīng)用措施[J].中學(xué)生數(shù)理化(自主招生),2020(06):18.

        [4]馬靜.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用研究[D].延安:延安大學(xué),2020.

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