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        例談“面積法”在“三角形角平分線模型”中的巧用

        2021-02-22 07:19:25徐樂樂王瑋瑋

        徐樂樂 王瑋瑋

        【摘要】“三角形角平分線模型”中蘊含“同高”“等高”的特點,巧用三角形的面積公式,可以直觀、快速地建立起邊角聯(lián)系,突破難點.建構(gòu)三角形角平分線模型,呈現(xiàn)三角形面積法在典型題中的一次、二次應(yīng)用,結(jié)合角平分線的性質(zhì)定理及逆定理可以破解難題;歸納模型的性質(zhì)結(jié)論和應(yīng)用題型,引導(dǎo)學(xué)生在解題中恰當(dāng)運用三角形面積法,從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和幾何模型思想.

        【關(guān)鍵詞】三角形面積法;角平分線的性質(zhì);幾何模型

        一般而言,在平面幾何題的求解過程中,運用三角形面積公式和由面積公式推出的相關(guān)結(jié)論來計算或者證明的方法,稱之為面積法.但是,三角形面積法在日常教學(xué)中,往往容易被學(xué)生和教師忽視.在初中數(shù)學(xué)幾何難題中,常會包含三角形的角平分線的有關(guān)問題,雖然用常規(guī)的方法可以解決,但是步驟煩瑣、計算量大,有時輔助線的添加還不明了.本文通過分析“三角形角平分線模型”問題的特性,在解題時巧妙應(yīng)用三角形面積法,最終收到良好的教學(xué)效果.

        一、三角形的角平分線模型

        在三角形的角平分線模型中,由角平分線的性質(zhì)可知:角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等.所以,學(xué)生能自然聯(lián)想到原三角形被角平分線所分得的兩個三角形的高相等,結(jié)合三角形面積法,就可以將同高 (或等高)的兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為底之比.

        如圖1,BD是△ABC的角平分線,則由定義可知,∠ABD=∠CBD=12∠ABC.如圖2,過點D分別向邊AB,BC作垂線DE,DF,則DE,DF分別是△ABD和△CBD的高,由角平分線的性質(zhì)可知DE=DF,則S△ABDS△CBD=ABBC.

        我們不妨把圖2稱為“三角形的角平分線模型”,它完整地呈現(xiàn)了三角形的性質(zhì)的推導(dǎo)過程;從“面積法”的角度看,它直觀地呈現(xiàn)了被角平分線分得的兩個三角形的底和高,并且是較為特別的“等高”三角形.當(dāng)我們建立了這樣的雙視角幾何模型,就能夠在常規(guī)的“角相等”的基礎(chǔ)上,發(fā)展出“邊成比例”的結(jié)論.從而為含有角平分線的幾何難題提供了新的解題思路——構(gòu)造等(同)高,巧用面積法.

        二、角平分線模型的應(yīng)用

        1.面積法在模型中的一次應(yīng)用

        例1 如圖3,△ABC中,AD⊥BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F(xiàn)為BC的延長線上一點,F(xiàn)G⊥AE交AD的延長線于G,AC的延長線交FG于H,連接BG,下列結(jié)論:①S△AEB∶S△AEC=AB∶AC;②∠DAE=∠F;③∠DAE=12(∠ABD-∠ACE);④∠AGH=∠BAE+∠ACB.其中正確的結(jié)論是.

        分析 這個題目是八年級數(shù)學(xué)期中考試的壓軸題,這是一個幾何圖形綜合題,難度很大,學(xué)生的正確率只有10%.②③④都是關(guān)于角的結(jié)論,通過角的轉(zhuǎn)化可以推導(dǎo)出三個結(jié)論都是正確的,此處省略.①就是典型的三角形的角平分線模型的直接應(yīng)用.如圖4,通過抽離出△ABC,并作出邊AB,AC上的高,由于角平分線的性質(zhì),高相等,因此,面積比轉(zhuǎn)化為底之比,①正確.

        例2 如圖5,在直線ABC的同一側(cè)作兩個等邊三角形△ABD和△BCE,連接AE與CD,求證:

        (1)AE=DC;

        (2)HB平分∠AHC.

        分析 很多老師和學(xué)生都對這個類型的題目非常熟悉,并且形象地稱為“手拉手”模型,這個模型的圖形特征是兩個形狀相同、大小不同的特殊圖形(等邊三角形、正方形等)繞著一個公共頂點旋轉(zhuǎn),在變化的過程中有著許多不變的結(jié)論,屬于典型的動態(tài)變化過程中的不變性問題.

        例2中,△ABD和△BCE都是等邊三角形,則存在對應(yīng)相等的邊和角,結(jié)合公共夾角構(gòu)造出新的等角,從而證得△ABE≌△DBC,故AE=DC得證.第(2)問是關(guān)于角平分線的判定,此題如果采用常規(guī)的角相等去證明會十分煩瑣,而采用角平分線的判定定理,如圖6,作出兩個全等三角形的高線,通過面積法證明就非常簡便.教學(xué)中,學(xué)生常常會有強烈的頓悟感,感覺柳暗花明、十分巧妙.

        證明 過點B作BM⊥AE,BN⊥CD.

        (1)∵△ABD,△BCE都是等邊三角形,

        ∴AB=BD,BE=BC,∠ABD=∠EBC=60°.

        ∵∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE,

        ∴∠ABE=∠DBC,∴△ABE≌△DBC(SAS),

        ∴AE=DC.

        (2)由(1)知△ABE≌△DBC,

        ∴S△ABE=S△DBC,即AE·BM2=DC·BN2,

        ∴BM=BN.

        又∵BM⊥AE,BN⊥CD,

        ∴HB平分∠AHC.

        變式 如圖7,將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE,DE與BC交于點P,求證:PA+PC=PE.

        分析 如圖8,此題通過連接BD與CE就變成等邊三角形“手拉手”模型.過點A向兩邊作高線,構(gòu)造三角形的角平分線模型.結(jié)合三角形面積法與角平分線的性質(zhì)便可證得∠APB=60°;在BC邊上截取PG=PA,連接AG,則△APG為等邊三角形,進而證明△APE≌△AGC,PA+PC=PE得證.

        2.面積法在模型中的二次應(yīng)用

        例3 如圖9,△ABC中,BD是∠ABC的平分線,求證:ABBC=ADDC.

        分析? 此題求證的邊之比相等是典型的相似三角形問題,常規(guī)方法就是構(gòu)造相似三角形,利用邊的轉(zhuǎn)化求證.當(dāng)換個思路——用三角形的面積法,會收到意想不到的效果.如圖10,過點D分別向邊AB,BC作垂線,則DE,DF分別是△ABD和△CBD的高,由角平分線的性質(zhì)可知,DE=DF,則S△ABDS△CBD=ABBC.如圖11,過點B向邊AC作垂線,BG是△ABD和△CBD的公共高,S△ABDS△CBD=ADDC,所以ABBC=ADDC.

        例4 (2016年深圳中考23題(1)(2)問)如圖12,拋物線y=ax2+2x-3與x軸交于A,B兩點,且點B的坐標(biāo)為(1,0).

        (1)求拋物線的解析式和點A的坐標(biāo);

        (2)如圖12,點P是直線y=x上的動點,當(dāng)直線y=x平分∠APB時,求點P的坐標(biāo).

        分析 第(1)問為基礎(chǔ)考查,易得點A的坐標(biāo)為(-3,0),拋物線的解析式為y=x2+2x-3.對于第(2)問,將圖形簡化,如圖13,可以理解為PO平分∠APB,這就是三角形的角平分線模型,采取與例3的相同方法,二次應(yīng)用三角形面積法得PAPB=AOBO=3,將點P的坐標(biāo)設(shè)為(x,x),列方程(x+3)2+x2=9(x-1)2+9x2,解得x=32(0舍去),故點P的坐標(biāo)為32,32.

        通過上述例題發(fā)現(xiàn),在三角形的角平分線模型中巧妙使用三角形的面積法,會為解題帶來極大的便利.無論是一次應(yīng)用還是二次應(yīng)用,其依據(jù)都是同高(等高)的兩個三角形的面積之比等于底之比.理解并熟練掌握三角形的角平分線模型的特點與結(jié)論,便能在復(fù)雜的問題中快速想到解題思路,通過輔助線的添加構(gòu)造模型.在教學(xué)過程中,要利用基本幾何模型將復(fù)雜的問題簡單化,透過問題看本質(zhì),從而提高探究問題的能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

        【參考文獻】

        [1]黃孝培.淺談三角形面積法在初中幾何問題中的基本運用[J].中國數(shù)學(xué)教育初中版,2019(7-8):90-93.

        [2]祝林華.角平分線模型的構(gòu)造及應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué),2015(07):24-26.

        [3]王霞,房文慧.最短路徑與幾何定值[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2020(08):41-46.

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